Министерство образования и науки РФ
Череповецкий государственныйуниверситет
Институт информационных технологий
Кафедра прикладной математики
Дисциплина: Геометрия и алгебра
Курсовая работа
на тему «Некоторые замечательныекривые»
г. Череповец
2010-2011 уч.г.
Содержание
Введение
1. Строфоида
1.1 Определение
1.2 Исторические сведения
1.3 Стереометрическое образование
1.4 Особенности формы
1.5 Задача
2. Циссоида Диокла
2.1 Определение и построение
2.2 Исторические сведения
2.3 Площадь Sполосы
2.4 Объем Vтела вращения
2.5 Задача
3. Декартов лист
3.1 Исторические сведения
3.2 Построение
3.3 Особенности формы
3.4 Задача
4. Улитка Паскаля
4.1 Определение и построение
4.2 Исторические сведения
4.3 Особенности формы
4.4 Свойства нормали
4.5 Построение касательной
4.5 Задача
5. Лемниската Бернулли
5.1 Определение
5.2 Исторические сведения
5.3 Построение
5.4 Особенности формы
5.5 Свойства нормали
5.6 Построение касательной
5.7 Задача
Заключение
Используемая литература
Введение
В данной работе мырассмотрим некоторые замечательные кривые и их особенности.
В параграфе 1 будетрассмотрена строфоида, особенности её формы, стереометрическое образование иисторические сведения.
Во 2-м параграфе мыизучим циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.
В параграфе 3 узнаемметод построения, особенности формы и исторические сведения о кривой,называемой «Декартов лист».
В 4-м параграферассмотрим улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы,свойства нормали и построение касательной. плоскийкривой лемниската бернули строфоида
В параграфе 5 будетизучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения,особенности формы, свойства нормали и построение касательной.
А также при помощизадач узнаем формулы кривых в прямоугольной декартовой и полярной системахкоординат.
1. Строфоида
1.1 Определение.
Прямая строфоида,или просто строфоида, определяется так: берём взаимно-перпендикулярныепрямые AB, CD(рис.1) и на одной из них точку A;через неё проводим произвольую прямую AL,пересекающую CD в точке P.На AL откладываем отрезки PM1,,PM2равные PO (O– точка пересечения AB и CD).Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек M1,M2.
Косая строфоида(рис.2) строится аналогично с той разницей, что ABи CD пересекаются косоугольно.
/>/>
1.2 История вопроса
Строфоида быларассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды.Нынешнее название введено Миди в 1849 г.
1.3 Стереометрическоеобразование
Представим себецилиндрическую поверхность с осью CD(см. рис.1) и радиусом AO.Через точку A проведемперпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость K(прямая AL – след этойплоскости). В сечении получим эллипс; его фокусы M1,M2описывают прямую строфоиду.
Косая строфоидастроится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхностьзаменяется конической: ось конуса (OSна рис.2) проходит через Oперпендикулярно AB; прямая UV,проходящая через B параллельно CD,– одна из образующих. Точки M1,M2– фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена наобеих полостях конической поверхности и проходит через вершину Sпоследней.
1.4 Особенности формы
Точка O– узловая; касательные к ветвям, проходящим через O,взаимно перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косойстрофоиды (рис.2) прямая UVслужит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме того, UVкасается косой строфоиды в точке S,равноотстоящей от A и B.
У прямой строфоидыточка касания S «уходит вбесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV(см. рис.1) служит асимптотой для обеих ветвей.
1.5 Задача
Написать уравнениестрофоиды в прямоугольной декартовой системе координат, осями которой являютсяпрямые AB и CD,а направление оси OX определяетсянаправлением оси строфоиды.
Решение:
Пусть O– начало координат; ось OXнаправлена по лучу OB; AO=a,/>AOD=α;когда строфоида – косая, система координат – косоугольная, ось OYнаправлена по лучу OD:
/> (1)
Для прямой строфоидыуравнение (1) приводится к виду
/> .
