Министерство науки и образования РФНовосибирскийгосударственный технический университет
Кафедра экономической информатикиКурс:«Численные методы»Пояснительнаязаписка к курсовой работе на тему«Методпростой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений»
Факультет: Бизнеса
Преподаватель: Сарычева О. М.
Новосибирск, 2010
Содержание
1. Введение
2. Математическая постановка задачи иописание метода
3. Описание программного обеспечения
3.1 Общие сведения
3.2 Функциональное назначениепрограммы
3.3 Вызов и загрузка программы
3.4 Входные данные
3.5 Выходные данные
3.6 Описание алгоритмов
3.6.1 Программный модуль metod1.m
3.6.2 Программный модуль metod2.m
3.7 Используемые программные итехнические средства
4. Описание тестовых задач
5. Анализ результатов счета, выводы
6. Заключение
Приложения
Список литературы
1. Введение
В данной курсовой работенеобходимо рассмотреть один из множества существующих итерационных методов — метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Прежде чем говорить овышеуказанном методе, дадим краткую характеристику вообще итерационным методам.
Итерационные методы даютвозможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительногопроцесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построитьследующее, более точное приближение. Привлекательной чертой таких методовявляется их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Если в точныхметодах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другимиошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегосяитерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующихвычислениях, и такое исправление требует, как правило, только нескольких лишнихшагов единообразных вычислений. Итерационный метод, для того чтобы начать понему вычисления, требует знания одного или нескольких начальных приближений крешению.
Условия и скоростьсходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойствуравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальныхприближений.
2. Математическаяпостановка задачи и описание метода
2.1 Математическаяпостановка задачи
Исследовать метод простойитерации для решения систем линейных алгебраических уравнений, а именно:влияние способа перехода от системы F(x)=x к системе x=/>(x) наточность полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, числоопераций.
2.2 Описание метода
Пусть дана системалинейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).
Пусть (2.2.1.) приведенакаким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C — некоторая матрица, f — вектор-столбец.Исходя из произвольного вектора
/>x01
x( 0 )= x02
x03
строим итерационныйпроцесс x( k+1 )=Cx( k)+f (k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме
/>
x1( k+1 ) = c11 x1( k ) + c12 x2(k ) + …+ c1n xn( k ) + f1, (2.2.3)
xn( k+1 ) = cn1 x1( k ) + cn2 x2(k ) + …+ 1nn xn( k ) + fn .
Производя итерации,получим последовательность векторов x( 1 ), x( 2),…, x( k),… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий
/> (i=1,2,…,n) (2.2.4)
/> (j=1,2,…,n) (2.2.5),
то процесс итерациисходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x(0), то есть
/>x=/>x( k) .
Таким образом, точноерешение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякийвектор x(k) из полученной последовательности являетсяприближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x(k) дается одной из следующих формул:
| xi- xi( k) | />/>| xi( k) — xi( k-1 )|, (2.2.4')
если выполнено условие(2.2.4), или
| xi- xi( k) | /> />| xi( k) — xi( k-1 )|, (2.2.5')
если выполнено условие(2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:
max | xi- xi( k) | />/>| xi( k) — xi( k-1 )|, (2.2.4'')
или
/>| xi- xi( k) | /> />| xi( k) — xi( k-1 )|. (2.2.5'')
Процесс итерацийзаканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданнойточности.
Начальный вектор x( 0 ) может быть выбран, вообще говоря,произвольно. Иногда берут x(0 )=f. Однако, наиболее целесообразно вкачестве компонент вектора x(0 ) взятьприближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.
Приведение системы(2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только,чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимсярассмотрением двух таких способов.
Первый способ. Если диагональные элементы матрицы Аотличны от нуля, то есть
aii/>0 ( i=1,2,…,n),
то систему (2.2.1) можнозаписать в виде
/>x1=/>(b1 — a12x2 — … — a1n xn ),
x2=/>(b2 — a21 x1 — a23 x3 -… — a2nxn ), (2.2.6)
xn=/>(bn — an1 x1 — … — an n-1 xn-1 ).
