Министерство общего и профессионального образованияАстраханский Государственный Педагогический УниверситетБакалаврскаяработа
Студентки IV курса физико–математического факультетаНочевной Светланы Павловны Кафедра: МатематическогоанализаТема: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развитияНаучныйруководитель ст. преподаватель ПономарёваН.Г. Астрахань1998 г.
План.
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Цель работы: «Изучить основные понятиядифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей ихразвития». 1. Основные понятия дифференциального исчисления функцийодной переменной. 1.1. Определениепроизводной и её геометрический смысл.
Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки хо. возьмём точку х1этой окрестности, отличную от хо.
Определение. Разность х1 – х0, которую обозначаютсимволом Dх, будем называть приращением независимойпеременной.
Определение. Подобным образом соответствующая разность
у1 – у0 = f(х1)– f(х0), обозначается символом Dу и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.
Получаютсяследующие соотношения:
х1 = х0 +Dх,
у1 = у0 +Dу,
у0 + Dу = f(х0+ Dх)
Так как у0= f(х0),
то Dу = f(х0+ Dх) – f(х0).
Dу f(х0+Dх)– f(х0)
Dх Dх
Определение. Частное будемназывать разностным отношением.
Выражение f(х0+Dх)– f(х0)
Dх
(принимая что х0имеет определённоепостоянное значение) можно считать функцией приращения Dх.
Определение. Если предел этого выражения при Dх, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производнойфункции у = f(х) по х в точке х0
dу
dх
lim f(х0+Dх)– f(х0) lim Dу
Dх®0 Dх Dх®0Dх Итак, = = f’(х0) = у’х = у’=
Пример. у=х2 . Вычислите производнуюдля х=2.
Имеем: f(х+Dх) = (х+Dх)2,
Поэтому Dу = (х+Dх)2 – х2 = 2хDх+(Dх)2
Dу
Dх
Отсюда = 2х+Dх
lim Dу
Dх®0Dх
lim Dх
Dх®0
Переходя кпределу получим: = 2х+ = 2х.
Dу
Dх
х
Dх
Dх+х
s
a
О
А
В
Dу
lim Dу = 0
Dх®0 Для того, чтобыотношение имело предел, необходимо, чтобы ,то есть, чтобы функция рис.1
была непрерывнойв точке х0.
Рассмотрим графикфункции у = f(х) (рис.1)
Dу
Dх
Легко заметить,что отношение равно тангенсу угла a, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точкиА и В (соответствующие точкам х и х+Dх), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперьприращение Dх будет стремиться к нулю, точка В будет стремитьсяк А, то угол a будет стремиться к s, образованному положительным направлениемкасательной с положительным направлением оси Ох, а tg a будет стремиться к tg s.
lim Dу
Dх®0Dх Поэтому = tg s (положительным направлением касательной считаем то направление, вкотором х возрастает).
Таким образом,можно утверждать следующее:
Производная вданной точке х равна тангенсу угла,образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительнымнаправлением оси Ох. 1.2 Дифференциальные функции. Определениедифференциала.
Определение. Функция у = f(х) называетсядифференцированной в точке х, если еёприращение Dу в этой точке можно представить в виде
lim
Dх®0 Dу = f’(х)Dх+a(Dх)Dх,
где a (Dх) = 0
Dу
Dх Как видно из из определения, необходимым условиемдифференцируемости является существование производной. Оказывается что этоусловие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)
a(Dх)= Положим – f’(х), Dх ¹ 0
0 , Dх = 0
При такомопределении a имеет для всех Dх
Dу = f’(х)Dх +a(Dх)Dх .
lim
Dх®0 Остаётся, следовательно,установить непрерывность a(Dх) при Dх = 0, то есть, равенство a (Dх) = a(0) = 0, но, очевидно,
Dу
Dх
lim
Dх®0
lim
Dх®0 a (Dх) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0,
что и требовалось.
Таким образом,для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной —понятия равносильные.
lim
Dх®0 Определение. Еслифункция у = f’(х) дифференцируема, тоесть, если Dу = f’(х)Dх + a .Dх, a = 0,
тоглавную линейную часть f’(х)Dх, её приращения будем обозначать dху, dхf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х.
Написав для симметрии dхх вместо Dх, получим следующую формулу:
dху
dхх dху = f’(х)dхх,
откуда = f’(х).
Заметим ещё, чтодифференциалы dху и dхх являются функциямипеременной х, причём функция dхх принимает постоянноезначение Dх. 1.3 Инвариантность формы первогодифференциала.