2. Циссоида Диокла
2.1 Определение ипостроение
На отрезке OA= 2a, как на диаметре, строимокружность C (рис.3) и проводимчерез A касательную UV.Через O проводим произвольнуюпрямую OF, пересекающую UVв точке F; эта прямая пересечет(вторично) окружность Cв точке E. На прямой OFот точки F по направлению к Oоткладываем отрезок FM, равный хорде OE.
/>
Линия, описываемаяточкой M при вращении OFоколо O, называется циссоидойДиокла – по имени греческого ученого 2 века до н.э., который ввел эту линию дляграфического решения задачи об удвоении куба.
Особенности формы. Циссоидасимметрична относительно OA,проходит через точки B,D и имеет асимптоту UV(x = 2a);O – точка возврата (радиус кривизны RO= O).
Построение касательной.Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке M,проводим MP/>OM.Пусть Q, P– точки пересечения MP с прямыми OX,OY. От точки Pна продолжении отрезка QPоткладываем отрезок PK = PQ.Строим KN/>MOи ON/>QP.Точку N пересечения KNи ON соединяем с M.Прямая MN – нормаль к циссоиде.Искомая касательная MT перпендикулярнаMN.
2.2 Историческиесведения
Диокл определялциссоиду с помощью другого построения. Он проводил диаметр BD,перпендикулярный OA; точка Mполучалась в пересечении хорды OEс прямой GG̕/> BD,проведенной через точку G,симметричную с E относительно BD.Поэтому линия Диокла располагалась целиком внутри круга C.Она состояла из дуг OB и OD.Если замкнуть линию BOD полуокружностьюBAD, описанной точкой E,получается фигура, напоминающая лист плюща. Отсюда название «циссоида».
Примерно в 1640 г.Роберваль, а позднее Р. де Слюз заметили, что циссоида неограниченнопродолжается и за пределы окружности, если точка Eописывает и другую полуокружность BOD;тогда M лежит на продолжениихорды OE. Однако наименование«циссоида Слюза», предложенное Гюйгенсом, не утвердилось в литературе.
2.3 Площадь Sполосы
заключенной междуциссоидой и ее асимптотой (эта полоса простирается в бесконечность), конечна;она втрое больше площади производящего круга C:
/>.
2.4 Объем Vтела вращения
вышеупомянутой полосыоколо асимптоты UV равен объему V̕тела вращения круга C около той жеоси (Слюз):
/>.
При вращении той жеполосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема.
2.5 Задача
Дана циссоида Диокла сполюсом в точке O, осью OAи параметром 2a. Приняв точку Oза полюс, а ось кривой за ось полярной системы, вывести уравнение кривой вполярных координатах. Записать уравнение кривой в прямоугольной декартовойсистеме координат.
Решение:
Пусть O– начало координат, OX – ось абсцисс.Тогда уравнение в прямоугольной системе координат:
/> .
Если O– полюс и OX – полярная ось, тоуравнение в полярных координаты будет иметь вид:
/> .
3. Декартов лист
3.1 Историческиесведения
В 1638 г. Р. Декарт,чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма для нахождениякасательных, предложил Ферма найти касательную к линии />. При обычномдля нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке сталиназывать декартовым листом, состоит из петли OBAC(рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI,OL).
Но в таком виде еепредставил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию /> представляли ввиде четырех лепестков (один из них OBAC),симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли«цветком жасмина».
3.2 Построение
Чтобы построитьдекартов лист с диаметром петли /> проведемокружность A радиуса /> и какую-либопрямую GH, параллельную AO.Далее проведем прямые AA̕и OE, перпендикулярные AO,и отметим точки A̕,E их пересечения с GH.Наконец, отложим на луче OAотрезок OF = 3OAи проведем прямую FE. Теперь искомаялиния строится по точкам следующим образом.
