Курсова робота
з дисциплини: Теоремаймовірності
на тему: Незалежнівипробування
Введення
При практичному застосуваннітеорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із задачами, у яких те самевипробування повторюється неодноразово. У результаті кожного випробування можез'явитися або не з'явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результаткожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті серіїдосвідів. Наприклад, якщо виробляється група пострілів по однієї й тій же меті,нас, як правило, не цікавить результат кожного пострілу, а загальне числовлучень. У подібних задачах потрібно вміти визначати ймовірність будь-якогозаданого числа появ події в результаті серії досвідів. Такі задачі й будутьрозглянуті. Вони вирішуються досить просто у випадку, коли випробування єнезалежними.
Визначення. Випробування називаються незалежними, якщоймовірність того або іншого результату кожного з випробувань не залежить відтого, які результати мали інші випробування.
Наприклад, кілька киданьмонети являють собою незалежні випробування.
1. Формула Бернуллі
Нехай зроблено двавипробування(n=2). У результаті можливе настання одного з наступних подій: />
Відповідні ймовірності данихподій такі: />.
/> або /> - настання події тільки в одномувипробуванні.
/> - імовірність настання події дварази.
/> - імовірність настання подіїтільки один раз.
/> - імовірність настання події нульраз.
Нехай тепер n=3. Тоді можливенастання одного з наступних варіантів подій:
/>.
Відповідні ймовірності рівні />.
Очевидно, що отриманірезультати при n=2 і n=3 є елементами
/>и./>
Тепер допустимо, зроблено nвипробувань. Подія А може наступити n раз, 0 разів, n-1 раз і т.д. Напишемоподію, що складається в настанні події А m раз
/>
/>
Необхідно знайти числовипробувань, у яких подія А наступить m раз. Для цього треба знайти числокомбінацій з n елементів, у яких А повторюється m раз, а /> n-m раз.
/>
/> - імовірність настання події А.
/>(1)
Остання формула називаєтьсяформулою Бернуллі і являє собою загальний член розкладання />:
/>.
З формули (1) видно, що їїзручно використовувати, коли число випробувань не занадто велике.
Приклади
№1. Кидається монета 7 разів.Знайти ймовірність настання орла три рази.
Рішення.
n=7, m=3
/>
/>
/>.
№2. Щодня акції корпораціїАВС піднімаються в ціні або падають у ціні на один пункт із ймовірностямивідповідно 0,75 і 0,25. Знайти ймовірність того, що акції після шести днівповернуться до своєї первісної ціни. Прийняти умову, що зміни ціни акції нагоруй долілиць — незалежні події.
Рішення. Для того, щоб акціїповернулися за 6 днів до своєї первісної ціни, потрібно, щоб за цей час вони 3рази піднялися в ціні й три рази опустилися в ціні. Шукана ймовірністьрозраховується по формулі Бернуллі
/>
№3. Мотори багатомоторноголітака виходять із ладу під час польоту незалежно один від іншого з імовірністюр. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює не менш половини йогомоторів. При яких значеннях р двомоторний літак надійніше чотиримоторноголітака?
Рішення. Двомоторний літактерпить аварію, якщо відмовляють обоє його мотора. Це відбувається зімовірністю р2. Чотиримоторний літак терпить аварію, якщо виходять із ладу всі4 мотори а це відбувається з імовірністю р4, або виходять із ладу три мотори з4-х. Імовірність останньої події обчислюється по формулі Бернуллі: />. Щобдвомоторний літак був надійніше, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконуваласянерівність
р2
Ця нерівність зводиться донерівності (3 р-р-1)( р-р-1)1/3. Слідзазначити, що якби ймовірність виходу з ладу мотора літака перевищувала однутретину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дужесумнівною.
№4. Бригада з десяти чоловікіде обідати. Є дві однакові їдальні, і кожний член бригади незалежно один відіншого йде обідати в кожну із цих їдалень. Якщо в одну з їдалень випадковоприйде більше відвідувачів, чим у ній є місць, то виникає черга. Яке найменшечисло місць повинне бути в кожній з їдалень, щоб імовірність виникнення чергибула менше 0,15?
Рішення. Рішення задачіприйде шукати перебором можливих варіантів. Спочатку помітимо, що якщо в кожнійїдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливо. Якщо в кожній їдальні по 9місць, то черга виникне тільки у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять водну їдальню. З умови задачі треба, що кожний член бригади вибирає дану їдальнюз імовірністю 1/2. Виходить, усі зберуться в одній їдальні з імовірністю2(1/2)10=1/512. Це число багато менше, ніж 0,15, і варто провести розрахунокдля їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі членибригади прийдуть в одну їдальню, імовірність цієї події вже обчислена, або 9чоловік підуть в одну їдальню, а 1 чоловік вибере іншу їдальню. Імовірністьцієї події розраховується за допомогою формули Бернуллі />. Такимчином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з імовірністю 11/512, щопоки ще менше, ніж 0,15. Нехай тепер у кожній з їдалень по 7 місць. Крім двохрозглянутих варіантів, у цьому випадку черга виникне, якщо в одну з їдаленьприйде 8 чоловік, а в іншу 2 чоловік. Це може відбутися з імовірністю />.
