Реферат
по дисциплине: «Математика»
на тему:
«Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»
Основныеопределения
Определение.Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов,называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числаназываются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяетсяномером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицыобозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.
А = />/>/>Основные действия надматрицами
Матрица можетсостоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрицаможет состоять даже из одного элемента.
Определение. />Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрицаназывается квадратной.
Определение. Матрицавида:
/>= E,
называется/> единичной матрицей.
Определение.Если amn = anm, то матрица называется />симметрической.
Пример. />-симметрическая матрица
Определение.Квадратная матрица вида /> называется диагональной матрицей.
Сложение ивычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самымглавным свойством этих операций является то, что они определены только дляматриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операциисложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой(разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственносумма (разность) элементов исходных матриц.
/>cij = aij ± bij
С = А + В = В + А.
Операцияумножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению(делению) каждого элемента матрицы на это число.
/>
a(А+В) =aА±aВ
А(a±b) = aА ± bА
матрицаалгебраический линейный уравнение
Пример. Даныматрицы А = />;B = />,найти 2А + В.
2А = />, 2А + В = />.Операцияумножения матриц
Определение:Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычисленыпо следующим формулам:
/>
A×B = C;
/>.
Изприведенного определения видно, что операция умножения матриц определена толькодля матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.Свойстваоперации умножения матриц
1)Умножениематриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определеныоба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВАвыполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характернымпримером может служить единичная матрица, котораяявляется перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочнымимогут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А×Е = Е×А = А
Очевидно, чтодля любых матриц выполняются следующее свойство:
A×O = O; O×A = O,
где О –нулевая матрица.
2) Операцияперемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С,то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операцияумножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смыслвыражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ+ АС
(А + В)С = АС+ ВС.
4) Еслипроизведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
a(AB)= (aA)B= A(aB).
5) Еслиопределено произведение АВ, то определено произведение ВТАТи выполняется равенство:
(АВ)Т =ВТАТ, где
индексом Тобозначается транспонированная матрица.
6) Заметимтакже, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.
Понятие det(определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.
/>Определение. Матрицу В называют транспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строкиматрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = />; В = АТ=/>;
другимисловами, bji = aij.
В качествеследствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T= CTBTAT,
при условии,что определено произведение матриц АВС.
Пример. Даныматрицы А = />,В = />, С = /> и число a = 2. Найти АТВ+aС.
AT= />; ATB= />×/>= /> = />;
aC= />; АТВ+aС = />+/>= />.
Пример. Найтипроизведение матриц А = /> и В = />.
АВ = />×/>= />.
ВА = />×/>= 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найтипроизведение матриц А=/>, В = />
АВ = />×/>= />= />.
/>/>Определители.(детерминанты)
Определение.Определителем квадратной матрицы А=/>называется число, которое можетбыть вычислено по элементам матрицы по формуле:
/> det A = />, где
М1к– детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k –го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют толькоквадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущаяформула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, такжесправедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
/>det A = />
Вообщеговоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы,т.е. справедлива формула:
/> detA = />, i = 1,2,…,n.
Очевидно, что различныематрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичнойматрицы равен 1.
Для указаннойматрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицыa1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицыимеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только вквадратных матрицах.
Определение. />Дополнительный минор произвольного элементаквадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной изисходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Свойство1.Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2. det(AB) = detA×detB
Свойство 3. Еслив квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), тоопределитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.
Свойство 4.При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножаетсяна это число.
Определение: Столбцы(строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейнаякомбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 6.Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равеннулю.
Свойство 7.Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определительравен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можноименно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8.Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца)прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либочисло, не равное нулю.
Свойство 9.Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d= d1 ± d2, e = e1 ± e2, f = f1±f2, то верно:
/>
Пример.Вычислить определитель матрицы А = />
/>
= -5 + 18 + 6= 19.
Пример:. Даныматрицы А = />,В = />. Найтиdet (AB).
1-й способ:det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.
2- й способ: AB= />, det(AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152 = -26.
