План
Вступ
1 Означенняневласних інтегралів
2 Обчислення
3 Приклади
Висновок
Список літератури
Вступ
Математика — одна з найдавніших наук, що зародилась на світанкуцивілізації. Вона постійно збагачувалася, час від часу істотно оновлювалася івсе більше утверджувалась як засіб пізнання закономірностей навколишньогосвіту. Розширюючи і зміцнюючи свої багатогранні зв'язки з практикою, математикадопомагає людству відкривати і використовувати закони природи і є у наш часмогутнім рушієм розвитку науки і техніки.
Саме нашому часу видаються особливо співзвучними пророчі слова великого Леонардо да Вінчіпро те, що ніякі людські дослідження не можна назвати справжньою наукою, якщовони не пройшли через математичні доведення.
Елементи інтегрального числення закладено у працях математиківСтародавньої Греції. Основні поняття і початкитеорії інтегрального числення, насамперед зв'язок його здиференціальним числення, атакож застосування їх до розв'язування практичних задач, розроблені в кінці 17 ст. Ньютоном і Лейбніцем. Далі історичнийрозвиток інтегрального числення пов'язаний з іменамиЛ. Ейлера, О. Коші, Б. Рімана та інших вчених.
Інтеграл — одне з центральних понять математичного і всієї математики.Воно виникло у зв'язку з двома основними задачами:
1) про відновлення функції по заданій її похідній;
2) про обчислення площі, обмеженої графіком функції у=f(х), х/>[a;b] прямими х = а, х = b івіссю Ох (подібнізадачі дістаємо при обчисленні багатьох іншихвеличин, наприклад роботи, яку виконує сила протягом деякого часу, тощо).Термін «інтеграл» ввів Я.Бернулі у 1690 р. Цікаво, що в історії математики цейтермін пов’язують з двома латинськими словами: integro— відновляти та integer –цілий.
Вказанідві задачі приводять до двох пов'язаних між собою видів інтегралів:невизначеного і визначеного. Вивчення властивостей іобчислення цих інтегралів і складають основну задачу інтегрального числення.Введений визначений інтеграл як границя інтегральних сум,передбачаючи при цьому, що відрізок інтегрування скінченний, а інтегральнафункція на цьому відрізку обмежена. Якщо хоча б а зцих умов порушується, то наведене вище означення визначеного інтеграла стаєнеприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можнарозбити на п частиннихвідрізків скінченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сумаявно не має скінченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла наці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції нанеобмеженому проміжку або від необмеженої функції. Томув цій курсовій роботі розглянемо невласні подвійні інтеграли.
Метою роботи є вивчення умов існування, властивостей, методів обчисленняневласних подвійних інтегралів.
Відповідно домети поставлені наступні завдання:
1. Ввестипоняття невласного подвійного інтегралу.
2. Навчитися класифікувати невласні подвійні інтеграли.
3. Визначитиспособи розв’язку невласного подвійного інтегралу.
1 Поняття невласногоподвійного інтегралу
Поняттяподвійного інтеграла узагальнюється на випадок необмеженої області, або навипадок необмеженої функції.
Зупинимосяспочатку на випадку необмеженої області (Р). Прикладом такої областіможе бути вся площина або її частина, яка знаходиться за деяким кругом абоіншою обмеженою плоскою фігурою, який-небудь кут і тому подібне. Що стосується границіцієї області, то вона передбачається такою, що має площу 0 (наприклад, що складаєтьсяз кусково-монотонних кривих ) у кожній обмеженій своїй частині. Нехай в області(Р) задана деяка функція f(x,y), яку передбачимо інтегрованою взвичайному сенсі слова в кожній обмеженій і квадратичній частині області (Р).
Провівши допоміжнукриву (К') (теж з площею 0), відсічемо від області (Р) обмеженузв'язну її частину (Р'), в якій існує інтеграл:
/>
Будемо віддалятикриву (К) всіма її точками в нескінченність, так, щоб найменша відстань Rвід початку до точок цієї кривої зростала до нескінченності. Тоді відокремлена неюзмінна область (Р') поступово охоплюватиме всі точки області (Р):кожна точка з (Р) належатиме (Р') при достатньовеликомуR.
