Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имениФранциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущенак защите
Зав.кафедрой Шеметков Л.А.
"" 2005г.
Дипломная работа
«Нильпотентная длина конечных групп с известнымидобавлениями к максимальным подгруппам»
Исполнитель
студенткагруппы М-51
РубанЕ.М.
Руководитель
Д.ф-м н., профессор Монахов В.С.
Гомель 2005

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1.Подгруппа Фиттинга и её свойства
2./>-длина />-разрешимойгруппы
3.Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам
4.Используемые результаты
Заключение
Списокиспользованных источников

ПЕРЕЧЕНЬУСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассматриваютсятолько конечные группы. Используются следующие обозначения.
/> - простыечисла.
/> - знаквключения множеств;
/> - знакстрогого включения;
/> и /> -соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/> - пустоемножество;
/> - множествовсех /> длякоторых выполняется условие />;
/> - число /> сравнимо счислом /> помодулю />.
/> - множествовсех простых чисел;
/> - некотороемножество простых чисел, т.е. />;
/> - дополнение к/> вомножестве всех простых чисел; в частности, />;
примарноечисло — любое число вида />, />;
/> - множествовсех целых положительных чисел.
/> - единичнаягруппа;
/> - единичнаяматрица размерности />;
/> - полнаялинейная группа степени /> над полем из /> элементов, т.е. группавсех невырожденных линейных преобразований />-мерного линейного пространстванад полем из /> элементов;
/>) — специальнаялинейная группа степени /> над полем из /> элементов.
/>) — проективнаяспециальная линейная группа степени /> над полем из /> элементов, т.е.факторгруппа специальной линейной группы по ее центру
/> - конечноеполе порядка />.
Пусть/> - группа.Тогда:
/> - порядокгруппы />;
/> - порядокэлемента /> группы/>;
/> - единичныйэлемент и единичная подгруппа группы />;
/> - такжеединичная подгруппа группы />;
/> - множествовсех простых делителей порядка группы />;
/> - множествовсех различных простых делителей натурального числа />;
/>-группа — группа />,для которой />;
/>-группа — группа />,для которой />;
Группа/> называется:
примарной,если />;
бипримарной,если />.
/> - подгруппаФраттини группы />, т.е. пересечение всехмаксимальных подгрупп группы />;
/> - подгруппаФиттинга группы />, т.е. произведение всехнормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/> - коммутантгруппы />,т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/> - наибольшаянормальная разрешимая подгруппа группы />;
/> - наибольшаянормальная подгруппа нечетного порядка группы />;
/> - наибольшаянормальная />-подгруппагруппы />;
/> - />-холловскаяподгруппа группы />;
/> - силовская />-подгруппагруппы />;
/> - дополнение ксиловской />-подгруппев группе />,т.е. />-холловскаяподгруппа группы />;
/> - группа всехавтоморфизмов группы />;
/> - главный ранггруппы />;
/> - />-главный ранггруппы />;
/> - /> являетсямаксимальной подгруппой группы />;
Пусть/> -максимальная цепь подгрупп, т.е. /> для всех />. Если /> разрешима, то все индексымаксимальной цепи примарны, т.е. />. Тогда:
/>
/>.
Привведении обозначений /> и /> рассматриваются все максимальныецепи.
/> - />-длина группы />;
/> -нильпотентная длина группы />;
/> - производнаядлина группы />;
/> - /> являетсяподгруппой группы />;
/> - /> являетсясобственной подгруппой группы />;
нетривиальнаяподгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/> - /> являетсянормальной подгруппой группы />;
/> - /> являетсяминимальной нормальной подгруппой группы />;
/> - /> являетсясубнормальной подгруппой группы />;
/> - подгруппа /> характеристичнав группе />,т.е. /> длялюбого автоморфизма />;
/> - индексподгруппы /> вгруппе />;
/>;
/> - ядроподгруппы /> вгруппе />,т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с /> в />;
/> - подгруппа,порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой /> из /> элементами /> из />, то есть />;
/> -централизатор подгруппы /> в группе />;
/> - нормализаторподгруппы /> вгруппе />;
/> - центр группы/>;
/> - циклическаягруппа порядка />;
/> -симметрическая группа степени />;
/> -знакопеременная группа степени />.
Если/> и /> - подгруппыгруппы />,то:
/> - прямоепроизведение подгрупп /> и />;
/> - полупрямоепроизведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/> - /> и /> изоморфны.
Скобки/> применяютсядля обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов илиподгрупп.
/> - подгруппа,порожденная всеми />, для которых выполняется />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой,если />;
/>-нильпотентной,если />;
/>-разложимой,если /> и /> нормальны в />.
Рядподгрупп /> называется:
субнормальным,если /> длялюбого />;
нормальным,если /> длялюбого />;
главным,если /> длявсех />.