/>/>Элементарныепреобразования матрицы
Определение.Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:
1) умножениестроки на число, отличное от нуля;
2)прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;
3)перестановка строк;
4)вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5)транспонирование;
Те же операции,применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.
С помощьюэлементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавитьлинейную комбинацию остальных строк (столбцов)./>/>Миноры
Выше былоиспользовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минораматрицы.
Определение.Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько жепроизвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов,расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицыА. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется миноромпорядка s.
Заметим, чтовышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.
Есливычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, тоопределитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
/>/>Алгебраическиедополнения
Определение.Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равнойсумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае,алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор,взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоитэлемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
ТеоремаЛапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, …,is,то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров,расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения./>/>Обратная матрица
Определимоперацию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение.Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющиеусловию:
XA = AX = E,
где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Хназывается обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждаяквадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу ипритом только одну.
Рассмотримобщий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя изопределения произведения матриц, можно записать:
AX = E Þ />, i=(1,n), j=(1,n),
eij =0, i ¹ j,
eij =1, i = j.
Такимобразом, получаем систему уравнений:
/>,
Решив этусистему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Данаматрица А = />,найти А-1.
/>
/> />
Такимобразом, А-1=/>.
Однако, такойспособ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтомуобычно применяют следующую формулу:
/>/>,
где Мji-дополнительный минор элемента аjiматрицы А.
Пример. Данаматрица А = />,найти А-1.
det A = 4 — 6= -2.
M11=4;M12= 3; M21= 2; M22=1
x11=-2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2
Такимобразом, А-1=/>.Cвойстваобратных матриц
Укажемследующие свойства обратных матриц:
(A-1)-1= A;
(AB)-1= B-1A-1
(AT)-1= (A-1)T.
Пример. Данаматрица А = />,найти А3.
А2= АА = />/> = />; A3= />/>= />.
Отметим, чтоматрицы /> и/> являютсяперестановочными.
Пример. Вычислитьопределитель />.
/> = -1/>
/> = -1(6 – 4) –1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
/> = />= 2(0 – 2) –1(0 – 6) = 2.
/>= /> = 2(-4) –3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значениеопределителя: -10 + 6 – 40 = -44.
/>
Базисныйминор матрицыРангматрицы
Как былосказано выше, минором матрицы порядка s называетсяопределитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихсяна пересечении каких — либо выбранных s строк и s столбцов.
/>Определение. В матрице порядка m´n минор порядка rназывается базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и вышеравны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m илиn.
Столбцы истроки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрицеможет быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
/>Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангомматрицы и обозначается Rg А.
Очень важнымсвойством элементарных преобразований матрицявляется то, что они не изменяют ранг матрицы.
/>Определение. Матрицы, полученные в результате элементарногопреобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равныематрицы и эвивалентные матрицы — понятия совершенно различные.
Теорема.Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейнонезависимых строк.
Т.к.элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенноупростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определитьранг матрицы.
/>~ />~/>, /> RgA = 2.
Пример:Определить ранг матрицы.
/>~ />~ />~/>, /> Rg = 2.
Пример.Определить ранг матрицы.
/>~/>, />Þ Rg = 2.
Если спомощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентнуюисходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисленияминоров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это минорыпорядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равенпорядку этого минора./>/>Теорема о базисномминоре
Теорема. В произвольнойматрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов(строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, рангпроизвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк(столбцов) в матрице.
Если А-квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейнаякомбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данноеутверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равномнулю./>/>Матричный метод решениясистем линейных уравнений
Матричныйметод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобендля решения систем невысокого порядка.
Метод основанна применении свойств умножения матриц.
Пусть данасистема уравнений:
/>
Составимматрицы: A = />; B = />; X = />.
Системууравнений можно записать: A×X = B.
Сделаемследующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Дляприменения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может бытьсвязано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример.Решить систему уравнений:
/>
Х = />, B = />, A = />
Найдемобратную матрицу А-1.
