Курсоваробота
натему:
Обчисленнявизначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.
Зміст
Вступ
1. Огляд літератури
2. Формулювання задачі
3. Алгоритм розв’язку задач
4. Опис програми на мові Turbo С
5. Інструкція користувачеві програми
6. Контрольні приклади та аналіз їхреалізацій
Висновок
Список використаної літератури
Додатки
Вступ
Обчислювальну техніку останніми разамишироко застосовують у всіх сферах діяльності людини. Вона стала каталізаторомнауково–технічного процесу. Історія розвитку обчислювальної техніки починаєтьсяз 1945 року, коли американський вчений Фал Нейман та інші визначили основніпринципи побудови ПК (так звані основні принципи програми управління).
У 1946 р. в Пенсильванському університетібуло побудовано першу машину – “Машину 1-го покоління”. Найхарактернішоюознакою цих машин було використання електричних ламп. Потім з’явилися зовнішнізапам’ятовуючі пристрої – пристрої вводу інформації. Лампові машини мали великігабарити, у них була мала ємкість оперативної пам’яті, було слабке математичнезабезпечення. Пізніше з’явилися напівпровідникові пристрої. Ці машини булибільш надійними, мали менші габарити. На початку 60-тих років була розробленатехнологія виробництва інтегральних схем. Це вирішило проблеми надійності іцінноссті машин ПК.
З 1968 р. Починається ІІІ покоління ПК.Використовується постійна пам’ять. Важливим кроком в цьому поколінні євикористання дисплея, з’явилась уже клавіатура. З середини 80-тих років поряд змашинами ІІІ-го покоління з’являються машини ІV-го покоління. Характерноюособливістю ІV-го покоління є використання інтегральних систем.
Обчислювальні машини можна використовуватиефективно лише за умови глибокого знання чисельних методів математики.
Бурхливий розвиток ПК сприяв широкомупроцесу математизації науки, техніки і господарства в цілому. Саме розробка ізастосування математичних методів розв’язування прикладних задач на базі ПК єпредметом сучасної прикладної математики.
Математика – одна з найдавніших наук –виникла з практичних потреб людини.
Застосування швидкодіючих ПК длярозв’язування складних прикладних задач сформувало новий спосіб проведеннятеоретичних досліджень на базі математичних моделей – обчислювальнийексперимент.
Виділяють 5 етапів технологічного циклуобчислювального експерименту, побудова математичної моделі задачі, розробка методурозв’язування математичної моделі, програмування, розрахунки на ПК, аналізрезультатів розрахунків і застосування.
Завдяки обчислювальному експериментувдалося розв’язати не тільки багато важливих прикладних задач, а й перевіритигіпотези класичної математики.
Відомо топологічною задачею є проблема4-рьох фарб. Ця гіпотеза була підтверджена в 1976 р. американським математикомАппелем і Хакеном за допомогою ПК. В даний час відбувається швидкий розвитокусіх галузей науки. Людство прагне зрозуміти себе та світ навколо себе. Томувиникають сотні нових задач, які зводяться до використання числових методів. Вбагатьох випадках для їхнього розв’язання використовується чисельнеінтегрування, а саме методи прямокутників, трапецій, Сімпсона. Тому важливим іактуальним є розроблення програмного забезпечення, яке дозволяє виконуватиобислення за допомогою цих формул.
Метою даної курсової роботи є практичнезакріплення, поглиблення та розширення знань і вмінь, набутих мною при вивченнідисциплін “Основи програмування” та “Проблемно-орієнтовані мови програмування”.
Тема курсової роботи – “ Обчисленнявизначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона”.
1. Огляд літератури
Підходячи до реалізації питань курсовоїроботи, не можливо обійтись без таких апаратних можливостей та структур якмасиви, функції, структури, символьні рядки, та файли. Тому давайтеознайомимось із структурними можливостями мови програмування С/С++.
Масиви. Масив – це набір елементів одного ітого ж типу. Елементи зберігаються в пам’яті у вигляді послідовності, а доступдо них відбувається з допомогою цілочислового індекса. В мові С перший елементмасиву має індекс 0, звідси випливає, що кінцевий елемент масиву, якийзберігає n елементів. Має індекс n-1. Контроль за правильним використанняміндексів покладається на програміста, оскільки ні компілятор, ні виконуючапрограма не відстежують за цим процесом. Працюючи з масивами ми стикаємось ізвеликим об’ємом інформації. Досить часто масиви пропонують найкращі способиманіпуляції, зручні та ефективні. Ім’я масиву є адресою його першого елемента.Звертання до елементів масиву відбувається через індексну або вказівниковуформи.
