Реферат по предмету "Математика"


Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Непрерывность функции на интервале и на отрезке
 
Определение 3.3 Пусть /> — некоторая функция, />-её область определения и />-некоторый (открытый) интервал (может быть, с />и/или />)7. Назовём функцию />непрерывнойна интервале /> если />непрерывнав любой точке />, то есть длялюбого />существует />(в сокращённой записи: />
Пусть теперь />-(замкнутый) отрезок в />. Назовёмфункцию />непрерывной на отрезке />, если />непрерывнана интервале />, непрерывна справав точке />и непрерывна слева в точке />, то есть
/>
/>/>
Теорема 3.5 Пусть />и /> — функциии /> — интервал или отрезок, лежащий в />. Пусть />и />непрерывны на/>.Тогда функции />, />, />непpеpывнына />. Если вдобавок />пpи всех />,то функция />также непpеpывна на />.
Из этой теоpемы вытекаетследующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 — пpедложение 3.3:
Предложение3.4 Множество />всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке /> — это линейное пpостpанство:
/>
Более сложное свойствонепрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пустьфункция />непрерывна на отрезке />, причём />и/> — числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что />,а />.) Тогда существует хотя бы одно такое значение />, что />(то есть существуетхотя бы один корень />уравнения />).
Доказательство. Рассмотрим середину отрезка />. Тогда либо />, либо />, либо />. В первомслучае корень найден: это />. В остальныхдвух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция />принимаетзначения разных знаков: />в случае />или />в случае />. Выбранную половину отрезка обозначим через />и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины />и />, где />, и найдём />. В случае />корень найден; в случае />рассматриваемдалее отрезок /> вслучае /> — отрезок />и т.д.
/>
Рис.3.16. Последовательные деления отрезкапополам
Получаем, что либо нанекотором шаге будет найден корень />, либо будетпостроена система вложенных отрезков
/>
в которой каждыйследующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность /> — неубывающая и ограниченная сверху(например, числом />); следовательно (по теореме2.13), она имеет предел />. Последовательность /> — невозрастающая и ограниченная снизу(например, числом/>); значит, существуетпредел />. Поскольку длины отрезков />образуютубывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем />), то онистремятся к 0, и />, то есть />.Положим, теперь />. Тогда
/>и />
поскольку функция />непрерывна.Однако, по построению последовательностей />и />, />и />, так что, потеореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), />и />, то есть />и />.Значит, />, и /> — корень уравнения />.
Пример 3.14 Рассмотрим функцию />наотрезке />. Поскольку />и /> — числа разных знаков, то функция />обращаетсяв 0 в некоторой точке />интервала />. Это означает, что уравнение />имееткорень />.
/>
Рис.3.17. Графическое представление корняуравнения />
Доказанная теоремафактически даёт нам способ нахождения корня />, хотя быприближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деленияотрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим идругими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мыпознакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема неутверждает, что если её условия выполнены, то корень /> — единственный. Какпоказывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их3).
/>
Рис.3.18. Несколько корней функции,принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функциямонотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которогопринимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строгомонотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в томчисле и значение 0.
/>
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметьболее одного корня
Непосредственнымследствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема,которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3.7 (о промежуточном значениинепрерывной функции) Пусть функция />непрерывна наотрезке />и />(будем дляопределённости считать, что />). Пусть />-некоторое число, лежащее между />и />. Тогдасуществует такая точка />, что />.
/>
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любоепромежуточное значение
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию />, где />. Тогда />и />.Функция />, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такаяточка />, что />. Но эторавенство означает, что />.
Заметим, что если функцияне является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения.Например, функция Хевисайда />(см. пример 3.13)принимает значения />, />, нонигде, в том числе и на интервале />, не принимает,скажем, промежуточного значения />. Дело в том,что функция Хевисайда имеет разрыв в точке />, лежащей как раз винтервале />.
Для дальнейшего изучениясвойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойствосистемы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой определе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченногоснизу множества />(то естьтакого, что />при всех />и некотором />;число />называется нижней гранью множества />) имеется точная нижняягрань />, то есть наибольшее из чисел />, таких что />при всех />Аналогично, еслимножество />ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань />: этонаименьшая из верхних граней />(для которых />при всех />).
/>
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченногомножества
Если />, тосуществует невозрастающая последовательность точек />,которая стремится к />. Точно так же если />, то существует неубывающая последовательность точек />,которая стремится к />.
Если точка />принадлежитмножеству />, то />является наименьшимэлементом этого множества: />; аналогично,если />, то />.
Кроме того, для дальнейшегонам понадобится следующая
Лемма 3.1 Пусть /> — непрерывнаяфункция на отрезке />, и множество />техточек />, в которых />(или />, или />) непусто. Тогда в множестве />имеется наименьшеезначение />, такое что />привсех />.
/>
Рис.3.22. Наименьший аргумент, при которомфункция принимает заданное значение
Доказательство. Поскольку /> - ограниченноемножество (это часть отрезка />), то оно имеетточную нижнюю грань />. Тогдасуществует невозрастающая последовательность />, />, такая что />при />. При этом />, по определениюмножества />. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
/>
а с другой стороны,вследствие непрерывности функции />,
/>
Значит, />, такчто точка />принадлежит множеству />и />.
В случае, когда множество/>заданонеравенством />, мыимеем />при всех />и по теоремео переходе к пределу в неравенстве получаем
/>
откуда />, что означает, что />и />.Точно так же в случае неравенства />переход кпределу в неравенстве даёт
/>
откуда />, />и />.
Теорема3.8 (обограниченности непрерывной функции) Пусть функция />непрерывна наотрезке />. Тогда />ограничена на />,то есть существует такая постоянная />, что />при всех />.
/>
Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функцияограничена
Доказательство. Предположим обратное: пусть />неограничена, например, сверху. Тогда все множества />, />, />, не пусты. Попредыдущей лемме в каждом из этих множеств />имеется наименьшеезначение />, />. Покажем,что
/>
Действительно, />. Если какая-либо точка из />,например />, лежит между />и />, то
/>
то есть />-промежуточное значение между />и />.Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существуетточка />, такая что />, и />. Но />,вопреки предположению о том, что /> — наименьшее значениеиз множества />. Отсюда следует, что/>при всех />.
Точно так же далеедоказывается, что />при всех />, />при всех />, ит.д. Итак, /> — возрастающаяпоследовательность, ограниченная сверху числом />. Поэтому существует />. Из непрерывности функции />следует,что существует />, но />при/>, так что предела не существует. Полученное противоречиедоказывает, что функция />ограничена сверху.
Аналогично доказывается,что />ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабитьусловия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязанабыть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
/>
на отрезке />. Этафункция не ограничена на отрезке, так как при />имеет точку разрывавторого рода, такую что />при/>. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом илиполуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию />наполуинтервале />. Функциянепрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что />при />.
Поиск наилучшихпостоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданномотрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума имаксимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описываетсяследующей теоремой.
Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывнойфункцией) Пусть функция />непрерывна наотрезке />. Тогда существует точка />, такая что />при всех />(то есть />-точка минимума: />), и существует точка />, такая что />привсех />(то есть /> — точка максимума:/>). Иными словами, минимальное имаксимальное8 значения непрерывной функции наотрезке существуют и достигаются в некоторых точках />и />этогоотрезка.