Виходить, у цьому випадкучерга виникає з імовірністю 56/512=0,109375
№5. В урні 20 білих і 10 чорних куль. Вийняли 4кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед добуванням наступні йкулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що із чотирьох вийнятих кульвиявиться 2 білих.
Рішення. Подія А – дістали білу кулю. Тоді ймовірності
/>, />.
По формулі Бернуллі необхіднаймовірність дорівнює
/>.
№6. Визначити ймовірність того, що в родині, щомає 5 дітей, буде не більше трьох дівчинок. Імовірності народження хлопчика йдівчинки передбачаються однаковими.
Рішення. Імовірність народження дівчинки
/>, тоді />.
Знайдемо ймовірності того, щов родині немає дівчинок, народилася одна, дві або три дівчинки:
бернуллі формула лапласймовірність
/>, />,
/>, />.
Отже, шукана ймовірність
/>.
№7. Серед деталей, оброблюваних робітником,буває в середньому 4% нестандартні. Знайти ймовірність того, що серед узятих навипробування 30 деталей дві будуть нестандартними.
Рішення. Тут досвід полягає в перевірці кожної з 30деталей на якість. Подія А — «поява нестандартної деталі», йогоймовірність />, тоді />. Звідси по формулі Бернуллізнаходимо
/>.
№8. При кожному окремому пострілі зі знаряддяймовірність поразки мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20пострілів число вдалих буде не менш 16 і не більше 19.
Рішення. Обчислюємо по формулі Бернуллі:
/>
№9. Незалежні випробування тривають доти, покиподія А не відбудеться k раз.Знайти ймовірність того, що буде потрібно n випробувань (n і k), якщо в кожному з них />.
Рішення. Подія В – рівно n випробувань до k-го появи події А –є добуток двох наступних подій:
D – в n-ом випробуванні А відбулося;
С – у перші (n–1)-ом випробуваннях А з'явилося (до-1) раз.
Теорема множення й формулаБернуллі дають необхідну ймовірність:
/>.
№10. Зn акумуляторів за рік зберігання k виходить із ладу. Вибирають m акумуляторів.Визначити ймовірність того, що серед них l справних n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрамиp=7/100=0,07 (імовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (числовипробувань), k = 5-3 =2 (число «успіхів», несправних акумуляторів).Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуванняхподія відбудеться k раз).
/>
Одержуємо
/>
№11. Пристрій, що складається з п'яти незалежнопрацюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них зацей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи;б) не менш чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2(імовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (число випробувань, тобто числоелементів), k (число «успіхів», що відмовили елементів). Будемовикористовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмовавідбудеться в k елементах): />. Одержуємо а) /> -імовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п'яти. б) /> - імовірність того, що відмовлять не меншчотирьох елементів з п'яти (тобто або чотири, або п'ять). в) /> -імовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через імовірністьпротилежної події — жоден елемент не відмовить).
№12. Скільки варто зіграти партій у шахи зімовірністю перемоги в одній партії, рівної 1/3, щоб число перемог булодорівнює 5?
Рішення: Число перемог k визначається з формули /> Тут p =1/3 (імовірністьперемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n — невідоме число партій.Підставляючи даного значення, одержуємо:
/>
Одержуємо, що n = 15, 16 або17.
2. Локальна формула Муавра-Лапласа
Легко бачити, щокористуватися формулою Бернуллі при більших значеннях n досить важко, тому щоформула вимагає виконання дій над величезними числами. Природно, виникаєпитання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас,, не прибігаючи доформули Бернуллі.
В 1730 р. інший метод рішенняпри p=1/2 знайшов Муавр; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра длядовільного p, відмінного від 0 і 1.
Ця формула застосовується принеобмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події незанадто близька до нуля або одиниці. Томутеорему, про яку мова йде, називають теоремою Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А в кожномувипробуванні постійне й відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність /> того, що подіяА з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює(тим точніше, чимбільше n) значенню функції
/>
При />.
Є таблиці, у яких поміщені значення функції
/>,
відповідним позитивним значенням аргументу x(див. додаток 1). Длянегативних значень аргументу користуються тими ж таблицями, тому що функція /> парна, тобто />.
Отже, імовірність того, що подія A з'явиться в n незалежних випробуванняхрівно k раз, приблизно дорівнює
/>,
де />.
№13. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожномувипробуванні дорівнює 0,2.
Рішення. За умовою n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Скористаємосяформулою Лапласа:
/>.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
/>.
По таблиці додатка 1 знаходимо />.
Шукана ймовірність
/>.