ВВЕДЕНИЕ
Началоразвития исследований в области теории конечных групп в Гомеле связано сприездом в 1953 году профессора Сергея Антоновича Чунихина в только чтооткрывшейся Белорусский государственный институт инженеров железнодорожноготранспорта, ныне — Белорусский государственный университет транспорта. Здесь онвозглавил кафедру высшей математики, а позднее в 1959 году создал лабораториютеории конечных групп Института математики Академии наук Беларуси и в 1964 годукафедру алгебры и геометрии Гомельского педагогического института,преобразованного в 1969 году в университет. В 1956 году он был избранчленом-корреспондентом АН БССР, а в1966 году — академиком АН БССР.
Завремя работы С.А. Чунихина в г. Гомеле в 1953-1985 гг. создана крупная научнаяалгебраическая школа, активно развивающая в настоящее время под руководствомчлена-корреспондента НАН Беларуси профессора Л.А. Шеметкова различныенаправления современной теории конечных групп и теории классов алгебраическихсистем. Об этом свидетельствуют монографии участников Гомельскогоалгебраического семинара С.А. Чунихина, Л.А. Шеметкова, А.Н. Скибы, М.В.Селькина, С.Ф. Каморникова, Го Вэньбина. К учебным изданиям по теории группучастников Гомельского алгебраического семинара следует отнести прежде всегомашинописные варианты текстов лекций С.А. Чунихина и Л.А. Шеметкова, а такжеучебные пособия Л.А. Шеметкова, В.А. Ведерникова, В.С. Монахова и А.Н. Скибы.
Вработе [1] Л. А. Шеметков ввёл понятие добавления (см. также [2, с.132]). Добавлениемк подгруппе /> конечнойгруппы /> называетсятакая подгруппа /> из />, что />, но /> для любой собственной подгруппы /> из />. Если, крометого, />, то/> называетсядополнением к подгруппе />.
Ф.Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы [3,4, c. 291]. Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладаетдобавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает классвсех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях на добавления илина добавляемые подгруппы можно выделить разнообразные классы групп.
Известно,что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, укоторых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла [12] явиласьисточником развития одного из направлений теории групп, состоящего висследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Какотмечает в своей монографии С.Н. Черников [10, с.11]: «Изучение групп сдостаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многимиважными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изученымногие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям каксамого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системыдополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, спомощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность идругих свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемостирассматривались />-дополняемость (если пересечениеподгруппы с добавлением циклическое), />-плотность (если для любых двухабелевых подгрупп /> группы />, из которых первая не максимальнаво второй, в /> существует дополняемая (абелева)подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др. Обзор результатов этогонаправления можно найти в [10].
Подобнаятематика исследуется и в теории формаций. В работах В.А. Ведерникова [5,6], ГоВэнь Биня [11], А.Н. Скибы [7], Л.А. Шеметкова [8] и других авторовисследовались формации с системами дополняемых подформаций. Обзор результатовэтого направления можно найти в [9].
Однакоусловие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточносильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе стем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследованиястроения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводитьдополнительные ограничения на минимальные добавления.
Внастоящей дипломной работе изложены основы теории нильпотентной длины конечнойразрешимой группы. Целью дипломной работы является исследование величинынильпотентной длины конечных разрешимых групп с известными добавлениями кмаксимальным подгруппам. В работе рассмотрены следующие вопросы: подгруппаФиттинга конечной разрешимой группы и ее свойства; нильпотентная длина и другиеинварианты конечной разрешимой группы; признаки разрешимости конечной группы сизвесными добавлениями к максимальным погруппам; нахождение величинынильпотентной длины разрешимой группы с известными добавлениями к максимальнымподгруппам.
Работасостоит из трех глав.
Впервой главе «Подгруппа Фиттинга и ее свойства» изучены свойстваподгруппы Фиттинга.
Определение.Произведениевсех нормальных нильпотентных подгрупп группы /> называют подгруппой Фиттингагруппы /> иобозначают через />.
Определение.Нильпотентной длиной разрешимой группы /> называют наименьшее />, для которого />. Нильпотентнуюдлину разрешимой группы /> обозначают через />.
Наоснове подгруппы Фиттинга вводится следующая
ТеоремаА. ПодгруппаФиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.
Такжерассматривается доказательство теоремы К. Дёрка.
ТеоремаB.Если /> -максимальная подгруппа разрешимой группы />, то />, где />.
Доказанатеорема Монахова В.С.
Определение.Подгруппа /> группы/> называетсямаксимальной подгруппой, если /> не содержится ни в какой другойподгруппе, отличной от />.
Определение.Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех ее максимальныхподгрупп. Подгруппа Фраттини группы /> обозначается через />.
ТеоремаC.(1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечениеммаксимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
(2)В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащихподгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Вовторой главе "/>-длина />-разрешимой группы" даныследующие определения.
Определение.Пусть /> -простое число. Назовем группу />-группой, если ее порядок неделится на /> и,как обычно, />-группой,если её порядок равен степени числа />. Конечную группу /> будем называть />-разрешимой,если каждый из её композиционных факторов является либо />-группой, либо />-группой. Такимобразом, группа /> разрешима в обычном смысле тогдаи только тогда, когда она />-разрешима для всех простых />. Ясно, чтогруппа /> />-разрешиматогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом
/>
вкотором каждая факторгруппа /> является либо />-группой, либо />-группой.
Определение.Наименьшее целое число />, для которого />, мы назовем />-длинной группы/> иобозначим его />, или, если необходимо, />.
/>-длину />-разрешимойгруппы можно также определить как наименьшее число />-факторов, встречающихся в какомлибо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего />-ряда
/>
Доказывается
ТеоремаD.Если /> — />-разрешимаягруппа, где /> -нечетное простое число, то
(i)/>
(ii)/> если /> не являетсяпростым числом Ферма, и />, если /> - простое число Ферма. Крометого, эти оценки нельзя улучшить.
Вглаве «Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам» доказанаважная теорема.
Определение.Группа /> называется/>-сверхразрешимой,если ее главные факторы либо />-группы, либо имеют простыепорядки. />-Сверхразрешимойназывают группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок />, либо являются/>-группами.Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.
ТеоремаE.Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимымподгруппам изоморфна /> или />, где /> - нильпотентная группа, а /> и /> - простыечисла.
Такжедоказано следствие из этой теоремы.
Следствие.Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индексасверхразрешимы, изоморфна /> или />, где /> - />-группа, либо />, где /> - />-группа.

1ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА
Произведениевсех нормальных нильпотентных подгрупп группы /> называют подгруппой Фиттингагруппы /> иобозначают через />. Множество простых делителейпорядка группы /> обозначается через /> а наибольшую нормальную/>-подгруппугруппы /> -через />.
Лемма1.1.(1) /> -наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы />;
(2)/>;
(3)/>.
Proof.(1) Пусть /> и/> -нильпотентные нормальные подгруппы группы /> и пусть /> и /> - силовские />-подгруппы из /> и />. Так как />, а />, то /> по лемме 4.1,с. 35. Аналогично, />, поэтому />. Ясно, /> - />-группа. Покажем, что онасиловская в />.Для этого вычислим ее индекс:
/>/>
Таккак числитель не делится на />, то /> - силовская />-подгруппа группы />. Итак,произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентнаяподгруппа. Поэтому /> - наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа группы />.
(2)Ясно, что /> длявсех />,поэтому
/>

Обратно,если /> -силовская />-подгруппагруппы />,то /> и /> нормальна в />, поэтому /> и
/>
(3)Если />, то /> и /> нильпотентна,поэтому /> по(1) и />.
Лемма1.2.(1) />; если/> разрешимаи />, то />;
(2)/>
(3)если />, то />; если, крометого, /> абелева,то />
Proof.(1) Поскольку подгруппа Фраттини /> - нильпотентная нормальнаяподгруппа группы />, то />. Пусть /> - разрешимая неединичная группа.Тогда /> разрешимаи неединична. Пусть
/>
Таккак /> - />-группа длянекоторого простого />, то по следствию 4.2, с. 35,подгруппа /> нильпотентнаи />.Следовательно, />.
(2)Если />, то/> -нильпотентная нормальная в /> подгруппа по теореме 4.3, с. 35,поэтому /> и
/>
Обратноевключение следует из определения подгруппы Фиттинга.
(3)Для минимальной нормальной подгруппы /> либо />, либо />. Если />, то
/>
Если/>, то /> - элементарнаяабелева />-группадля некоторого простого />. Так как />, то />. С другой стороны, /> по теореме4.4, с. 35, поэтому />.
Теорема1.3./> длялюбого />. Вчастности, если /> разрешима, то />
Proof.Пусть />, />. Так как /> по лемме 4.5,с. 35, то />.Предположим, что /> для некоторого /> и пусть
/>
Ясно,что /> и /> Пусть /> - силовская />-подгруппагруппы />.Так как
/>
/>-группа, то />, а поскольку />, то /> и />. Теперь, /> -нильпотентная нормальная подгруппа группы /> и />. Таким образом, /> и первое утверждениедоказано. Если /> разрешима, то /> разрешима, поэтому /> и />.
Говорят,что подгруппа /> группы /> дополняема в />, если существует такаяподгруппа />,что /> и />. В этом случаеподгруппу /> называютдополнением к подгруппе /> в группе />
Теорема1.4.Если /> -нильпотентная нормальная подгруппа группы /> и />, то /> дополняема в />.
Proof.По условию /> апо теореме 4.6, с. 35, коммутант />. По теореме 4.7, с. 35, подгруппаФраттини /> апо условию /> Поэтому/> и /> абелева. Пусть/> -добавление к /> в />. По лемме 4.8, с. 35, /> Поскольку /> и /> то /> и по теореме4.7, с. 35,
/>
Следовательно,/> и /> - дополнение к/> в />.
Теорема1.5.Факторгруппа /> есть прямое произведение абелевыхминимальных нормальных подгрупп группы />.
Proof.Предположим вначале, что /> и обозначим через /> подгруппу Фиттинга /> По теореме 4.6коммутант /> Но/> значит /> по теореме4.7, с. 35. Поэтому /> и /> абелева. Пусть /> - прямое произведениеабелевых минимальных нормальных подгрупп группы /> наибольшего порядка. Тогда /> и по теореме1.4 существует подгруппа /> такая, что /> По тождеству Дедекинда /> Но /> абелева,поэтому /> атак как />,то /> Повыбору /> пересечение/> и />
Пустьтеперь /> и /> По лемме1.2(2) /> Таккак /> тодля /> утверждениеуже доказано.
Следствие1.6.В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга естьпрямое произведение минимальных нормальных подгрупп. />
Теорема1.7.Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторовгруппы.
Proof.Пусть