Границя(скінченного або нескінченного) інтеграла (1)при R→∞називають (невласним)інтегралом від функції f(х, у)в необмеженій області (Р) і позначають символом
/>
В разі існуванняскінченної границі інтеграл (2) називається збіжним, в іншому випадку – розбіжним.Функція, для якої інтеграл (2) збігається, називається інтегрованою вобласті (Р).
Увипадку додатної функції f(x,y) досить, розглянувши яку-небудь певнупослідовність, нескінченно віддалених кривих
(К1),(К2),…,(Кn),…
іобластей, що відсікаються ними
(P1),(Р2),…,(Рn),…,
передбачитиіснування скінченної границі
/>
щобзвідси вже випливала збіжність інтеграла (2).
Дійсно, яку бобласть (Р') не відокремити кривою (К')від (Р), при достатньо великому п ця область цілком буде міститисяв ( Рn),так що
/>
і, тим паче,
/>
З іншого боку,по заданому />>0можна знайти таке n,щоб було
/>
При достатньовеликому R,в свою чергу, область (Р') охопить (/>),отже
/>
Нерівності (3) і(4) в сукупності доводять, що число І задовольняє визначенню подвійногоінтеграла.
Далі,якщо зберегти відносно функції f(x,y) попередні припущення, то іззбіжності інтеграла від/> поширеногона необмежену область (Р), випливає збіжністьподібного ж інтеграла для функції f(x,y).
Длядоведення цього розглянемо дві функції:
f+(x,y)/>,f-(x,y)/>;
очевидно,
f+(x,y)/>
f-(x,y)=/>
Зінтегрованості функції />випливаєзбіжність інтегралів для функцій
f+(x,y)/> f-(x,y)/>
аотже, і для функції
f(x,y)=f+(x,y)-f-(x,y)
Вельмичудовий той факт, що і навпаки: із збіжності інтеграла від функціїf(x,y), поширеного на необмежену область (Р), випливає збіжністьінтеграла і для /> Цьомутвердженню немає аналога в теорії одновимірних невласних інтегралів: відомо, щоможуть існувати і інтеграли, що не абсолютно збіжні.
Теоремапро абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Кожнийзбіжний інтеграл
/>
необхідноі абсолютно збіжний, тобтоодночасноз нимзбіжний і інтеграл
/>
Длядоведення цієї теореми будемо користуватись методом доведення від супротивного.Візьмемо послідовність областей {(Рn)},/> так,щоб вони, розширюючись, поступово охоплювали всю область (Р), матимемо
/>
Миможемо припустити, що при кожному значенні п виконується нерівність
/>
Цьогоможна досягти, розріджуючи (в разі потреби) послідовність {(Рn)},тобто витягуючи з неї часткову послідовність і заново нумеруючи її.
Позначимочерез (pn) різницю областей ( Pn+1) і(Pn),очевидно, що
/>
Але
|f(x,y)|=f+(x,y)+f-(x,y),
Отже
/>
Нехайз двох інтегралів з права більшим буде, наприклад, перший. Тоді
/>
Замінюючиподвійний інтеграл зліва досить близькою до нього нижньою сумою Дарбу,збережемо нерівність
/>
Вцій сумі залишаємо лише ті доданки, яким відповідають
/>позначившисукупність відповідних елементів /> через(/>),отримаємо,
/>
Позначимочерез (P̃n) область, складену з (Рn)і (р̃n); такяк
/>
то, складаючи почленноцю нерівність з попередньою, знайдемо
/>
Область(р̃n), аз нею і (Р̃n),можна деформувати так, щоб з останньої вийшла зв'язна область (Р'n),і притому за площею, що настільки мало різниться від (Р̃n),що все ж зберігається нерівність
/>
Цьоголегко досягти, сполучаючи відірвані частини області вузькими «коридорами» здовільно малою загальною площею.
Звідсивже ясно, що інтеграл (5) не може бути збіжним, всупереч припущенню; цепротиріччя і доводить теорему.
Відмітимо,що принципова різниця між одновимірним і двовимірним випадками пов'язана самеіз завершальною частиною проведеного міркування. Незв'язну лінійну область, щоскладається з окремих проміжків, вже не можна довільно малою деформацієюперетворити в цілісний проміжок.
Доведенатеорема зводить питання про збіжність і обчислення невласного інтеграла віддовільної функції до такого ж питання для додатної (від’ємної) функції.