В этом случае элементыматрицы С определяются следующим образом:
/> (i/>j), cii=0,
и тогда условия (2.2.4) и(2.2.5) соответственно приобретают вид
/> (i=1,2,… ,n), (2.2.7)
/> (j=1,2,… ,n). (2.2.8)
Неравенства (2.2.7), (2.2.8)будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию
/> (i=1,2,… ,n), (2.2.9)
то есть если модулидиагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулейвсех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).
Второй способ позволяет записать систему (2.2.1) ввиде
/>x1 = b1 — (a11-1)x1 — a12 x2 — … — a1n xn,
x2 =b2 — a21 x1 -(a22 -1)x2 -…- a2n xn, (2.2.10)
xn =bn — an1 x1 — an2 x2 -… -(ann -1)xn .
и пояснений не требует.
3. Описаниепрограммного обеспечения
3.1 Общие сведения
Данное программноеобеспечение представлено в виде двух основных программных модулей (файлы metod1.m и metod2.m) и четырех вспомогательных модулей(файлы system_a.m, system_b.m, x0.m и x_ok.m).
3.2 Функциональноеназначение программы
Данное программноеобеспечение предназначено для решения систем линейных алгебраических уравненийвида Ax=b методом простой итерации.
Программный модуль metod1.m содержит непосредственно алгоритм решения систем линейныхалгебраических уравнений методом простой итерации, использующий первый способперехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x)(см. п.2.2.).
Программный модуль metod2.m также содержит непосредственно алгоритм решения системлинейных алгебраических уравнений методом простой итерации, но использующийвторой способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x)(см. п.2.2.).
Вспомогательный модуль system_a.m содержит матрицуА исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.
Вспомогательный модуль system_b.m содержит столбецb исходной системы линейныхалгебраических уравнений вида Ax=b.
Вспомогательный модуль x0.m содержит столбец начального приближения к точному решениюисходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.
Вспомогательный модуль x_ok.m содержит столбецточного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.
Замечание: модули system_a.m, system_b.m, x0.m всегда описываетсам пользователь, работающий с данным программным обеспечением, в зависимостиот решаемой системы линейных алгебраических уравнений.
Модуль x_ok.m также может бытьописан пользователем, но он не является обязательным, так как точного решенияобычно у пользователя нет. Отсутствие данного модуля не влияет на правильностьработы программы, он является вспомогательным и необходим лишь для оценкипогрешности полученного решения (как этого требует задание), но что обычно ненужно в прикладном использовании данного программного обеспечения.
3.3 Вызов и загрузкапрограммы
Для вызова программы навыполнение необходимо загрузить программу MatLab 3.5f (ивыше), затем в командной строке данной среды набрать имя одного из программныхмодулей (metod1.m или metod2.m).
3.4 Входные данные
1. system_а — матрица А исходной системылинейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающаясяиз модуля system_а.m;
2. system_b — столбец bисходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля system_b.m;
3. x0 — столбец начальных приближений,считывающийся из модуля x0.m;
4. x_ok — столбец точного решения исходной системы линейныхалгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля x_ok.m.
Замечание: если отсутствует модуль x_ok.m, то переменная x_ok не передается в основные программные модули.
3.5 Выходные данные
Выходными даннымипрограммных модулей metod1.m и metod2.mявляется файл total — файл-отчет, содержащий результатыодного или нескольких итерационных процессов, а именно: полученные решения,погрешности полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, числоопераций.
3.6 Описаниеалгоритмов
3.6.1 Программныймодуль metod1.m
Исходный текст модуля metod1.m представлен в Приложении1.
Сначала производитсяинициализация переменных result(решение системы линейных алгебраических уравнений), temp (промежуточные значения решения системы линейныхалгебраических уравнений на каждом шаге итерации), size_system(размерность системы), flag(флаг для остановки итерационного процесса), edop1 (абсолютное значение k-го и (k+1)-горешения), number_iter (количество итераций), time (время счета), number_oper(количество операций), a(матрица А системы Ax=b), b (столбец bсистемы Ax=b). После этого на дисплей выводится запрос допустимойпогрешности. Когда погрешность введена, происходит очистка экрана, обнулениевстроенного в MatLab счетчика операций с плавающейточкой, запоминание текущего момента времени.
Далее после этихприготовлений запускается цикл перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x)первым способом (см. п.2.2.) и решения системы линейных алгебраическихуравнений методом простой итерации. Блок-схема цикла представлена на рис.1.