№14. Імовірність поразки мішені стрільцем при одномупострілі p=0,75.
Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах стрілок уразить мішень 8разів.
Рішення. За умовою n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.
Скористаємося формулою Лапласа:
/>.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
/>.
По таблиці додатка 1 знаходимо
/>
Шукана ймовірність
/>.
№15. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожномувипробуванні дорівнює 0,25.
Рішення. За умовою n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Скористаємосяформулою Лапласа:
/>.
Знайдемо значення x:
/>.
По таблиці додатка 1 знаходимо
/>.
Шукана ймовірність
/>.
№16. Знайти ймовірність того, що подія А наступить 1400разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожномувипробуванні дорівнює 0,6.
Рішення. За умовою n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Як і впопередньому прикладі, скористаємося формулою Лапласа:
/>
Обчислимо x:
/>.
По таблиці додатка 1 знаходимо
/>
Шукана ймовірність
/>.
3. ФормулаПуассона
Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань,коли ймовірність настання події досить близька до 0 або 1.
/>,
/>.
Доказ.
/>
/>.
/>.
У такий спосіб одержали формулу:
/>.
Приклади
№17. Імовірність виготовлення негідної деталі дорівнює0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10000 деталей тільки 2 деталі будутьнегідними.
Рішення. n=10000; k=2; p=0,0002. />
/>.
№18. Імовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює0,0004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей тільки 5 деталі будутьбракованими.
Рішення. n=1000; k=5; p=0,0004.
/>
Шукана ймовірність
/>.
№19. Імовірність виграшу лотереї дорівнює 0,0001. Знайтиймовірність того, що з 5000 спроб виграти вдасться 3 рази.
Рішення. n=5000; k=3; p=0,0001.
/>
Шукана ймовірність
/>.
4. ТеоремаБернуллі про частоту ймовірності
Теорема. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному зяких імовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхиленнявідносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищитьпозитивного числа />, приблизно дорівнює подвоєноїфункції Лапласа при />:
/>.
Доказ. Будемо вважати, що виробляється n незалежних випробувань, укожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює p. Поставимо передсобою задачу знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти /> від постійноїймовірності p по абсолютній величині не перевищує заданого числа />. Інакше кажучи,знайдемо ймовірність здійснення нерівності
/>.(*)
Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:
/>.
Множачи ці нерівності на позитивний множник />, одержимо нерівності, рівносильнівихідному:
/>.
Тоді ймовірність знайдемо в такий спосіб:
/>.
Значення функції /> перебуває по таблиці(див. додаток2).
Приклади
№20. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1.Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносначастота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності p=0,1 поабсолютній величині не більш, ніж на 0,03.
Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; />=0,03. Потрібно знайти ймовірність/>.Користуючись формулою
/>,
маємо
/>.
По таблиці додатка 2 знаходимо />. Отже, />. Отже, шукана ймовірністьдорівнює 0,9544.
№21. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1.Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з імовірністю, рівної 0,9544,можна було затверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей(середвідібраних) відхилиться від постійної ймовірності p по абсолютній величині небільше ніж на 0,03.
Рішення. За умовою, p=0,1; q=0,9; />=0,03; />. Потрібно знайти n. Скористаємосяформулою
/>.
У силу умови
/>
Отже,
/>
По таблиці додатка 2 знаходимо />. Для відшукання числа n одержуєморівняння />.Звідси шукане число деталей n=400.
№22. Імовірність появи події в кожному з незалежнихвипробувань дорівнює 0,2. Знайти, яке відхилення відносної частоти появи подіївід його ймовірності можна чекати з імовірністю 0,9128 при 5000 випробуваннях.
Рішення. Скористаємося тією же формулою, з якої треба:
/>.
Література
1. ГмурманЕ.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2003
2. ГмурманЕ.В. Керівництво до рішення задач по теорії ймовірностей і математичнійстатистиці. – К., 2004.
3. ГнеденкоБ.В. Курс теорії ймовірностей. – К., 2007.
4. КолемаєвВ.А., Калініна В.Н., Соловйов В.И., Малихин В.І., Курочкин О.П. Теоріяймовірностей у прикладах і задачах. – К., 2004.
5. ВентцельЕ.С. Теорія ймовірностей. – К., 2004
Додатки
Додаток 1
Таблиця значень функції />
/> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1.7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0648 0833 0818 0804 1.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1.9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2.1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2.2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2.3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2.5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2.6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2.9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0043 3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028. 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0622 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
Додаток 2
Таблиця значень функції />x
/> x
/> x
/> x
/> 0900 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0.99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1.09 0,3621 0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1.10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 3665 0,3665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 3686 0,3686 0,17 0,0675 0,49 01879 0,81 0,2910 1,13 0,3708. 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,3810 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,3849 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1.21 0,3869 0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0/3883 0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907 0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1.24 0,3925 0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3944 0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289