/>
Через Oпроводим любую прямую ONи через точку N, где эта прямаяпересекает (вторично) окружность, проводим NQ/>AA̕.Точку Q, где NQпересекает прямую OF соединяем с A̕и отмечаем точку K, где QA̕пересекает FE. Проводим прямую AKдо пересечения с прямой GHв точке Q̕.Наконец, откладываем на прямой OAотрезок OP, равный иравнонаправленный с отрезком A̕Q̕.Прямая M1M2,проведенная через P параллельно AA̕,пересечет прямую ON в точке M1.Эта точка (а также точка M2,симметричная ей относительно AO),принадлежит искомой линии.
Когда точка N,исходя из O, описывает окружность Aпротив часовой стрелки, точка M1описывает траекторию LOCABOI.
3.3 Особенности формы
Точка O– узловая. Касательные, проходящие через O,совпадают с осями координат. Прямая OA(/>) есть осьсимметрии. Точка />, наиболееудаленная от узловой точки, называется вершиной (коэффициент /> выражаетдиагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OAпетли, так что />). Прямая UV(/>) – асимптотаобеих бесконечных ветвей.
3.4 Задача
Написать уравнениедекартова листа в прямоугольной системе координат и, приняв точку Oза полюс, в полярной системе координат.
Решение:
Уравнение в прямоугольнойсистеме:
/>.
Уравнение в полярнойсистеме (OX – полярная ось):
/>.
4. Улитка Паскаля
4.1 Определение ипостроение
Даны: Точка O(полюс), окружность Kдиаметра OB=a(рис.6), проходящая через полюс (основная окружность; она показана начертеже пунктиром), и отрезок />. Из полюса Oпроводим произвольную прямую OP.От точки P, где прямая OPвторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от Pотрезки />. Геометрическоеместо точек M1,M2(жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля – в честь ЭтьенаПаскаля (1588 – 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля(1623 – 1662).
4.2 Историческиесведения
Термин «улитка Паскаля»предложен Ж. Робервалем, современником и другом Паскаля. Робервальрассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.
/>
4.3 Особенности формы
Улитка Паскалясимметрична относительно прямой OB.Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O(если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A,C (вершины). Форма линиизависит от соотношения между отрезками /> и />.
1) Когда /> (линия 1жирная; для неё />) улитка Паскаляпересекает сама себя в узловой точке O
/>,
Образуя двепетли: внешнюю OHA1GOи внутреннюю OH'C1G'O.Угловой коэффициент касательных OD,OE в узловой точке:
/>.
Для построениякасательных достаточно провести хорд OD,OE длины lв окружности K. Наиболее удаленным отоси точкам G, Hвнешней петли отвечает значение
/>;
Наиболееудаленным точкам G',H'внутренней петли – значение
/>.
Соответствующееполярное значение полярного радиуса:
/>.
2) Когда /> (линия 2 нарис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата,где движение по направлению луча OXсменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оситочкам L, Mотвечают значения
/>.
Линия 2 называется кардиоидой,т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображенаотдельно на рис.7
3) Когда/> (линия 3; длянеё />), улиткаПаскаля – замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, оназаключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L',N'отвечает значение />. Лишившисьточки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R,Q, которым отвечает значение />. Угол ROQ/>, под которымотрезок RQ виден из полюса, помере возрастания /> сначалавозрастает от нуля до />; этому значениюсоответствует />. При дальнейшемувеличении /> угол ROQубывает, стремясь к нулю при />.
4) При /> точки перегиба,сливаясь с вершиной C пропадают(причем кривизна в точке Cстановится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее привсех значениях />
/>
(линия 4; для нее />). Наиболееудаленным от оси точкам L'',N''отвечает значение
/>.
4.4 Свойства нормали
Нормаль улитки Паскаляв ее точке M (рис.7) проходит черезточку N основной окружности K,диаметрально противоположную той точке P,где OM пересекается сосновной окружностью.
4.5 Построениекасательной
Чтобы провестикасательную к улитке Паскаля в ее точке M,соежиняем последнюю с полюсом O.Точку N основной окрудности K,диаметрально противополжную точке P,соединяем с M. Прямая MNбудет нормалью к улитке. Проводя MT/> MN,получим искомую касательную.