Как только заканчиваетсяцикл итераций, происходит повторное запоминание текущего момента времени иколичества операций с плавающей точкой. По окончании данных действий происходитподсчет времени счета, как разности ранее запомненных моментов времени. Далеепроисходит запись полученного решения в файл total.
Далее производитсяпроверка, существует ли файл x_ok.m. Если таковой имеется, то высчитывается погрешностьполученного решения и записывается в файл total.
После вышеописанныхдействий происходит последняя запись в файл total сведений о количестве шагов, необходимых длясходимости метода, времени счета, числе операций.
Затем происходитподготовка масштаба будущего графика итерационного процесса и непосредственноего построение, после которого выполнение программы прерывается до нажатиялюбой клавиши.
И наконец, когдакакая-либо клавиша будет нажата, произойдет очистка экрана и построениеграфиков зависимости погрешности от шага итерации.
/>
/>
3.6.2 Программныймодуль metod2.m
Исходный текст модуля metod2.m представлен в Приложении1.
Алгоритм данногопрограммного модуля аналогичен алгоритму модуля metod1.m.Единственное отличие — реализация цикла перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x)(см. п.2.2.) и решения системы линейных алгебраических уравнений методомпростой итерации. Блок-схема цикла представлена на рис.2.
/>
/>
3.7 Используемыепрограммные и технические средства
Все модули данногопрограммного обеспечения написаны на языке MatLab в редакторе Norton Editor изкомплекса утилит Norton Utilities 8.0.
Для правильной работыпрограмм metod1 и metod2 необходима операционная система MS DOS (любой версии) или операционная система Windows95, программа MatLab 3.5f(или выше), а также персональный компьютер, совместимый с IBM PC 386SX(или выше).
4. Описание тестовыхзадач
В качестве тестовых задачрассмотрим две системы линейных алгебраических уравнений:
Cистема1
/>1,02x1 — 0,25x2 — 0,30 x3=0,515
-0,41x1 + 1,13x2 — 0,15x3=1,555 (4.1)
-0,25x1 — 0,14x2 + 1,21x3=2,780
Точное решение: x1 =2,0; x2 =2,5; x3=3,0 .
В качестве начальногоприближения x( 0 ) возьмем два вектора: x( 0)=(1000,1000,1000); x( 0 )=(1,1,1).
Система2
/>0,22x1+ 0,02x2 + 0,12x3+ 0,13x4 = -3
0,02x1 + 0,14x2 + 0,04x3 — 0,06x4 = 14
0,12x1 + 0,04x2 + 0,28x3+ 0,08x4 = 250 (4.2)
0,14x1 — 0,06x2 + 0,08x3+ 0,26x4 = -77
Точного решения нет.
В качестве начальногоприближения x( 0 ) возьмем два вектора: x( 0)=(0,10,20,30); x( 0 )=(-270,-503,1260,-653 ).
Все вычисления будемпроводить при заданной точности />=0.001 .
5. Анализ результатовсчета,выводы
Результаты вычисленийтестовых систем линейных алгебраических уравнений представлены в видефайлов-отчетов, которые приведены в Приложении2, а также в виде графиковитерационных процессов и графиков зависимостей погрешностей решений исходныхсистем линейных алгебраических уравнений от шага итерации, которые приведены вПриложении3.
Анализируя этирезультаты, можно сделать следующие выводы.
Во-первых, количествоитераций сильно зависит от матрицы А исходной системы уравнений вида Ax=b. Чем ближе диагональные элементы матрицы А к нулю, тембольше итераций требуется для того, чтобы решить исходную систему линейныхалгебраических уравнений.
Во-вторых, на количествошагов влияет начальное приближение. Чем оно ближе к точному решению, тем меньшетребуется шагов для сходимости метода. Следует отметить, что в рассматриваемыхпримерах достаточно точное начальное приближение требует количества итерацийприблизительно в 1,7-2,0 раза меньше, чем произвольное, достаточно далеко отстоящееот точного решения, приближение.
В-третьих, скоростьсходимости метода зависит от того, каким способом реализован переход от системывида F(x)=x к системе вида x=/>(x).