Структура оголошення масиву :
[розмір];
Приклад:
int ar[10][6];
int temp[n][m];
void main (void)
{
int temp[n][m];
temp[0][0]=2;
ar[0][0]=2;
};
Ім’я масиву є адресою його першогоелемента.
Функції. Функція – це самостійна одиницяпрограмного коду, яка розроблена для вирішення конкретної задачі, якасупроводжується обов’язково ( ). Уміло володіючи її можливостями у нас в рукахопиняється потужний програмний інструмент.Користуючись аргументами для передачізначень функцій, а для повернення результату реалізації функція використовуєключове слово return. Якщо функція повертає якесь значення, тип якого не int, ми повинні описати тип функції в описі даної функції в розділі оголошеньвикликаючи функцій. Якщо ми хочемо, щоб функція реагувала на змінні щовикликаються функцією, потрібно використовувати адреси і вказівники.
Стандарт ANSI С пропонує прототипні функції, що є потужним покращенням мови С, яке дозволяє компіляторам перевіряти чиправильно вказана кількість типів аргументів при виклику функції. Функція С здатнавикликати саму себе, що називається рекурсією. Деякі задачі можна вирішувати мотодомрекурсії, але цей метод бути не ефективним з точки зору використання пам’яті ічасу.
Використовуючи функції ми одержуємо деякіпереваги такі як :
а).необхідність багаторазового повтору упрограмах одного і того програмного коду. Якщо в програмі необхідно вирішуватиодну і ту ж задачу декілька раз, нам достатньо написати відповідну функціювсього лиш раз. Програма використовуватиме дану функцію там, де це буденеобхідно, а ми можемо використовувати цю функцію в декількох програмах. Навітьтоді, коли задача в програмі виконується лише раз, використання функціїцілеспрямоване, поскільки при цьому повишається рівень модульності, через щопрограма стає більш зрозумілою при читанні, а ще в неї легко можна вноси зміниі доповнення.
Функції мають наступну структуру:
( )
{ ;
*******************************
}
;
Функція може повертати в точку її викликузначення будь-якого типу в тому числі користувацького крім масиву (символьногорядка і функції), але може повертати вказівник на довільний тип, включаючимасив і функцію. Внутрішні змінні функції описуються на початку і можутьвикористовуватися тільки в межах цієї функції. У разі, якщо функція повиннаповертати значення якогось типу в операторі return вказують вираз значенняякого є результатом роботи функції.
Приклад:
int Min3(int a, int b, int c)
{
int min;
min=a
return min
};
Символьні рядки. Символьні рядки – це одиніз найкорисніших і важливих типів даних в мові С. Бібліотека функцій в мові Спропонує широкий спектр функцій для читання і запису, копіювання, порівняння,комбінування, пошуку і виконання інших корисних операцій із рядками. Символьнийрядок – це один із різновидів масиву типу char, який суттєво вирізняється тим,що в кінці кожного символьного рядка, як такого стоїть ескейп-символ«нуль-символ(\0)». Із символьних рядків можна утворювати складні синтаксичніструктури. До елементів рядка можна звертатись двома способами: через індексиабо через вказівники. Використовуючи вказівники ми оперуємо чудовимінструментом доступу до елементів, який набагато ефективніший за індекснуформу. Використовуючи вказівники ми можемо звертатись до елементів не тільки якдо символа, але й як адресу, на яку вказує вказівник.
Рядок може зберігатись в символьномумасиві. Рядок може бути представлений у вигляді рядкової константи, в якійсимволи за виключенням нульового вставлені у подвійні лапки. Нуль-символпроставляє компілятор. Довжина рядка виміряють за допомогою функції strlrn( ),не враховуючи нуль-символ. Рядкові константи відомі ще як рядкові літерали іможуть використовуватись для ініціалізації символьних масивів. Розмір масивуповинен містити принаймі на один символ більше, щоб включити нуль-символ.Символьні константи використовують для ініціалізації вказівників на типchar.Для ідентифікації опрацьовуючого рядка
функції використовують вказівник на першийсимвол даного рядка. В загальному випадку відповідним фактичним параметрам являєтьсяім’я масиву, змінна типу вказівник або рядок, поміщений у лапки.
Функції gets( ) i puts( ), відповідно, читаютьрядок вводу і показують рядок виводу. Вони являються частиною сімействаstdio.h.
Бібліотека С включає в себе декількафункцій опрацювання рядків. В умовах дії стандарту ANSI C ці функції оголошенів заголовному файлі string.h.Дана бібліотека містить декілька функціїопрацювання символів; вони оголошені в заголовному файлі ctype.h. Існуютьфункції перетворення символьного представлення чисел відповідно в тип int,long, double як atoi( ), atol( ), atof( ), і зворотні strtol( ), strtoul( ),strtod( ).