В случае, когдапеременная у = f(х) была функциейнезависимой переменной х, мы имеем,по определению,
Dу = f’(х)Dх или dхх= f’(х)dхх (1)
Рассмотрим теперьслучай, когда х является в своюочередь функцией другой переменной,
х = х(t).
Теорема. Если функции х = j(t) и у = y(t)дифференцируемы в соответствующих точках t = t1 и х = х1 = j(t1), тодифференциал сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде
dtу = f’(х1) dtх.
Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем
dtх = j’(t1)dtt (11)
dtу = y’(t1)dtt (2)
Но на основании теоремы о производной сложнойфункции мы видим, что
y’(t1) = f’(х1)j’(t1)
Подставив это выражение в формулу (2), получим:
dtу = f’(х1) j’(t1) dtt,
отсюда в силу формулы (11)
dtу = f’(х1) dtх (3)
Сравнив формулу(1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде
dу = f’(х) dх (4)
Формулу (1) или(3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dхили dt.
Символы dх и dуне являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибитьсябудет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dхуили, соответственно, dtх иdtу.
Значение формулы(4) становится ясным, если обратитьвнимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумяформулами для определения производной упо х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то
у’х = f’(х);
когда же зависимостьпеременной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то
у’х= f’(и)и’х.
При отыскании жедифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:
dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи
или
dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи. 1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного.
Из теорем опроизводных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулыдля дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:
и= f(х), J = j(х),
имеющие непрерывныечастные производные.
Если положить у = и+ J,
то у’х = и’х+ J’х,
откуда у’хdх = и’х dх + J’хdх,
следовательно dу =dи + dJ,
то есть d(и + J) = dи +dJ.
Аналогично dси =сdи,
где с –постоянное число;
Jdи –иdJ
J2
и
J d(иJ) = иdJ + Jdи,
d( ) = .
Замечание. На практике часто бывает выгоднееоперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимойпеременной переходить к производной. 1.5 Геометрическаяинтерпретация дифференциала.
Дифференциал можно геометрически представить следующимобразом:
О
х
dх
dу
a
А
Д
Dу
х
dх
dу
a
А
Д
Dу
рис. 2
С
С
Из рис. 2 видно,что dу = f’(х)dх = tg a .dх = СД.
Таким образом,если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.
lim
Dх®0
Dу – dу
Dх
lim
Dх®0 Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от Dу, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как
= a (Dх) = 0
На практике,когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать
Dу = dу = f’(х)dх. 2. Основные понятия интегрального исчисления функций однойпеременной.2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.
Основной задачейдифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dхданной функции f(х).
В интегральномисчислении решается обратная задача:
Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х),производная которой f(х)dхв области определения функции f(х),то есть, в этой области функции f(х)и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.
Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.
Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х.
Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х)или dF(х) = cos х dх = f(х)dх
х3
3 2) Пусть f(х) = х2.
Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх.
Известно, чтоесли две функции f(х) и j(х) отличаются друг от друга напостоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, тоесть, если f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j’(х) или f’(х)dх = j’(х)dх.
Известно также,что и наоборот, если две функции f(х)и j(х) имеют одну и ту жепроизводную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга напостоянную величину, то есть, если
f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то
f(х) = j(х) + С.
Замечание. Действительно, еслипроизводная f’(х) обращается в нульдля любых значений х в (а, в), то в этом интервале f(х)= С.
В самом деле,если х1Î (а, в) их2 Î (а, в),то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0), где х1
Отсюданепосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придаватьпостоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразныефункции для функции f(х).
ò Определение. Множество F(х)+С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможныечисловые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом
f(х)dх
ò Таким образом, поопределению,
f(х)dх= F(х) + С, (А)
ò где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х)называется подынтегральной функцией, f(х)dх– подынтегральным выражением, а символ –знаком неопределённого интеграла.
Неопределённыминтегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функциюэтого множества.
Определение. Нахождениепервообразной по данной функции f(х)называется интегрированием2.2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.
Пусть заданнеопределённый интеграл F(х) + С дляфункции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; егоназывают интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2,получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральнойкривой.
5
4
3
2
1
рис. 3 Аналогично можно построить график любойпервообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + Сможно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённогоинтеграла F(х) + С. Величина Сявляется параметром этого семейства – каждому конкретному значению Ссоответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральнуюкривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить изинтегральной кривой, соответствующей значению параметра С1,параллельным сдвигом в направлении оси Оуна величину /С2 – С1/. На рис. 3 изображён неопределённыйинтеграл х2 + С от функцииf(х)= 2х, то есть, семейства парабол. 2.3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1) Производная неопределённого интеграла равнаподынтегральной функции, то есть,
ò [ f(х)dх ]’= f(х).