Анализ счета показывает,что если диагональные элементы матрицы А не близки к нулю, то при любом приближении(достаточно точном и не очень) количество шагов, требующихся для сходимостиметода, практически не зависит от способа перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x). Аесли элементы диагонали матрицы Aблизки к нулю и приближение недостаточно точное, то метод сходится быстрее,если в нем реализован первый способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x)(см. п.2.2.).
Число операций длярешения исходной системы линейных алгебраических уравнений при использованиипервого способа перехода требуется несколько меньше, чем для решения исходнойсистемы линейных алгебраических уравнений при использовании второго способаперехода. Это удалось выяснить при решении системы
(4.1) при приближении x( 0 )=(1,1,1), так как в этом случае дляобоих способов потребовалось одинаковое количество шагов для сходимости иодинаковое время счета, но различное число операций с плавающей точкой.
Время счета, как видно изрезультатов решения систем (4.1) и (4.2) линейно зависит от количества шагов ичисла операций. Чем показатели последних выше, тем больше время счета.
Наконец, погрешностиполученных решений, как видно из файла-отчета, не превышает заданную погрешность/> .
Исходя из тестовых системлинейных алгебраических уравнений и результатов их решения, можно сделатьследующие выводы.
Метод простой итерации(при любом способе перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x) )сходится быстро, если диагональные элементы матрицы А системы Ax=b близки к единице, а остальные — близки к нулю, и приближениедостаточно близко к точному решению. Но при решении систем Ax=b с матрицей А, отличной от вышеописанной, метод сходится припервом способе перехода более быстро в случае, если начальное приближениедалеко отстоит от точного решения, а если приближение достаточно близко лежит кточному решению, то при втором способе перехода метод сходится несколькобыстрее, чем при первом.
Итак, можно сказать, чтоприменение в прикладных задачах данного метода оправданно, но выбор перехода к системеx=/>(x)зависит от типа конкретной решаемой системы линейных алгебраических уравнений.
6. Заключение
В данной курсовой работебыл реализован метод простой итерации для решения систем линейныхалгебраических уравнений в виде двух программ, каждая из которых используетсвой собственный способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=/>(x).
Вообще говоря, методпростой итерации не отличается повышенной сходимостью (может вообще несойтись), но если он сходится, то этот метод обычно имеет высокую точностьсчета и достаточно высокую скорость сходимости. Следует отметить, что всевышеперечисленное зависит от самой исходной системы Ax=b и способаперехода к системе вида x=/>(x).Если метод не сходится, значит не соблюдаются условия сходимости метода илииспользуется неудачный переход к системе x=/>(x).
Приложения
итерация линейноеалгебраическое уравнение
Приложение 1
Модуль METOD1.M
result=x0';
temp=x0';
size_system=size(system_a);
flag=ones(size_system(1),1);
edop1=zeros(1,size_system(1));
number_iter=0;
time=0;
number_oper=0;
a=system_a;
b=system_b;
%format long;
edop=input('Введитепогрешность:');
clc;
flops(0);
t1=clock;
while any(flag)
for i=1:size_system(1)
temp(i)=b(i)/a(i,i);
for ii=1:size_system(1)
if (i~=ii)
temp(i)=temp(i)-a(i,ii)/a(i,i)*result(number_iter+1,ii);
end;
end;
e(i)=abs(result(number_iter+1,i)-temp(i));
if e(i)
flag(i)=0;
else flag(i)=1;
end;
end;
edop1=[edop1;e];
result=[result;temp];
number_iter=number_iter+1;
end;
t2=clock;
number_oper=flops;
time=etime(t2,t1);
res=result';
v=size(res);
fprintf('total','\nРезультатыитерационного процесса, реализованного первым способом\n');
for i=1:size_system(1)
fprintf('total','\nX%g равен:',i);
fprintf('total','%g',res(i,v(2)));
end;
if exist('x_ok')==2
