Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів
Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:
1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;
2) підінтегральна функція f(x)неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.
Якщо не виконується перша умова, тобто b= ∞або а = ∞або а = -∞ таb= ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.
Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x)має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку />називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).
Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞
/>(51)
її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:
/>(52)
Таким чином, за означенням
/>(53)
У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x)— інтегровною на проміжку [а; +∞).--PAGE_BREAK--
Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).
Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]:
/>(54)
Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю
/>(55)
де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.
З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.
Зауважимо, що коли функція f(x)неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).
/>
рис. 7.12
Приклад.
Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:
а) />б) />
в) />д) />
а) За формулою (53) маємо
/>
Отже інтеграл а) збігається.
б) />
Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний.
в) />
Отже інтеграл в) розбіжний,
г) Якщо />= 1, то
/>
Якщо />≠ 1, то
/>
Отже інтеграл г) є збіжним при />> 1 і розбіжним при />≤ 1.
У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.
Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x)≤ g(x), то із збіжності інтеграла продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(56)
випливає збіжність інтеграла
/>(57)
а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).
Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.
/>
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграли:
а) />; />
а) Оскільки />:
/>
і інтеграл />збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.
б) Цей інтеграл розбігається, бо />/>:
/>
і інтеграл />розбігається.
Теорема 2. Якщо існує границя
/>/>, />,
то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 f(x)≤ g(х).
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
/>
Оскільки інтеграл />збігається і
/>
то заданий інтеграл також збігається.
В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Якщо інтеграл />збігається, то збігається й інтеграл />.
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл />.
Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки
/>
то заданий інтеграл збігається.
Слід зауважити, що із збіжності інтеграла />не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла />. Ця обставина виправдовує такі означення.
Якщо разом з інтегралом />збігається й інтеграл />, то інтеграл />називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞). продолжение
--PAGE_BREAK--
Якщо інтеграл />збігається, а інтеграл />розбігається, то інтеграл />називають умовно (або неабсолютно) збіжним.
Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .
Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
/>
Оскільки
/>
то за теоремою 3 інтеграл />збігається.
Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x)=/>на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
Нехай функція f(x)визначена на проміжку [а, b). Точку х = bназвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x)→ ∞при х →b— 0(рис. 7.14). Нехай функція f(x)інтегровна на відрізку [а; b— />] при довільному />> 0 такому, що b-/>> />; тоді, якщо існує скінченна границя
/>(58)
її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:
/>(59)
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Отже, за означенням
/>
У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.
Аналогічно якщо х = />— особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:
/>
/>
Якщо f(x)необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с/>/>(а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів />і />за означенням покладають (рис. 7.16).
/>
Нарешті, якщо а та b— особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів />і />за означенням покладають
/>
де с — довільна точка інтервалу (а; b).
Приклад
Обчислити невласні інтеграли:
а) />; б) />
а) />
Отже, інтеграл а) збіжний.
б) Якщо />1, то
/>
Якщо />= 1, то
/>
Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 1.
Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою
/>(91)
Можна довести, що для всіх />/>(0, +∞) і />/>(0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл />, згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною. продолжение
--PAGE_BREAK--
Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл
/>(92)
Покажемо, що невласний інтеграл (92) при />> 0 збігається. Маємо
/>
Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо
/>
Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n— довільне натуральне число таке, що n> />— 1, то
/>,
в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що
/>
Отже, інтеграл (92) при />> 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г(/>).
Обчислимо значення Г(/>) при а />N. Якщо />= 1, то
/>(93)
Нехай n+ 1 />інтегруючи частинами, дістанемо
/>
звідки
Г(n+1) = nГ(n) (94)
З рівностей (93) і (94) випливає, що />n/>N:
Г(n+1) = n!
Таким чином, гамма-функція для цілих значень n/>N виражається через n!.. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].
Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:
/>
де />> 0 і 0 (/>) = nі помножити її на n, дістанемо продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(95)
Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням
/>(96)
Приклади
1. Знайти Г />
Згідно з формулою (96), при />= />= />маємо
/>
отже, Г/>=/>.
2. Обчислити інтеграл Ейлера — Пуассона />
Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо
/>
3. Виразити інтеграл />через бета-функцію наближено при />= 3, />= />.
Маємо
/>
Зокрема, при />= 3 і />= />згідно з формулою (96) дістанемо
/>
Завдання для самоконтролю
Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?
Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра.
3. Дати означення гамма-функції Г(/>).
Довести, що Г(n+1) = n!, n/>N.
Дати означення бета-функції В(/>,/>). Як пов'язані між собою бета- та гамма-функції?
Довести, що
/>
Вказівка. Скористатись підстановкою sinx=/>.