ò Доказательство. Согласно определению неопределённогоинтеграла,
f(х)dх= F(х) + С, (V)
где F’(х) = f(х)
ò Дифференцируя обучениечасти равенства (V), имеем
[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,
ò откуда
[ f(х)dх ]’= F’(х) + С1 = F’(х) =f(х).
2)
ò Дифференциалнеопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть
d f(х)dх = f(х)dх
ò Доказательство. Согласно определению неопределённогоинтеграла,
ò f(х)dх = F(х) + С
d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх =f(х)dх
3)
ò Неопределённый интеграл отдифференциала некоторой функции F(х)равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть
dF(х)= F(х) + С, (v)
ò Доказательство. Продифференцировав оба равенства (v),будем иметь
d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)
ò d(F(х) + С) = dF(х)
ò следовательно, функции dF(х)и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть
dF(х)= F(х) + С
4) Постоянный множитель можно выносить за знакнеопределённого интеграла, то есть
ò
ò аf(х)dх = а f(х)dх (а¹ 0)
ò Доказательство. Продифференцируем обучение частиравенства. Тогда получим
ò
ò d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)
и d [ a f(х)dx] = ad f(х)dх =а f(х)dх
(в силу свойства дифференциала)
ò
ò Таким образом, дифференциалы функций
ò
ò
ò
ò а f(х)dхи а f(х)dх равны, а потому этифункции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, аf(х)dх = = а f(х)dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в составнеопределённого интеграла, следовательно,
аf(х)dх = а f(х)dх.
5)
ò
ò
ò
ò Интеграл от алгебраической суммы конечного числафункций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:
[f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх = f1(х)dх+ f3(х)dх– f3(х)dх(v)
Доказательство: Продифференцируем обе частиравенства.
ò Дифференцирование любойчасти равенства даёт:
d [f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх
ò
ò
ò В результатедифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциалалгебраической суммы нескольких функций, который как известно равеналгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,
ò
ò
ò d[ f1(х)dх+ f2(х)dх– f3(х)dх] =
= d f1(х)dх + f2(х)dх– f3(х)dх
Применяя свойство1, в правой части последнего равенства получаем
f1(х)dх + f2(х)dх– f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх
Итак, последифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты,следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3). 2.4. Метод непосредственного интегрирования.
Определение. Непосредственным интегрированием называетсяинтегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основныхинтегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х),нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которойстоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии справой частью этой формулы.
ò Примеры.
1)
х8
8
ò х7dх
ò Решение. х7dх = + С
2)
ò
ò 2 3 х2 dх
х5/3
5/38
ò
ò Решение. Имеем 2 3 х2 dх= 2х2/3dх
6
5
ò Применяя формулы,получаем 2х2/3dх = 2 х2/3dх = 2 + С.
ò
3dх
cos23х Таким образом, 2х2/3dх = х 3 х2 + С.
3)
3dх
cos23х
ò
ò
d(3х)
cos23х Решение. Согласно известному свойствудифференциала, 3dх = d(3х), а потому
=
Применяя формулу, получаем tg3х + С
В тех случаях,когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данныйинтеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти посоответствующей формуле.
3)
ò
ò (2х3+ 9х2 – 5 х + 4/ х )dх
ò вч
ò
ò
ò Решение. (2х3 + 9х2 – 5 х + 4/ х )dх =
= 2 х3dх + 9 х2dх – 5 х1/2 + 4 dх/ х =
х3/2
3/2
х3
3
х4
4 =2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =
=х4 / 2 + 3х3– 10/3 х х + 8 х + С. 2.5. Метод замены переменной (способ подстановки).
ò Наиболее общим приёмоминтегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда,когда искомый интеграл f(х)dх не является табличным, но путём нопутём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному.
ò
ò Метод подстановки основанна применении следующей формулы:
f(х)dх = f[j(t)]j’(t)dt, (1)
где х =j(t) – дифференцируемая функция отt, производная которой j’(t) сохраняет знак длярассматриваемых значений переменных.
ò Сущность применения этой формулы состоит втом, что в данном интеграле f(х)dхпеременная х заменяется переменной t по формуле х = j(t) и,следовательно, dх произведением j’(t)dt.
ò Справедливость формулы (1)будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатсяодинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем
d [ f(х)dх ] = f(х)dх = f [j(t)] j’(t)dt
ò Продифференцировав правую часть формулы, имеем
d f [j(t)] j’(t)dt = f [ j(t) ]