dy=abs(x_ok-res(:,v(2)));
for i=1:size_system(1)
fprintf('total','\nПогрешноськорняХ%gравна:',i);
fprintf('total','%g',dy(i));
end;
end;
fprintf('total','\nМетодсходитсяприпервомспособеза%g шагов',number_iter);
fprintf('total','\nВремясчета для первого способа: %g',time);
fprintf('total','\nЧислоопераций при решении первым способом: %g\n',number_oper);
iter=0:number_iter;
m=[max(x0'),max(res(:,v(2)))];
n=[min(x0'),min(res(:,v(2)))];
miny=min(n);maxy=max(m);
ax=[0,number_iter,miny,maxy];
axis(ax);
for i=1:size_system(1)
plot(iter,result(:,i));
hold on;
title('Graph of iter. process by first metod');
end;
pause;
clg;
hold off;
for i=1:size_system(1)
plot(iter,edop1(:,i));
title('Graph of E(m) by first metod');
pause;
end;
clc;
МодульMETOD2.M
result=x0';
temp=x0';
size_system=size(system_a);
flag=ones(size_system(1),1);
edop1=zeros(1,size_system(1));
number_iter=0;
time=0;
number_oper=0;
a=system_a;
b=system_b;
%format long;
edop=input('Введитепогрешность:');
clc;
flops(0);
t1=clock;
while any(flag)
for i=1:size_system(1)
temp(i)=b(i);
for ii=1:size_system(1)
if (i~=ii)
temp(i)=temp(i)-a(i,ii)*result(number_iter+1,ii);
elsetemp(i)=temp(i)-(a(i,ii)-1)*result(number_iter+1,ii);
end;
end;
e(i)=abs(result(number_iter+1,i)-temp(i));
if e(i)
flag(i)=0;
else flag(i)=1;
end;
end;
edop1=[edop1;e];
result=[result;temp];
number_iter=number_iter+1;
end;
t2=clock;
number_oper=flops;
time=etime(t2,t1);
res=result';
v=size(res);
fprintf('total','\nРезультатыитерационного процесса, реализованного вторым способом\n');
for i=1:size_system(1)
fprintf('total','\nX%g равен:',i);
fprintf('total','%g',res(i,v(2)));
end;
if exist('x_ok')==2
dy=abs(x_ok-res(:,v(2)));
for i=1:size_system(1)
fprintf('total','\nПогрешноськорняХ%gравна:',i);
fprintf('total','%g',dy(i));
end;
end;
fprintf('total','\nМетодсходитсяпривторомспособеза%g шагов',number_iter);
fprintf('total','\nВремясчета для второго способа: %g',time);
fprintf('total','\nЧислоопераций при решении вторым способом: %g\n',number_oper);
iter=0:number_iter;
m=[max(x0'),max(res(:,v(2)))];
n=[min(x0'),min(res(:,v(2)))];
miny=(min(n));maxy=(max(m));
ax=[0,number_iter,miny,maxy];
axis(ax);
for i=1:size_system(1)
plot(iter,result(:,i));
hold on;
title('Graph of iter. process by second metod');
end;
pause;
clg;
hold off;
for i=1:size_system(1)
plot(iter,edop1(:,i));
title('Graph of E(m) by second metod');
pause;
end;
clc;
ОдинизвариантовмодуляSYSTEM_A.M
function [F]=system_a();
F=[1.02,-0.25,-0.30;
-0.41,1.13,-0.15;
-0.25,-0.14,1.21];
Одиниз вариантов модуля SYSTEM_B.M
function [F]=system_b();
F=[0.515;1.555;2.780];
Одиниз вариантов модуля X0.M
function[F]=x0();
F=[1000;1000;1000];
Один из вариантовмодуля X_OK.M
function [F]=x_ok();
F=[2.0;2.5;3.0];
Приложение 2
Файл TOTALрезультатов решения системы (4.1) с x(0)=(1000,1000,1000)
Результатыитерационного процесса, реализованного первым способом
X1равен:2.00077
X2равен:2.50077
X3равен:3.00054
Погрешностькорня Х1 равна:0.000767669
Погрешностькорня Х2 равна:0.000771614
Погрешностькорня Х3 равна:0.000544976
Методсходится при первом способе за 18 шагов
Времясчета для первого способа: 0.05
Числоопераций при решении первым способом: 612
Результатыитерационного процесса, реализованного вторым способом
X1равен:2.00037
X2равен:2.50004
X3равен:3.00008
Погрешностькорня Х1 равна:0.000370626
Погрешностькорня Х2 равна:3.92304e-005
Погрешностькорня Х3 равна:7.93105e-005
Методсходится при втором способе за 17 шагов
Времясчета для второго способа: 0.06
Числоопераций при решении вторым способом: 629
Файл TOTALрезультатов решения системы (4.1) с x( 0 )=(1,1,1)
Результатыитерационного процесса, реализованного первым способом
X1равен:1.99939
X2равен:2.49937
X3равен:2.99956
Погрешностькорня Х1 равна:0.000609367
Погрешностькорня Х2 равна:0.000630859
Погрешностькорня Х3 равна:0.000441667
Методсходится при первом способе за 10 шагов
Времясчета для первого способа: 0.06
