--PAGE_BREAK--A(j), хотя, вообще говоря, — другим, отличным от j
. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если — самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j
¢)и A(j)цвет изображения может оказаться одинаковым[5].
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия формы цветного изображения f(×
) на удобно ввести частичный порядок p, т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение pдолжно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение pинтерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f(×) иg(×)сравнимы по форме, причем форма g(×) не сложнее, чем форма f(×). Если и , то f(×)и g(×)назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×)
~
g(×). Например, если f(×)и g(×)— изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f(×), если .
В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A
¢(j
¢), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A
¢(j
¢(j))=A(j),, причем, если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же не взаимно однозначно, то A
¢(j
¢)=U A(j) и . В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .
Пусть, скажем, g(×)— черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование — следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) — изображения одной и той же сцены, но в g(×),вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F— некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×)
, то они, тем более, не будут отражены в g(×)
.
Формой изображения f
(×)
назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`
(×)
, и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать, что отношение pнепрерывно относительно сходимости в в том смысле, что .
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде здесь — индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , , j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
, (3)
то цветное изображение fe(×)
, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для изображения , где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai, если , — непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если не зависит явно от . Для такого изображения примем следующее представление:
, (4)
его черно-белый вариант
(4*)
на каждом Ai имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)
(4**)
не меняется на Ai и равен , i=1,...,N.
Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi имеет несовпадающие яркости и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:
. (4***)
v(a), очевидно, содержится в n×
Nмерном линейном подпространстве
, (4****)
которое назовем формой a(×
) в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a(×
), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство, натянутое не вектор-функции Fa(
×
),F
Î
F
, где F— класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)
®F
a(x) во всех точках xÎ
X; здесь F — любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×
)(4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3. Пусть {Аi} — измеримое разбиение X: .
Изображение(3) имеет на каждом подмножестве Ai :
-постоянную яркость и цвет , если и только если выполняется равенство (4);
-постоянный цвет , если и только если в (3) ;
-постоянную яркость fi, i=1,...,N, если и только если в (3) не зависит от , i=1,…...,N.
Доказательство. На множестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]
, ,i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4).
Если , то цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты j(i)(x)не зависят от , т.е. и, следовательно, где — яркость на A i и . Последнее утверждение очевидно n
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
, (5)
где, — индикаторная функция Ai, , функция gi(×)задает распределение яркости
(6)
в пределах Ai при постоянном цвете
, i=1,...,N, (7)
причем для изображения (5) цвета продолжение
--PAGE_BREAK--j(i)
, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, — удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией а цвет на Ai равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
(8)
,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфнымиf(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .
Если в (8) яркость , то цвет на Ai считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на Ai считается равным цвету на , i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на Ai определяется равным цвету f(×)на Ai, i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×)в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму
, (10)
в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то — выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений.Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями
где — класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что
(10*)
а — оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого.
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f(×)(2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и требуется определить из условия
(11)
Теорема 1. Пусть . Тогда решение задачи(11) имеет вид
, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)
и искомое изображение(4) задается равенством
. (13)
Оператор является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) изображений (4),яркости и цветакоторых не изменяются в пределах каждого Ai
, i=1,...,N.
Черно-белый вариант (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в аппроксимацией черно-белого варианта цветного изображения f(×) (2),если цветное изображение (4) является наилучшей в аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).Оператор
, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого
.
В точках множества цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×)(2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)излучений, которые попадают на .
Доказательство. Равенства (12) — условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П — ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация — ортогональная проекция f(×)на . Второе утверждение следует из равенства
, вытекающего из (13).Последнее утверждение следует из равенств
,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX. ■
Замечание 1.Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторы и определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4),цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белогоизображени
я, яркость котор
огопостоянна на каждом и различна для разных,[2].
Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус (4***)
Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор
на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2]. Дело в том, что оператор определяет форму
изображения (4), а именно
— множество собственных функций оператора . Поскольку
f(
×
) — наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких -. Поэтому проектор
можно отождествить с формой изображения (4).
Аналогично для черно-белого изображения a(
×
)
,[7] [2]. И проектор
можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора продолжение
--PAGE_BREAK--П .
Форма в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением
,
если векторы попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного изображения . Пусть — множество значений и — измеримое разбиение X , порожденное , в котором — подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .
Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где — индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
— - C — измеримо, ;
— N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;
— минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.
Лемма (*). Пусть — исчерпывающая последователь-ность разбиений X и — то множество из , которое содержит . Тогда для любой
C-измеримой функции
и
m-почти для всех [ ]. n
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть — минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где — прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, Cна и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( — измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема (*).Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X, причем — минимальная s-алгебра, содержащая все и П(N) — ортогональный проектор , определенный равенством ,
Тогда
1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,
2) для любого изображения при (в ), где П — ортогональный проектор на .
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) — продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как — множество всех -измеримых изображений и их пределов (в), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения
, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N=1,2,... n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×),в которой задано не разбиение поля зрения X, а векторы в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение — наилучшая в аппроксимация f(×).Так как
, (14*)
то в Ai следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись
, (14)
означает, что множества (14) не пересекаются и .
Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором
(15)
и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из в по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.[8]
Теорема 2. Пусть — заданные векторыRn. Решение задачи
наилучшего в приближения изображения f(×)изображениями имеет вид , где — индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.
Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств
где , и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание 3. Выберем векторы fi,i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q. Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f(×)инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения соответственно на измеримых множествах (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из — пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.
Иначе говоря, в данном случае формой изображения является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X,
и их пределов в .
Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(
×
) изображениями , в котором требуется определить как векторы
, так и множества
так, чтобы
.
Следствие 1.
Пусть D
i,i=1,...,N, — подмножестваRn(15), П -ортогональный проектор (13), , где . Тогданеобходимые и достаточные условия суть следующие:, где , .
Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть — исходные векторы в задаче (14*), — соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1) — оператор наилучшего приближения и — невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение продолжение
--PAGE_BREAK--f(
×
), чем F(1): . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по разбиению строим и оператор П(3) и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn. Для каждого q=1,2,… образуем разбиение E(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X, i=1,...,N(q), q=1,2… -измеримы и является продолжением
5.2. Приближениеизображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где .
Пусть A1,...,AN — заданное разбиение X, — индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см., например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению >0,
,
и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при
Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение
X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g(×) (17) является изображение
(24)
Операторы ,i=1,...,N, и — нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: Пi проецирует в Rnвекторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,
; (25)
П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri — наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть fi — cсобственный вектор Фi, отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора :
.
Поскольку rank=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для n
Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .
Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,
где , .
Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение — алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:
. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя , . n
Замечание 4.
Если ,т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 ,.
Наоборот, если , то
, т.е. определяется выражением (17), в котором .
Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN
попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения
,, (27)
где , fi— собственный вектор оператора Фi: , отвечающий максимальному собственному значению r
i,i=1,...,N. В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).
Заданы векторы цвета
j1,...,
jq, требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета
j1,...,
jqи оптимальные распределения яркостей [10].
Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.
Пусть — разбиение , в котором
(32)
а продолжение
--PAGE_BREAK--