Інтеграливід необмежених функцій.
Нехайфункція f(x,y)задана в обмеженій області (Р), але самавиявляється необмеженою в околі окремих точок М1,М2,…вбудь — якій частині області (Р), що не містить цих точок.
Виділимотепер особливі точки М1, М2,…оточивши їх кривими (К1), (К2),...Якщо видалити з області (Р) обмежені цими кривими околи особливихточок, то ми отримаємо область (Р'), дляякої по припущенню інтеграл
/>
єзбіжний. Будемо «стягувати» криві (К1),(K2),...у вказані точкитак, щоб найбільша з відстаней точок цих контурів (К) до відповіднихточок M(позначимоїї через ρ) прямувала до нуля. Відмітимо, що при цьому і площі даних околів(менші ніж πρ2),також прямуватимуть до нуля.
Інтеграл(невласний)від необмеженої функції f(x,y)по області (Р) визначається як границяінтеграла (7) при ρ→0:
/>
Особливіточки можуть лежати і уздовж деяких особливих ліній, які ми завжди будемо передбачатитакими, що мають площу 0. В цьому випадку доводиться оточувати ці лінії околами,що «стискуються» до них.
Протеточна характеристика граничного процесу, що мається на увазі тут, вимагає щедеяких пояснень. Нехай особлива лінія (l)оточена околом з контуром (К). Якщо узяти точку А на (К),то з відстаней цієї точки від різних точок В на (l)існує найменша, ρА; з іншого боку,якщо змінювати положення А на (К), то зі всіх ρАзнайдеться найбільше, ρ. Це число в деякому розумінні іхарактеризує міру віддаленості контура (К) від кривої (l),і граничний процес виражається умовою: ρ → 0. (За наявностідекількох кривих під ρ зрозуміло найбільше з подібних чисел.) Тут такожможна довести, що разом з ρ прямує до нуля і площа даного околу.
Нарешті,визначення невласного інтеграла легко поширюється на випадок необмеженоїобласті і визначеної в ній функції, яка на скінченній відстані має особливіточки.
За у в а ж е н н я. Якби при побудові невласного інтеграла, окрім особливихточок (або ліній), ми стали виділяти і деякі такі точки (або лінії), які наділі не є особливими, то ця обставина ніяк не могла б відбитися ні наіснуванні, ні на величині тієї межі, якою представляється інтеграл. Насправді,припустимо, наприклад, до особливих точок додається неособлива точка А і,крім того, що необхідне визначення невласного інтеграла, — ми виділяємо щеоколицю цієї точки А. Алепоблизу А функціяобмежена, і інтеграл по згаданому околі, разом з її площею, прямує до 0.
Приведенняподвійного інтеграла до повторного.
Обмежимосяспочатку припущенням, що функція f(x,y) невідємна. Якщо ця функціязадана в необмеженій області будь-якої форми, то, вважаючи її додатною позацією областю рівною нулю, завжди можна звести справу до випадку необмеженої прямокутноїобласті. Припустимо, що йдеться про нескінченний в одному напрямі прямокутник [a,b;c,+∞](a,b,c — граничні числа, причому b>а).Передбачимо, що в кожному граничному прямокутнику [а,b;c,d](при будь-якому d>c)існують як подвійний інтеграл, так і одновимірнийінтеграл по y — обоє у власномусенсі, так що має місце формула
/>
Бажаючивстановити подібну формулу для нескінченного прямокутника, тобто для випадку d=+∞,припустимо,що збігається повторний інтеграл
/>
Оскількипри будь-якому d>cмаємо
/>
топо попередньому матеріалузвідси вже випливає збіжність подвійногоінтеграла
/>
який,вочевидь, не перевершує I.Залишається лише довести, що подвійний інтеграл рівний I.
Якщоінтеграл /> є функцією від х,інтегровану у власному сенсі, отже, обмежену деякою постійною L,то і поготів
/>
Втакому разі
/>
Зіставляючице з (9) і (10), приходимо до необхідного результату.
Встановленийфакт зберігає силу і в тому випадку, якщо інтегралIзбігається,як невласний. Припустимо, наприклад, bє єдиною особливою точкою дляфункції /> від х. Тоді по доведеному,при />,
/>
іобидві частини рівності при