/>
Последствию 4.9, с. 35, подгруппа /> нормальна в />. Если
/>
главныйряд группы />,то
/>
/>
нормальныйряд группы />.Так как подгруппа /> содержится в каждой подгруппе />, то
/>
для/>. Потеореме 4.10, с. 35, подгруппа /> нильпотентна, поэтому />.
Проверимобратное включение. Пусть /> - главный фактор группы />. Так как
/>
топо лемме 4.11, с. 35, либо
/> либо />
Впервом случае />, поэтому

/>
Вовтором случае из нильпотентности подгруппы /> по лемме 1.2 получаем, что
/>
Снова/>. Такимобразом, /> и/>.
Лемма1.8./>.
Proof.Пусть />.Ясно, что /> и/>. Так как
/>
то/> и /> изоморфнанормальной нильпотентной подгруппе группы />. Поэтому
/>
и/>.
Пусть/> - группаи пусть
/>
/>
/>
/>
Ясно,что

/>
Вразрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппыпо лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное /> такое, что />.
Нильпотентнойдлиной разрешимой группы /> называют наименьшее />, для которого />. Нильпотентнуюдлину разрешимой группы /> обозначают через />. Таким образом, еслигруппа /> разрешимаи />, то
/>
где
/>
Поэтомупостроенный ряд нормальный и его факторы /> нильпотентны.
Ясно,что /> тогдаи только тогда, когда группа /> нильпотентна.
Пример1.9./>. />
Непосредсвенноиз определения нильпотентной длины вытекает
Лемма1.10. Пусть /> - разрешимая группа. Тогда:
(1)/>;
(2)/>. />
Лемма1.11. (1) Если /> - разрешимая группа, то длиналюбого нормального ряда группы /> с нильпотентными факторами неменьше, чем />.
(2)Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткогонормального ряда с нильпотентными факторами.
Proof.(1) Применим индукцию по порядку группы />. Пусть
/>
нормальныйряд группы /> снильпотентными факторами. Так как /> - нормальная нильпотентнаяподгруппа группы />, то /> и />. Здесь />. Факторгруппа /> имеет порядок меньше,чем порядок группы /> и обладает рядом
/>
где/>. Ясно,что это нормальный ряд, его длина /> и его факторы
/>
/>
нильпотентны.По индукции /> и />.
(2)следует из (1).
Лемма1.12. Пусть /> - разрешимая группа. Тогда:
(1)если />, то />;
(2)если />, то />;
(3)если /> и />, то
/>

вчастности, если /> и /> - разрешимые группы, то
/>
(4)/>.
Proof.Пусть /> и />. Тогда
/>
(1)Пусть />.Тогда ряд
/>
будетнормальным рядом подгруппы /> с нильпотентными факторами
/>
/>
Полемме 1.11 />.
(2)Пусть /> и />. Тогда ряд
/>
будетнормальным рядом группы /> с нильпотентными факторами
/>
/>