4.6 Задача
Дана улитка Паскаля сполюсом в точке O. Написатьуравнения в прямоугольной и полярной системах координат.
Решение:
Пусть начало координат– в полюсе O, ось OXнаправлена по лучу OB. Тогдауравнение в прямоугольной системе координат будет иметь вид:
/>. (1)
Строго говоря, этоуравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O,который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такойслучай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6).
Уравнение в полярнойсистеме (O – полюс, OX– полярная ось):
/>, (2)
где /> меняется откакого-либо значения /> до />.
5. Лемниската Бернулли
5.1 Определение
Лемниската естьгеометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них доконцов данно отрещка /> равно />. Точки F1,F2называются фокусами лемнискаты; прямая F1F2– ее осью.
5.2 Исторические сведения
В 1694 г. ЯкобБернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал вкачестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением />. Он отмечаетсходство этой линии (рис.8) с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую онименует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкуюивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно(1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, невыражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можноразделить (с помощью линейки и циркуля) на nравных дуг при условии, что /> или /> или />, где m– любое целое положительное число.
/>
Лемниската есть частныйвид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули былауставновлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).
5.3 Построение
Можно применять общийспособ построя линия Кассини, но нижеизложенный способ (К. Маклорена) ипроще и лучше. Строим (см. рис.) окружность радиуса /> с центром вточке F1(или F2).Проводим произвольную секущую OPQи откладываем на этой прямой в обе стороны от точки Oотрезки OM и OM1,равные хорде PQ. Точка Mопишет одну из петель лемнискаты, точка M1– другую.
5.4 Особенности формы
Лемниската имеет двеоси симметрии: прямую F1F2(OX) и прямую OY/>OX.Точка O – узловая; обе ветвиимеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью OXуглы />. Точки A1,A2лемнискаты, наиболее удаленные от узла O(вершины лемнискаты), лежат на оси F1F2на расстоянии /> от узла.
5.5 Свойства нормали.
Подяоный радиус OMлемнискаты образует с нормалью MNугол />, вдвое большеполярного угла />:
/>.
Другими словами: угол /> между осью OXи вектором NN'внешней нормали лемнискаты в точке Mравен утроенному полярному углу точки M:
/>.
5.6 Построениекасательной
Чтобы построитькасательную к лемнискате в ее точке M,проводим полярный радиус OMи строим />. Перпендикуляр MTк прямой MN есть искомаякасательная.
5.7 Задача
Написать уравнениелемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат (O– серидина отрезка F1F2)и в полярной системе координат (O– полюс).
Решение:
Пусть точка O– начало координат; ось OXнаправлена по F1F2.Тогда Уравнение в прямоугольной системе координат:
/>.
Если O– полюс, OX – полярная ось, тоуравнение в полярной системе:
/>.
Угол /> изменяется впромежутках /> и />.
Заключение
В данной работе мырассмотрели некоторые замечательные кривые, изучили их способы построения,особенности формы и задачи, связанные с этими кривыми.
В параграфе 1 быларассмотрена строфоида, особенности её формы, стереометрическое образование иисторические сведения.
Во 2-м параграфе мыизучили циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.
В параграфе 3 узналиметод построения, особенности формы и исторические сведения о кривой,называемой «Декартов лист».
В 4-м параграферассмотрели улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы,свойства нормали и построение касательной.
В параграфе 5 былаизучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения,особенности формы, свойства нормали и построение касательной.
А также при помощизадач узнали формулы кривых в прямоугольной декартовой и полярной системахкоординат.
Используемаялитература:
1. Маркушевич А.И., Замечательныекривые, М., 1978 г., 48 стр. с ил.
2. Выгодский М.Я., Справочник по высшейматематике, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стр. с ил.
3. Атанасян Л.С. и Атанасян В.А.,Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед.ин-тов. Ч. I, М., «Просвещение», 1973, 256 с.
4. Гурова А.Э. Замечательные кривыевокруг нас. М, 1989
5. Маркушевич А.И. Замечательные кривые.- М, 1978
6. ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида
7. ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли
8. ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля