КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11
ВАРИАНТ 3
1. Монетаподброшена 3 раза. Найти вероятность того: что герб появится два раза
Применяяклассическое определение вероятности, находим:
— общееколичество событий (Г, Г, Г), (ГГЦ), (Г, Ц, Г), (Г, Ц, Ц), (Ц, Г, Г), (ЦГЦ), (Ц,Ц, Ц), т.е. n=8.
Событию А (гербпоявляется два раза) соответствуют три случая — (Г, Г, Ц), (Г, Ц, Г) и (Ц, Г,Г), m=3
/>
2. Из 10 радиоламп 4 неисправны. Случайно взяты 4 лампы. Найти вероятностьтого, что среди них окажется хотя бы одна неисправная
Введем обозначения.
Событие А —хотя бы одна лампа неисправна.
/>
Четыре деталииз десяти можно выбрать />способами(число сочетаний из 10 элементов по 4.
/>.
Случай —наступило событие А1:
Три неисправныхлампы из шести можно выбрать /> различнымиспособами, а одну из четырех неисправных — />.
Каждый наборисправных ламп может сочетаться с каждым набором неисправных, поэтомуколичество благоприятных событий />,получаем:
/>
Для событий А2две исправных лампы из 6 — /> способовдве неисправных из />,
/>
/>
3. Из урны, содержащей 4 белых, 6 красных и 5 черных шаров случайноизвлекли 3 шара. Найти вероятность того, что два из них одного цвета
Обозначимискомое событие через А (два шара одного цвета).
/>
Имеем 4 белых и11 шаров не белых.
Для события А1количество событий, что из четырех белых в выборке будут два белых — />, количество событий — из11 — один шар — />, тогда числоблагоприятных событий />.
/>
Событие А2.
Имеем 6красных, 9 — других цветов.
Из 6 красных —2 красных — /> событий.
Из 9 другихцветов — 1 —/> событий, а общее числоблагоприятных событий —
/>
Событие А3.
Имеем 5 черныхшаров и 10 других.
Из 5 черных — 2— /> событий.
Из 10 других —1 — /> событий. Общее числоблагоприятных событий
/>
4. В ящике 5 мячей, из которых три — новые. Для игры взяли два мяча, послеигры вернув их в ящик. Для второй игры случайно взяли еще два мяча. Найти вероятностьтого, что они оба новые
Здесь имеем дванезависимых события. Применяем формулу умножения вероятностей
Для того, чтобывероятность события искомого (А) не была равна нулю в ящике после наступлениясобытия В (взяли первый раз два мяча) должно остаться либо три, либо два мячановых.
Обозначим черезВ1 — взяли два мяча подержанных.
Числовариантов, что из двух мячей взяли два равно />.
Числовариантов, что из трех мячей не взяли ни одного равно />
Общее числоблагоприятных событий
/>.
/>
Общееколичество событий — />.
/>
Для события Авычислим вероятность наступления при условии наступления события />.
Имеем в ящике 5шаров, из них три новых, тогда число благоприятных событий будет состоять изсуммы:
1) Из 2-х старых мячей в выборке не оказалось ни одного — />.
2) Из 3-х новых мячей в выборке 2 новых — />.
Общее числоблагоприятных событий:
/>
Обозначим черезВ2 — (взяли первый раз один новый мяч и один старый).
Число событий —из трех мячей взяли один равно — />, числовариантов — из двух мячей взяли один равно — />,общее число благоприятных вариантов равно — />.
/>
Имеем тристарых и два новых мяча. Количество благоприятных событий:
— из трех старых — ни одного — />
— из двух новых — два — /> будетравно />
Вероятность />.
Вероятностьнаступления события А будет равна:
/>
5. Пассажир может ждать летной погоды трое суток, после чего едет поездом.По прогнозам вероятность летной погоды в первые сутки 0,5, во вторые — 0,6, втретьи — 0,8, Х — число полных суток до отъезда пассажира.
Найти:
А) рядраспределения Х.
Вероятностьтого, что пассажир не будет ждать равна вероятности летней погоды в первыесутки, т.е. Р(0)=0,5.
Вероятность,что пассажир улетит через сутки равна вероятности того, что в первые суткибудет нелетная погода, а во вторые — летная, т.е.
/>.
Вероятностьтого, что пассажир улетит через двое суток равна вероятности трех независимыхсобытий: первые сутки — нелетная погода; вторые — нелетная; третьи — летная
/>
Вероятностьтого, что пассажир уедет поездом через трое суток равна вероятности того, чтовсе трое суток погода нелетная
/>
Б) функциюраспределения F(x).
Функцию F(x) строим с помощью формулы:
/>
В) m x ищем по формуле:
/>
Г) D x применяем формулу:
/>
т.е. дисперсияравна математическому ожиданию квадрата ее отклонения:
/>
Д) /> В данном промежутке x принимает толькоодно значение x=2, следовательно:
/>
6. Данафункция распределения случайной величины
/>
Найти:
А) константу а.
Из условиянепрерывности F(x) следует />
/>
Б) р(x), по определению />, т.к. F’(x) при /> равно (0)’=0, при />
/>
В) m x. Математическоеописание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежатпромежутку [α, β] определяется формулой:
/>
Г) D x. Дисперсиянепрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x) определяетсяформулой:
/>
/>
Д) />. Находим по формуле />, получаем
/>
7. Изделиесчитается высшего сорта, если отклонение его размера от номинала не превышаетпо модулю 3,45 мм. Случайные отклонения X распределенынормально, причем />.
Определитьвероятность того, что случайно взятое изделие — высшего сорта
Вероятность того,что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, отматематического ожидания />, непревзойдет по абсолютной величине Δ равна:
/>
Исключаявероятность будет равна
/>
По таблице находим
/>