Полемме 1.10 />.
(3)Ясно, что />.Обозначим />.Тогда /> полемме 1.10, а по индукции
/>
/>
Поэтому/>. Так как/> по (1),то имеем
/>
(4)Положим />.По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы /> имеем /> и
/>
Поэтому/>.
Следующаятеорема принадлежит К. Дёрку.
Теорема1.13. Если /> - максимальная подгруппаразрешимой группы />, то />, где />.
Пример.Воспользуемся индукцией по порядку группы />. Пусть /> - минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Если />, то /> и />, где />. Поэтому можно предположить, чтовсе минимальные нормальные подгруппы группы /> содержатся в />. Если группа /> содержит дверазличные минимальные нормальные подгруппы, то /> и по индукции

/>
Поскольку
/>
тотеорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа /> содержит в точностиодну минимальную нормальную подгруппу. Если />, то /> по лемме 1.12 и опять
/>
Поскольку
/>
тоопять теорема справедлива.
Итак,можно считать, что /> и /> по следствию 1.6. По индукции
/>
Если/>, тоутверждение справедливо. Пусть />, т.е. />. Считаем, что /> - />-группа. Тогда /> - />-группа. Пусть />. Если />, то /> и />, поэтому
/>
итеорема справедлива.
Остаетсяслучай, когда />. Так как /> - />-подгруппа, то
/>
причем/> - />-группа.Противоречие.
Пример1.14.
Всетри значения /> в теореме 1.13 имеют место.Значение /> выполняетсяна любой нильпотентной неединичной группе. Значение /> выполняется на группе /> с максимальнойподгруппой />.Значение /> выполняетсяна группе />,у которой силовская />-подгруппа максимальна. />
Еслифакторгруппа /> нильпотентна, то группу /> называютметанильпотентной.
Теорема1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппаФраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащихподгруппу Фиттинга.
(2)В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп,содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Proof.Обозначим через /> пересечение всех максимальных подгруппгруппы />,не содержащих />, а через /> пересечение максимальных подгруппгруппы />,содержащих />.Ясно, что подгруппы /> и /> характеристические в группе /> и
/>
(1)В факторгруппе /> подгруппа Фиттинга
/>

полемме 1.2, поэтому
/>
Предположим,что /> ипусть /> -минимальная нормальная подгруппа группы />, содержащаяся в />. Так как подгруппа /> нормальна вгруппе /> ифакторгруппа /> нильпотентна, то по теореме 4.3,с. 35, подгруппа /> нильпотентна и />. Но теперь
/>
противоречие.Поэтому допущение неверно и />, т.е. />.
(2)Пусть /> -разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что /> /> и
/>
Поэтомуподгруппа /> метанильпотентна.
Пример1.16. В неразрешимой группе /> центр, подгруппа Фраттини иподгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок />. Поэтому в группе /> нет максимальных подгрупп,не содержащих подгруппу Фиттинга.
Следовательно,утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