Структури. Однією із найважливіших дій прирозробці програми являється вибір підходящого способу подання даних. В багатьохвипадках простих змінних або навіть масивів недостатньо. Мова С дозволяєрозширити можливості представлення даних за допомогою змінних типу структури.Структура в мові С являється досить гнучким засобом в своїй базовій формі, вонанадає можливість представлення різнотипних даних, при чому дозволяє створюватинові форми. Структури починаються зарезервованим словом struct і мають такуструктуру :
Struct {
;
…………………….
};
де — унікальне полеструктури, яке визначає дану структуру .
Поля структур — це елементи з якихскладається структура, кожне поле має свій тип. Тип поля — довільний,простий або складений допустимий для С.
Розмір структури (обсяг оперативноїпам’яті), яку займає структура буде більший (рівний) за розмір усіх її полів.Тому реальний розмір структури визначають операцією size of(). Шаблони структур фактично створюють новий користувацький тип,але для них не виділяється місце в оперативній пам’яті. Пам’ять виділяєтьсятільки для структурних змінних, які можна оголошувати разом зі шаблоном, абоокремо, посилаючись на шаблон.
Для ідентифікації шаблону і оголошеннязмінних даного типу можна використовувати дескриптори. Операція приналежності(.) дозволяє получити доступ до окремих елементів структури через використанняміток шаблона структури.
Якщо у нас є вказівник на конкретнуструктуру, для доступу до окремого елемента структури ми можемо використативказівник і складену операцію приналежності (->) замість імені і операціїкрапка. Здобути адресу структури можна з допомогою &. На відміну відмасивів, ім’я структури не може бути адресою структури.
Традиційно функція, орієнтована на роботузі структурими, використовують вказівники на структури в якості аргументів.Сучасна версія С допускає передачу структур в якості аргументів, використанняструктур в якості повертаючи значень і виконання операції присвоєння надструктурами одного і того ж типу. Подібним синтаксисом володіють об’єднаня. Прикладомякий демонструє структуру може бути :
struct book {
char avtor[60];
char name[120] ;
int year ;
} book1,book2;
Файли. Файли являються частиною теперішніхкомп’ютерних систем. Вони використовуються для зберігання програм, даних,кореспонденції, форм, графічних даних та багато іншої інформації.Будучипрограмістом, ми повинні знати, як писати програми, які створюють, записуютьта читають файли .
Часто у нас виникає необхідність впрограмах, які можуть зчитувати інформацію із файлу або записувати результативиконання у файл. Однією із таких форм обміну даними між програмою і файлом єпере адресація файлу.
Мова С пропонує більш потужніший методобміну даними з файлами. Він дозволяє відкривати файли із програми, а тоді здопомогою спеціальних функцій вводу-виводу виконає читання і запис в цей файл.
Файл являє собою іменований розділ пам’яті, зазвичай розміщений на диску. Однак для операційної системи файл являєтьсябільш складним об’єктом.
С розглядає файл як неперервнупослідовність байтів, кожен з яких може бути прочитаний індивідуально. Цевідповідає структурі файлу в операційній системі Unix, з якої мова С бере свійпочаток. Оскільки інші операційні системи не відповідають цій моделі, стандартANSI С пропонує два способи представлення файлів: текстове представлення ідвійкове представлення.
Програма на мові С розглядає ввід як деякийпотік даних. Джерелом цього потоку може бути файл, пристрій вводу(клавіатура)або навіть вивід в іншу програму. Програма на С трактує вивід як потік байтів, місцем призначення яких може бути файл, пристрій відображення і тому подібне. Як С інтерпретує вхідний або вихідний потік байтів, залежить від того, якуфункцію вводу-виводу ми використовуємо. Програма може читати і зберігати
байти без змін, з другої сторони, вонаможе інтерпретувати байти як символи, які в свою очередь, можна розглядати якзвичайний текст, або текстове представлення чисел. Аналогічно для двійковогозначення без зміни або перетворення в текст або текстове представлення чисел.
Якщо є числові, які необхідно зберегти, апотім використати без втрати точності їх представлення, використовуютьдвійковий режим і функції fread( ) i fwrite( ). Якщо зберігати текстовуінформацію і хочемо створити файл, який легко переглядається з допомогоюзвичайних текстових редакторів, скористаємося текстовим режимом і функціями getc() i fprint( ).
Щоб отримати доступ до файлу, потрібностворити вказівник на файл (типу FILE *) і пов’язати його з конкретним ім’ямфайлу.
C підтримує операції введення/виведенняданих через відповідні набори бібліотечних функцій, при чому вони можуть бутиреалізовані на трьох рівнях :
А). високий — це так званіпотокоорієнтовані операції буферизованого вводу/виводу, їх прототипи містятьсяу заголовному файлі «stdio.h», які є дуже мобільні.