Числоопераций при решении первым способом: 340
Результатыитерационного процесса, реализованного вторым способом
X1равен:2.00002
X2равен:2.4996
X3равен:2.99979
Погрешностькорня Х1 равна:2.32305e-005
Погрешностькорня Х2 равна:0.000402933
Погрешностькорня Х3 равна:0.000207955
Методсходится при втором способе за 10 шагов
Времясчета для второго способа: 0.06
Числоопераций при решении вторым способом: 370
Файл TOTALрезультатов решения системы (4.2) с x( 0 )=( -270,-503,1260,-653)
Результатыитерационного процесса, реализованного первым способом
X1равен:-271.808
X2равен:-505.362
X3равен:1269.24
X4равен:-656.953
Методсходится при первом способе за 79 шагов
Времясчета для первого способа: 0.55
Числоопераций при решении первым способом: 4819
Результатыитерационного процесса, реализованного вторым способом
X1равен:-271.82
X2равен:-505.348
X3равен:1269.24
X4равен:-656.941
Методсходится при втором способе за 72 шагов
Времясчета для второго способа: 0.55
Числоопераций при решении вторым способом: 4392
Файл TOTALрезультатов решения системы (4.2) с x( 0 )=( 0,10,20,30)
Результатыитерационного процесса, реализованного первым способом
X1равен:-271.809
X2равен:-505.362
X3равен:1269.24
X4равен:-656.954
Методсходится при первом способе за 122 шагов
Времясчета для первого способа: 0.93
Числоопераций при решении первым способом: 7442
Результатыитерационного процесса, реализованного вторым способом
X1равен:-271.821
X2равен:-505.348
X3равен:1269.24
X4равен:-656.94
Методсходится при втором способе за 153 шагов
Времясчета для второго способа: 1.32
Числоопераций при решении вторым способом: 9333
Приложение 3
/> />
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.1) с x( 0 )=(1000,1000,1000) программой METOD1
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.1) с x( 0 )=(1000,1000,1000) программой METOD2
/>
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.1) /> />
с x( 0 )=(1,1,1) программой METOD1
/>
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.1) с x( 0 )=(1,1,1) программой METOD2
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.2) /> />
с x( 0 )=(0,10,20,30) программой METOD1
/> />
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.2) с x( 0 )=(0,10,20,30) программой METOD2
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.2) /> />
с x( 0 )=(-270,-503,1260,-653) программой METOD1
/>
График итерационногопроцесса на примере решения системы (4.2) с x( 0 )=( -270,-503,1260,-653) программой METOD2
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.1) от шага итерации при использовании программыMETOD1.Mи при x( 0 /> />
)=(1000,1000,1000)
/> />
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.1) от шага итерации при использовании программыMETOD2.Mи при x( 0 )=(1000,1000,1000)
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.1) от шага итерации при использовании программыMETOD1.Mи при x( 0 /> />
)=(1,1,1)
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.1) от шага итерации при использовании программыMETOD2.Mи при x( 0 )=(1,1,1)
/>
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.2) от шага итерации при использовании программыMETOD1.Mи при x( 0 )=(-/> />
270,-503,1260,-653)
/> />
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.2) от шага итерации при использовании программыMETOD2.Mи при x( 0 )=(-270,-503,1260,-653)
Графики зависимостейпогрешностей решений системы (4.2) от шага итерации при использовании программыMETOD1.Mи при x( 0 /> />
)=(0,10,20,30)
/> />
Графики зависимостей погрешностейрешений системы (4.2) от шага итерации при использовании программы METOD2.Mи при x( 0 )=(0,10,20,30)
Список литературы
1. Копченова Н.В.,Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.- М.: Наука, 1972
2. Крылов В.И.,Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы.- М.: Наука, 1976
3. Сарычева О.М.Численные методы в экономике.- Новосибирск, 1995