2/>-ДЛИНА />-РАЗРЕШИМОЙГРУППЫ
Пусть/> - простоечисло. Назовем группу />-группой, если ее порядок неделится на /> и,как обычно, />-группой,если её порядок равен степени числа />. Конечную группу /> будем называть />-разрешимой,если каждый из её композиционных факторов является либо />-группой, либо />-группой. Такимобразом, группа /> разрешима в обычном смысле тогдаи только тогда, когда она />-разрешима для всех простых />. Ясно, чтогруппа /> />-разрешиматогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом
/>
вкотором каждая факторгруппа /> является либо />-группой, либо />-группой.Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний />-ряд.
/>
потребовав,чтобы /> быланаибольшей нормальной />-подгруппой в />, а /> - наибольшей нормальной/>-подгруппойв />.
Наименьшеецелое число />,для которого />, мы назовем />-длинной группы /> и обозначимего />, или,если необходимо, />.
/>-длину />-разрешимойгруппы можно также определить как наименьшее число />-факторов, встречающихся в какомлибо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего />-ряда (2.2). Подгруппы /> и />, очевидно,характеристичны в />, и /> содержит все нормальные подгруппыгруппы /> с />-длинной, непревосходящей числа />. Заметим также, что
/>
для/>
Подгруппыи факторгруппы />-разрешимой группы /> также />-разрешимы, и их длинане превышает />. Если группы /> и /> обе />-разрешимы, то таково жеих прямое произведение /> и />
Пусть/> - />-разрешимаягруппа и />-ее силовская />-подгруппа. Разумно предположить,что чем больше />-длинна /> группы />, тем большей должна бытьсложность силовской подгруппы />. Придадим точный смысл этомуутверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критериисложности />.Наиболее естественные из этих критериев, силовские />-инварианты группы />, таковы:
(i)/> где /> - порядок />,
(ii)/> - класснильпотентности />, т.е. длина (верхнего или)нижнего центрального ряда />,
(iii)/> - длинаряда коммутантов />,
(iv)/> где /> - экспонента />, т.е.
наибольшийиз порядков элементов />. Экспонента самой группы />, т.е.наименьшее общее кратное порядков ее элементов, равна поэтому />. Очевидно, равенствонулю любого из инвариантов /> или /> равносильно тому, что /> является />-группой.
Восновных теоремах ограничимся случаем нечетных простых чисел />, и даже тогдарезультаты будут несколько различнми, в зависимости от того, является ли /> простым числомФерма вида /> илинет.
Справедливаследующая теорема.
Теорема2.1.Если /> — />-разрешимаягруппа, где /> -нечетное простое число, то
(i)/>
(ii)/> если /> не являетсяпростым числом Ферма, и />, если /> - простое число Ферма. Крометого, эти оценки нельзя улучшить.
Мыустановим также неравенства, связывающие /> c /> и /> с />, но здесь наши результаты будутнеулучшаемы только для простых чисел, не являющихся простыми числами Ферма. Всеэти результаты тривиальны для />, и мы докажем их индукцией по />. Предположим,что /> и что/>, каквсегда обладает верхним />-рядом (2.2). Пусть/>подгруппа Фраттини />-группы />. Всякийэлемент группы /> индуцирует внутренний автоморфизмгруппы /> и,следовательно, группы />. Но, как извесно, /> является элементарнойабелевой />-группой;поэтому ее можно отождествить с аддитивной группой векторного пространства надпростым полем характеристики />, а ее автоморфизм — с линейнымипреобразованиями этого пространства. Автоморфизмы группы />, индуцированныеэлементами />,образуют поэтому линейную группу над полем характеристики />. Эта группа, очевидно,является гомоморфным образом группы />, и мы покажем, что вдействительности она изоморфна группе />, и поэтому является />-разрешимойгруппой, не содержащей нормальной подгруппы, отличной от единицы.
Теорема2.2.Пусть /> -разрешимая линейная группа над полем характеристики />, не содержащая неединичнуюнормальную />-подгруппу.Пусть /> -элемент порядка /> в />. Тогда минимальное уравнение для /> имеет вид />.
Число/> удовлетворяетследующему условию. Пусть /> наименьшее целое число (если оносуществует), для которого /> является степенью простого числа /> со свойством />. Если /> не существует,то />; впротивном случае
/>
Этотрезультат, дополненный более детальными сведениями об элементах />, для которых />, будет ключомк доказательству теоремы А. Надо заметить, что неравенство /> может выполнятьсятолько тогда, когда /> или когда /> - простое число Ферма.Теорема В и подобные ей теоремы доказываются в основном прямым определениемнаименьшей группы, удовлетворяющей этим условиям, и прямым вычислением. Приэтом играет важную роль следующая теорема, интересная сама по себе.
Теорема2.3.Пусть /> -некоторая />-группа,на которую действует />-группа />, причем некоторый элемент /> группы /> действуетнетривиально на />, но тривиально на каждую истинную/>-инвариантнуюподгруппу группы />. Тогда существует такое простоечисло />,что /> являетсялибо элементарной абелевой />-группой, либо />-группой классанильпотентности 2, у которой центр и коммутант совпадают, факторгруппа покоммутанту /> -элементарная абелева группа и представление /> на /> неприводимо.
Следуетотметить, что если /> - разрешимая группа, тоограничитель /> влечет ограниченность длины рядакоммутантов /> группы/>.
Пусть/> означаетследующее утверждение:
/>: для каждогоположительного целого числа /> существует такое целое число />, что всякаяразрешимая группа экспоненты />, порождаемая /> элементами, имеетпорядок не больше />.
Теорема2.4./> истинно,если /> истиннодля всех степеней простых чисел />, делящих />.
Вчастности, так как известно, что />, /> и /> истинны, то истинны /> и />. В этихслучаях, как и всегда, когда /> делится только на два простыхчисла, мы можем слово «разрешимая» заменить в формулировке /> словом«конечная». Если /> - число, свободное от квадратов,мы даже можем вычислить />, когда /> извесны для всех простых />, делящих />, и всех />. Так, порядокнаибольшей конечной />-порожденной группы экспоненты 6дается формулой
/> где /> и />
Пустьтребуется доказать индукцией по порядку группы /> неравенство
/>
Здесь/> и /> - числовыеинварианты, определеннные для некоторого класса конечных групп, который мыпредпологаем замкнутым. Мы предпологаем, что (2.3) выполняется для достаточномалых />,следовательно и для />, и, кроме того, что:
(I)если /> -подгруппа />,то />;
(II)/>;
(III)если /> -факторгруппа />, то />.
Тогдасправедлива
Лемма2.5.В доказательстве неравенства (2.3) индукцией по порядку группы /> можно предположить, что/> обладаеттолько одной минимальной нормальной подгруппой.
Всамом деле, если /> обладает двумя минимальныминормальными подгруппами /> и />, мы получим, что />, так что /> изоморфна подгруппепрямого произведения />. Т.к. /> - инвариант, имеющий одинаковыезначения для изоморфных групп, последние (I) и (II) дают
/>
Всилу предположения индукции /> и в силу условия (III) />. Такимобразом, />,и точно также />, так что />, что и требовалось.
Заметим,что все силовские />-инварианты, упомянутые раньше,кроме />,заведамо удовлетворяют условиям (I), (II) и (III). То же верно и для инварианта/> разрешимойгруппы и инварианта /> />-разрешимой группы; /> удовлетворяет условию(III). Таким образом, если /> удовлетворяет условиям (I) и(II), то этим же условиям удовлетворяет любая неубывающая функция />, а если /> удовлетворяютусловию (III), то этому же условию удовлетворяет любая функция />, не убывающая по любомуиз /> аргументов.Так как все наши неравенства тривиальны для достаточно малых групп />, то легковидеть, что утверждение последней леммы можно применять каждый раз, когда этонеобходимо.
Теорема2.6.Если /> -разрешимая группа, то />.
Доказываятеорему индукцией по порядку />, можно предположить, что /> обладаеттолько одной минимальной нормальной подгруппой. Так как /> разрешима, этаподгруппа будет />-группой для некоторого простогочисла />.Тогда в верхнем />-ряде (2.2) группы /> подгруппа />. Отсюда

