Задача №1
Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости />и />имеют вид:
/>/>
Определить модуль скорость (/>) и ускорение (/>) этой точки в момент времени />.
Решение
А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:
/>
Следовательно, />
Б… Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:
/>
Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением />.
Задача №2
Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте />. Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли />. Радиус Земли />
Решение
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести />, которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона />. Здесь />— масса спутника, />его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения />. Здесь />— гравитационная постоянная, />— расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника (/>), />— масса Земли. Центростремительное ускорение спутника />связано с линейной скоростью спутника />соотношением />или />. Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте />: />или />
Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой />, находящееся на Земле, действует сила тяжести />, равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому />или />, откуда />.
Таким образом, линейная скорость спутника равна />,
а угловая скорость />
Задача №3
Шар массой />движется со скоростью />и сталкивается с покоящимся шаром массой />и скоростью />. Определить скорости шаров />и />после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.
Решение
Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):
/>
Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.
Задача №4
Баллон вместимостью />наполнен азотом при температуре />. Когда часть газа израсходовалась давление понизилось на />. Определить массу />израсходованного газа. Процесс считать изотермическим (при постоянной температуре).
Решение
Пусть />— молярная масса азота;
/>— начальная и конечная масса газа; />— расход газа.
/>— начальное и конечное давление газа в баллоне; />— снижение давления газа;
/>— универсальная газовая постоянная.
Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона
/>, тогда />
Задача №5
Вычислить плотность азота />, находящегося в баллоне под давлением />и имеющего температуру />.
Решение
Пусть />— молярная масса азота;
/>— универсальная газовая постоянная;
/>— давление газа в баллоне;
/>— температура газа в баллоне.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для текущего состояния газа (с учётом, что />):
/>.