Контрольнаяработа по дисциплине «Математика»
длястудентов заочного отделения
1. Найти пределы функций:
а) />=; /> =
= /> = /> =
= /> = /> = /> = 0;
б) />= /> =
/> =
/> =
/> = /> = /> =.6290;
в) />= /> =
/> = /> = /> = 0;
г) />= />= />= /> =
= ln /> = />= ln e*/>= 1*56/3 = 18.667;
д) />; /> = /> =
= />= />;/>;
е) />= /> = /> =
= /> = /> + /> =
= /> - /> = /> — /> =
= /> = 2.
2. Найти производные /> функций:
а) />= /> =
= />;
б) />= /> = /> = />;
в) />= /> =
= /> =
= /> =
= />;
г) />=/>=
= /> =
= /> = />;
д) />= />;
е) />; />;
/>;/>
ж) />;/>; />;
/>; />;/>; />;/>;
з) />./>= />=
= />= />;
3. С помощью методовдифференциального исчисления построить график функции
/>.
1 Знаменательположительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точкуразрыва. /> отсюдаIхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная,следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х).Периодической функция не является.
3. Поскольку областьопределения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4. Найдем асимптоты при /> в виде у =kх+b. Имеем:
k =/>/>/>
b = />/>/>
Таким образом при /> асимптотойслужит прямая ОХ оси координат.
Найдем левый и правыйпределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
/>/>/>=-1,19,
/>/>/> />.
В точке (-7:-1,19) первыйразрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точкипересечения с осями координат:Х У 1,08
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем навозрастание и убывание:
/>/> =
/>./>/>0;
Это говорит о том чтофункция возрастающая.
Строим график:
/>
4. Найти интегралы приm=3, n=4:
а)/>= />/>
= />:
б)/>= />=/>пусть t = arcsin4x,
/> получим />= />= />.
в)/>= />/>
= />;
/>=/>=/>.
Решаем равенство иполучим:
/>;
аналогично второеслагаемое
/>/>3/>-/>получим />= />
подставим все в последнееравенство
… = />+ />+9/>/>+/>-/>+С.
г)/>.= />= />=
= />=/>=
/> = ….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332;-625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28;C=-12.28;
…= /> = =/>= 2,527766.
5. Вычислить интегралыили установить их расходимость при m=3, n=4:
а) /> = />…
пусть t = arctg(x/4),тогда /> и /> подставим иполучим
… = />;
б)/>= />/>
= />/>0,6880057.
6. Построитьсхематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: />, при m=3,n=4.
/>/>
/> />х = -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осьюОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба –D(-1,5:-18,25)X -4.19 1.19 Y -16
/> или />Х 4 У -4
Точки пересечения двухфункций:
/>= /> и /> т.е.: /> и />.
Площадь получиться извыражения
/>/>= />= 49,679.
График выглядит:
/>
7. Найти частныепроизводные /> функцийпри m=3, n=4:
а)/>=/>,
/>,
/>,
/>
б)/>. />;
/>;
/>
/>
8. Найти дифференциал/>функции: /> при m=3, n=4.
/>
9. Для функции /> в точке /> найти градиенти производную по направлению /> при m=3, n=4.
/> в точке А(-4,3)
/>
/>
grad(z) =(-0,1429:0,1875);
/>=grad(z)* (/>)*cos/>=…
cos/>
10. Найти наибольшее инаименьшее значения функции при m=3, n=4
/>
в области, заданнойнеравенствами:
/>.
/>
D=AC-B;
A=/>
B=/>
C=/>
D=AC-B=(/>)(/>) — />;
/>
/>
/>/>
/>/>
найдем
/>; />
Получим четыре точки: 1)(2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11> 0;
/>= -114,74
/>= 45097,12 > 0 – min функции />= 12,279;
/>= 1767.38 > 0 — min функции />= 65,94;
/>= -160,296
11. Изменить порядокинтегрирования при m=3, n=4:
/>.
/> = />, так как />/>/>
подставляя x = 0 x = 4 впоследние уравнения получим
/>/>.
/>
12. Сделать чертеж инайти объем тела, ограниченного поверхностями />, /> и плоскостью, проходящей черезточки />, /> и />.
А)/>см. рис.
/>
— получим уравнениеплоскости, через которую проходят точки А, В и С.
/>7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределыинтегрирования:
Для z – от 0 доz=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигурыразбиваем пополам).
/>= />=
=/>= />=
=232,109 куб.ед.,
13. Вычислить при m=3,n=4 />, где/>, />, а контур />образованлиниями />, />, />.
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
/>,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) =3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
/>= />=
= />=
= />=
= />=
= />=
= />=
= />=32,4060912,
где пределыинтегрирования были получены:
/> и у = 9, то /> откуда х = />2,52.
14. Даны поле /> и пирамида свершинами />,/>, />,/>. Найти при m=3, n=4:
/>
O(0:0:0), A(3:0:0),B(0:4:0), C(0:0:7).
а) поток поля /> через грань />пирамиды внаправлении нормали, составляющей острый угол с осью />;
/>=
= />=
=/>=
=/>=
=/>=…
после подстановки ипреобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
/>= 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2+118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.
б) поток поля /> через внешнююповерхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;
в) циркуляцию поля /> вдользамкнутого контура />;
с помощью теоремы Стока(обход контура происходит в положительном направлении относительно внешнейнормали к поверхности пирамиды).
rot(F) = />,
в нашем случае />
/>
15. Найти первообразные ивычислить значение определенного интеграла:
/>= />.