/>
Но/> и />-1, в то времякак при /> инварианты/> и /> имеютодинаковые значения для /> и />.
Пустьпредложение индукции, применённое к группе />, даёт
/>
Отсюдаследует теорема.
Нампонадобиться далее важное свойство верхнего />-ряда />-разрешимой группы, которое удобновывести в немного более общем контексте. Пусть /> - некоторое множество простыхчисел, а /> -дополнительное к /> множество. />-группа — это конечнаягруппа, порядок которой делится только на простые числа, входящие в />. Конечнаягруппа /> />-разрешима,если каждый её композиционный фактор является либо />-группой, либо />-группой. Такая группа /> обладаетверхним />-рядом,для которого мы используем те же обозначения, что и в случае, когда /> содержит однопростое число />. Таким образом, мы пишем
/>
дляряда нормальных подгрупп, требуя, чтобы факторгруппа /> была наибольшей нормальной />-подгруппой в />, афакторгруппа /> - наибольшей нормальной />-подгруппой в />.
Лемма2.7.Если />-разрешимаягруппа /> несодержит неединичную />-подгруппу, так что />, то группа /> содержит свойцентрализатор в группе />.
Пусть/> -централизатор группы />. Если лемма не верна и />, то мы можемвыбрать нормальную подгруппу /> группы />, такую, что /> и минимальную при этомусловии. Так как группа /> />-разрешима, факторгруппа /> оказываетсяили />-группой,или />-группой,а по определению группы /> она не может быть />-группой. Следовательно,факторгруппа /> есть />-группа и порядки групп /> и /> взаимнопросты. По теореме Шура, группа /> обладает дополнением /> в группе />. Так как />,трансформирование группы /> элементом из /> индуцирует еевнутренний автоморфизм, а т.к. порядки /> и /> взаимно просты, этот автоморфизмможет быть только тождественным. Тогда /> - прямое произведение /> и />. Поэтому /> являетсяхарактеристической подгруппой в />, а следовательно, нормальнойподгруппой в />, в потиворечие с предположением,что />. Этопротиворечие доказывает лемму. Заметим, что предположение /> на самом деле излишне,так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе />.
Следствие2.8.Пусть /> -некоторая подгруппа />, индекс которой не делится ни накакое простое число из />, тогда центр группы /> содержится вцентре группы />.
Действительно,подгруппа /> должнасодержать нормальную />-подгруппу /> группы />.
Следствие2.9.Пусть /> -некоторая подгруппа группы />, содержащая />, тогда /> не обладает неединичнойнормальной />-подгруппой.
Действительно,нормальная />-подгруппагруппы /> должнасодержаться в центролизаторе группы />.
Под/>-подгруппойконечной группы /> мы подразумеваем такую подгруппу,порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа /> разрешима и ее порядок равен />, где />, то группа /> обладает />-подгруппамипорядка /> илюбые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.
Теорема2.10. Если /> - разрешимая группа порядка />, где /> при />, и еслиподгруппа группы /> порядка /> имеет класс нильпотентности /> то
/>
Вчастности, для любой конечной разрешимой группы />. />-подгруппа некоторой факторгруппы />, порядоккоторой делит />, имеет класс нильпотентности, непревышающий />,так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукциейпо порядку группы />, допустив что /> обладает только однойминимальной нормальной подгруппой. Это будет />-группа для некоторого простогочисла />, имы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит />. Тогда, если мы возьмем вкачестве /> множествопростых долителей числа />, окажется выполненной предпосылкалеммы 2.5. Если /> - наибольшая нормальная />-подгруппагруппы /> и /> - ее центр, топо следствию леммы 2.5 /> содержит центр />-подгруппы группы />, имеющейпорядок />.Порядок />-подгруппыгруппы /> делит/>, поэтомукласс нильпотентности ее не более />. Для /> />-подгруппы групп /> и /> порядка /> изоморфны, так что всилу предположения индукции, примененной к />, получим
/>