Б). низький — (не підтримуванийстандартом) базується на операціях MS DOS, прототипи містяться у заголовномуфайлі .
В). консольний — базується на засобахBIOS, прототипи в заголовному файлі .
Важливо пам’ятати, що С сприймає поняття кінцяфайлу і виконує читання файлу вциклі до тих пір доки не досягне кінця файлу.Функції вводу у мові С не знаходять кінець файлу до того часу, доки непопробують читати символи, що йдуть за кінцем файлу.
Ввід і вивід файлів буферезований.Стандартний пакет вводу-виводу автоматично створює буфер для вводу і виводу, щоприскорює передачу даних. Функція fopen( ) відкриває файл для стандартноговводу-виводу і створює структури даних, які пизначені для зберіганняінформації про файл і буфер. Повертає вказівник на цю структуру даних, а самвказівник використовується іншими функціями. Розрізняють декілька режиміввиконання для функції fopen( ):
“r”—відкриття текстового файлу для читання;
“w”—відкриває текстовий файл для запису,відрізаючи довжину існуючого файлу до нуля, або створює файл якщо такого неіснує;
“a”--- відкриває текстовий файл для запису,добавляючи дані в кінець існуючого файлу, або створює файл якщо такого неіснує;
“r+”--- відкриває текстовий файл дляобновлення;
“w+”--- відкриває текстовий файл дляобновлення, виконавши спочатку обтинання файлу до нульової довжини, якщо вініснує, або створює файл, якщо той ще не існує;
“a+”--- відкриває текстовий файл дляобновлення, добавляючи дані в кінець існуючого файлу, або створює файл якщотакого не існує, але при цьому можна читати весь файл, однак записанаінформація добавляється в кінецьфайла;
Функції feof( ) і ferror( ) повідомляютьпро причини невдалого завершення операцій вводу-виводу.
До задач числових методів відносятьсяприкладні задачі, розв’язок яких містить числову інформацію. Вони зводяться доматематичрих обчислювальних методів. Виділяють наступні етапи розв’язуваннязадач числових методів, які наведені [1,2]:
побудова математичних моделей (математичнеформулювання задачі) — охоплює найважливіші для даної задачі сторони, явища;
вибір методу розв’язування – длянайпростіших задач знаходять аналітичний розв’язок, складніші розв’язуютьсянаближеними методами, зокрема числовими;
алгоритмізація процесу – складанняалгоритму розв’язку задач (якщо задача розвязується на ПК, складаєтьсяпрограма);
виконання обчислення на ПК чи вручну;
аналіз результатів.
Числові методи для розв’язаннярізноманітних задач почали широко використовуватися в 50-х рр. ХХ століття,коли починається розвиток комп’ютерної техніки. Громіздкі обчислення з появоюелектронно-обчислювальних машин перестали бути такими складними, адже їхвиконувала машина.
Формула прямокутників.
Ідея формули прямокутників полягає в тому,що на малому відрізку [x/>;x/>+h] площа криволінійної трапеціїнаближено рівна площі прямокутника з основою (x/>;x/>+h) і висотою рівною ординатібудь-якої точки />, яка належить відрізку [x/>;x/>+h].
/> (1)
В залежності від вибору точки /> отримаєморізновидності формул прямокутників (1).
Розіб’ємо відрізок [a;b] на n рівних частинточками a=x/>;x/>; x/>, причому x/>=x/>+h; x/>=x/>+2h; x/>=x+nh.
/> (2)
На кожному відрізку [x/>;x/>+h] замінемо відповіднукриволінійну трапецію на прямокутник висоту якого можна визначити по різному.
Формула „лівих” прямокутників.
Якщо за висоту прямокутника на кожномувідрізку [x/>;x/>+h] вибратиординату в лівому кінці, тобто y/>, то криволінійна трапеціязаміниться на ступінчасту фігуру, площу якої можна приймати за площукриволінійної трапеції.
Формула „лівих” прямокутників:
/> (3)
Формула „правих” прямокутників.
Якщо за висоту прямокутника вибратиординату правого кінця, тобто y/>(мал.3), то отримаємо формулу„правих” прямокутників (4).
Формула „правих” прямокутників:
/> (4)
Формула трапецій.
Вона полягає в тому, що на відрізку [x/>;x/>+h] до кривоїy=f(x) замінюють хордою, яка стягує кінці цієї дуги, тобто використовуютьлінійну інтерпуляцію функції y=f(x). При цьому площа криволінійної трапеціїзамінюється площею криволінійної трапеції з основами />і висотою h.
/> (5)