--PAGE_BREAK--1, 2 – собственные значения.
Найдем собственные векторы для собственных значений :
при = получаем:
откуда x1 = (2+)x2; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);
при = -получаем:
откуда x1 = (2 — )x2; 2-й собственный вектор: ((2 — )x, x);
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) — функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.
Оператор А, действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) — f0(x)|.
Решение:
p (A xn(t), Ax0(t)) = |Axn(t) — Ax0(t)| = |xn(t)g(t) — x0(t)g(t)| |g(t)| |xn(t) — x0(t)| = |g(t)|p (xn(t), x0(t)) 0.
Итак, p (A xn(t), Ax0(t)) 0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.
4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.
По определению 5: ||A||=|A(f)|.
Решение.
||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.
|g(t)x(t)| |g(t) x(t)| = |g(t)| |x(t)| |x(t)| |g(t)|.
||A||= |x(t)| |g(t)| = ||x(t)|| |g(t)| |g(t)|.
Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.
5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.
Возьмем произвольное число и составим оператор :
(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).
Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение относительно функции . Это возможно, если для любого :
.
Если число не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор является ограниченным.
Если же , то оператор не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).
Резольвента оператора имеет вид .
Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.
Вывод:
Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) — функция, непрерывная на [a, b], a,bR:
1. линейный;
2. непрерывный;
3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;
4. обратим при , для любого ;
5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;
6. резольвента имеет вид .
§5. Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций — C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) = .
f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t [a,x]; x [a,b]; a,bR;
Поскольку - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению 1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = = + = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) = = k* = kA(f).
Исходя из свойств интеграла:
1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;
2. вынесение const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(t), f0(t)) 0 p (A fn(t), Af0(t)) 0.
Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) — f0(t)|.
Решение:
p (A fn(t), Af0(t)) = | - |.
| - | = || = p (fn(t), f0(t)) = p (fn(t), f0(t)) (x-a) 0
axb.
Таким образом p (A fn(t), Af0(t)) 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
|| || ||
|| = 0; || = |b-a|.
0 || |b-a|.
5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):
||A|| = |A(f)| = || = (x-a);
a x b;
Норма оператора А: ||A|| = (b-a);
6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.
Возьмем пространство S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.
В пространстве S рассмотрим оператор А:
Аf =
x [0,b], t [0,x];
Найдем оператор обратный к (A — *I), R;
(A — *I)*f = g
- *f(x) = g(x) (1)
Пусть функции f и g дифференцируемы;
Продифференцируем уравнение (1), получим:
f — *f/ = g/ (2)
Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.
- f/ =
- + f/ = 0 (3)
Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:
- *U*V + U/ *V + U*V/ = 0
U/ *V + U*V/ — *U*V = —
U/ *V + U*(V/ — *V) = — (4)
Решаем однородное линейное уравнение:
V/ — *V = 0
V/ = *V
= *V
=
LnV = + c
V = *, пусть = с1
V = с1*
Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ — *V = 0.
Получим уравнение:
U/ * с1* = —
= -
= — *
U = -*
Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:
f(x) = с1**(-)*
найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:
dz = g/(x)dx;
z = = g(x);
j = ;
dj = — *dx;
Y = g(x)* + *
Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:
f(x) = - - **;
Получим оператор В:
Bg = - - **;
x [0,b], t [0,x], g(x) S, - произвольное число.
Оператор В не существует, если = 0;
Рассмотрим ограниченность оператора В для всех R, 0;
||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |- - **| (|| + |**|) || + |**| || + |*|*|g(x)* |*|x| *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|) |g(x)|*( + ***b);
При > 0
= ;
= 1;
При
=1;
= ;
Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда
|g(x)|*( + ***b) |g(x)|*( + *{1, }*b) = ||g(x)||*( + *{1, }*b);
Итак:
||Bg|| ||g(x)||*( + *{1, }*b);
То есть В – ограничен.
Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A — *I).
Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A — *I)*(Bg) = g(x).
Итак, нужно доказать, что
+ g(x) + * = g(x)
или
-* - + ** = 0; (*)
Возьмем производную от левой части (*) и получим:
-*g(x) — ** + ** + *** g(x) = -*g(x) + *g(x) — ** + ** = 0;
Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A — *I) в S.
Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A — *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.
Вывод:
Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,bR:
1. линейный;
2. непрерывный;
3. ограниченный: 0 || |b-a|;
4. норма A: ||A|| = (b-a);
5. резольвента оператора А: R(A) = - - **, где
x [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) = - *f(x), — произвольное число.
6. Спектр оператора А: =0.
§6. Оператор дифференцирования.
Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:
Дf(x) = f/(x);
Функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b];
Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:
1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).
Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).
2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).
Д(kf) = (kf)/ = k(f)/ = kД(f).
Исходя из свойств производной:
1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;
2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Можно утверждать, что Д – линейный оператор.
3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.
3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.
Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E C[0, 2], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].
Рассмотрим f0(x) = 0 C[0, 2] и последовательность функций fn(x)=.
В пространстве E C[0, 2]: p (f0, fn) = || = 0, следовательно fn f0.
Рассмотрим последовательность образов: Д(fn) = cos(nx).
Имеем:
p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)| = 1.
Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0, то есть отображение Д терпит разрыв в f0.
Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.
3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.
Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);
Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.
В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.
Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = |tn| = 1.
Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;
||f/n(t)|| = |n tn-1| = n.
В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод:
Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b]:
1. линейный;
2. не ограниченный;
3. не непрерывный.
§7. Оператор сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом:
Af(x) = f(x+a).
Функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы:
1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).
А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
По определению суммы функции, аксиома верна.
2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).
A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).
Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.
Оператор А действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) — f0(x)|.
Решение:
p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) — Af0(x)| = |fn(x+a) — f0(x+a)| = = |fn(t) — f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) 0.
Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):
||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1.
Поскольку ||f|| = |f(x)| 1.
Норма А: ||A|| = 1.
5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)
Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):
A-1f(x) = f(x-a).
6) Спектр оператора А.
Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +), имеющих конечный предел на :
Af(x) = f(x+a), a0.
Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+).
Введем функцию V(x) = при ||0, найдем ее предел:
продолжение
--PAGE_BREAK--