D= det A = />5(4-9)+ 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11= /> = -5; M21= /> = 1; M31= /> = -1;
M12= /> M22= /> M32= />
M13= /> M23= /> M33= />
/> A-1= />;
Cделаемпроверку:
A×A-1 = />=E.
Находимматрицу Х.
Х = />= А-1В= />×/>= />.
Итого решениясистемы: />x =1; y = 2; z = 3.
Несмотря наограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений прибольших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод можетбыть легко реализован на ЭВМ./>/>Метод Крамера
Данный метод такжеприменим только в случае систем линейных уравнений, где число переменныхсовпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения накоэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы,т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо,чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0;
Действительно, есликакое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если кэлементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку.Определитель в этом случае будет равен нулю. Теорема. (ПравилоКрамера)
Теорема. Система из nуравнений с n неизвестными
/>
в случае,если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение иэто решение находится по формулам:
xi= Di/D, где
D= det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменойстолбца i столбцом свободных членов bi.
Di = />
Пример.
/>
A = />; D1= />; D2= />; D3= />;
x1= D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;
Пример. Найтирешение системы уравнений:
/>
D=/>= 5(4 –9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
D1 = /> = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 –10 = -30.
x1= D1/D = 1;
D2 = /> = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 +40 = -60.
x2= D2/D = 2;
D3 = /> = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 –40 = -90.
x3= D3/D = 3.
Как видно,результат совпадает с результатом, полученным вышематричным методом.
Если системаоднородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеетединственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn= 0.
При D = 0 система имеетбесконечное множество решений.
Длясамостоятельного решения:
/>; Ответ: x =0; y = 0; z = -2./>/>Решение произвольныхсистем линейных уравнений
Как былосказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системамлинейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений.Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение.Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующимобразом:
/>,
где aij– коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются nчисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение втождество.
/>Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то онаназывается совместной. Если система не имеет ни одного решения, то онаназывается несовместной.
/>Определение. Система называется определенной, если она имееттолько одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение.Для системы линейных уравнений матрица
А = /> называетсяматрицей системы, а матрица
А*=/> называетсярасширенной матрицей системы
/>Определение. Если b1, b2, …,bm= 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна,т.к. всегда имеет нулевое решение./>/>Элементарныепреобразования систем
Кэлементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеимчастям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и тоже число, не равное нулю.
2)Перестановкауравнений местами.
3)Удаление изсистемы уравнений, являющихся тождествами для всех х./>/>Теорема Кронекера –Капелли (условие совместности системы)
(ЛеопольдКронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Системасовместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицысистемы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, чтосистема (1) может быть записана в виде:
x1/> + x2/>+ … + xn/>
Доказательство.
1) Еслирешение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинациястолбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяютранга.
2) Если RgA =RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор.Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, теверна запись, приведенная выше.
Пример.Определить совместность системы линейных уравнений:
/>
A = />
~ />. /> RgA = 2.
A* = /> RgA* = 3.
Системанесовместна.
Пример.Определить совместность системы линейных уравнений.
/> А = />; /> = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;
A* = />
/> RgA* = 2.
Системасовместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2./>/>Метод Гаусса
(Карл ФридрихГаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие отматричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системамлинейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть методазаключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотримсистему линейных уравнений:
/>
Разделим обечасти 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:
1) умножим наа21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим наа31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
/>, где d1j= a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij =aij – ai1d1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.
Далееповторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего ит.д.
Пример.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
/>
Составимрасширенную матрицу системы.
А* = />
Такимобразом, исходная система может быть представлена в виде:
/>, откудаполучаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Пример.Решить систему методом Гаусса.
/>
Составимрасширенную матрицу системы.
/>
Такимобразом, исходная система может быть представлена в виде:
/>, откудаполучаем: z = 3; y = 2; x = 1.
Полученныйответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера иматричным методом.
Списокиспользуемой литературы
1. Курсвысшей математики. Краткий конспект лекций. Ó Ларин АлександрАлександрович 2000 год.
2. Высшаяматематика для менеджеров Л.Г. Корсакова