/>
Рис.3.24. Непрерывная на отрезке функциядостигает максимума и минимума
Доказательство. Так как по предыдущей теоремефункция />ограничена на />сверху, тосуществует точная верхняя грань значений функции на /> — число />. Тем самым, множества />, />,..., />,..., не пусты, и попредыдущей лемме в них есть наименьшие значения />: />, />. Эти />неубывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
/>
и ограничены сверхучислом />. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченнойпоследовательности, существует предел />Так как />, то и
/>
по теореме о переходе кпределу в неравенстве, то есть />. Нопри всех />/>, и в томчисле />. Отсюда получается, что />, то естьмаксимум функции достигается в точке />.
Аналогично доказываетсясуществование точки минимума.
В этой теореме, как и впредыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, тоона может не достигать своего максимального или минимального значения наотрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
/>
на отрезке />. Этафункция ограничена на отрезке (очевидно, что />)и />, однако значение1 она не принимаетни в одной точке отрезка (заметим, что />, а не 1). Дело втом, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке />, так что при />предел/>не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция,заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком(на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. Вкачестве примера рассмотрим функцию />на интервале />.Очевидно, что функция непрерывна и что />и/>, однако ни значения0, ни значения1 функцияне принимает ни в какой точке интервала />. Рассмотрим такжефункцию />на полуоси />. Эта функциянепрерывна на />, возрастает,принимает своё минимальное значение0 в точке />, но не принимает нив какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом />и />


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Мало микроэлементов - много проблем
Реферат Морфофункциональный анализ стелющейся колонии у гидроидов на примере cordylophora inkermanica ma
Реферат Информационная база, цели и подходы к проведению финансовой отчетности
Реферат Глобальные проблемы современности и комплексный подход к их решению
Реферат Основы построения тарифов имущественного страхования
Реферат Афины Тирания Писистрата и законодательство Клисфена
Реферат Narrative Paradigm In Communication Essay Research Paper
Реферат Права и обязанности проводника в вагонах дальнего следования перевозки пассажиров
Реферат Разработка проектно-конструкторской документации на женские брюки галифе
Реферат Суб єкт злочину Вік по досягненні якого особа може нести кримінальну відповідальність Спеціа
Реферат Разработка содержания цифрового образовательного ресурса Задачник по программированию Циклические
Реферат Языковое манипулирование как средство политической борьбы
Реферат Аналіз кредитної діяльності банку
Реферат The Glass Menagerie Essay Research Paper First
Реферат Субъекты и объекты патентного права