Таккак />, тодоказательство по индукции проведено.
Преждечем применять лемму 2.5 к доказательству неравенства для />, удобно уточнить её дляслучая, при котором /> состоит из одного простого числа />. Пусть /> есть />-разрешимаягруппа с верхним />-рядом (2.2). Тогда лемма 2.5,применённая к группе />, показывает, что если /> - элементгруппы />,не входящий в />, то трансформирование элементом /> индуцирует в /> нетождественныйавтоморфизм. Необходимое уточнение состоит в замене группы /> группой />, где /> - подгруппа Фраттинигруппы />.Теперь /> - />-группа, итаким образом /> - элементарная абелева />-группа. Яснопоэтому, что автоморфизм группы />, индуцированный группы />,тождественный. Таким образом, множество элементов группы />, которое тождественнотрансформирует />, является нормальной подгруппой /> группы />, такой, что />. Поопределению /> факторгруппа /> неможет быть />-группой,отличной от 1, так что если />, то группа /> должна содержатьэлемент />,не входящий в /> и порядка, взаимно простого />. Тогда /> индуцируетавтоморфизм группы /> порядка, взаимно простого с />. Ноавтоморфизм />-группы,тождественоой по модулю подгруппе Фраттини, имеет порядок, равный степени числа/>. Такимобразом, /> индуцируетв /> нетождественныйавтоморфизм, что противоречит определению группы />. Значит, />, что и требовалось. Такимобразом:
Лемма2.11. Если /> есть />-разрешимая группа с верхним />-рядом (2.2) иесли /> -подгруппа Фраттини группы />, то автоморфизмы группы />, которыеиндуцированы трансформированиями элементами группы />, представляют /> точно.
Следствие2.12. />.
Полемме группа /> не обладает неединичнойнормальной />-подгруппой,и последующие члены её верхнего />-ряда представляют собой фактор группыпо /> соответствующихчленов верхнего />-ряда группы />.
Теорема2.13. Для любой />-разрешимой группы />
(I)/>
(II)/>
Мыможем использовать индукцию по порядку группы /> и предположить, что /> обладаеттолько одной минимальной нормальной подгруппой />. Очевидно, мы можем такжепредположить, что />, откуда последствию из леммы 2.11/>, а,следовотельно, />, и /> - элементарная абелева />-группа.Теперь, полагая />, мы получим, что />, так что попредположению индукции заключаем, что />. Если /> - группа порядка />, то порядок её группыавтоморфизмов /> равен
/>
такчто />.Согласно лемме 2.11, группа /> изоморфна некоторой подгруппегруппы />,так что />,откуда />.Таким образом,
/>

чтои требовалось.
Сдругой стороны согласно следствию 1 леммы 2.7, /> содержит центр силовской />-подгруппыгруппы />,так что />.Так как />,то индукция для (II) проводится сразу.
Неравенства,полученные сдесь, отнюдь не являются наилучшими. Для нечетных /> их значительно можноусилить. Однако при /> теорему 2.13 улучшить нельзя.
Последнюютеорему можно применить для короткого доказательства утверждений /> и />.

3ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ
Внастоящем главе описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентнымидобавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, вчастности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых групп.Доказывается
Теорема3.1.Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимымподгруппам изоморфна /> или />, где /> - нильпотентная группа, а /> и /> - простыечисла.
Следствие3.2.Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индексасверхразрешимы, изоморфна /> или />, где /> - />-группа, либо />, где /> - />-группа.
Отметим,что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изученыС. С. Левищенко [13]. Среди них нет неразрешимых групп.
Рассматриваютсятолько конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны,их можно найти в [2,14].
Нампонадобится следующая
Лемма3.3.Пусть в конечной группе /> каждая несверхразрешимая группаобладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любойфактор-группе группы /> каждая несверхразрешимаяподгруппа обладает нильпотентным добавлением.
Proof.Пусть /> -произвольная подгруппа конечной группы />, и пусть /> - несверхразрешимая подгруппа из />. В группе /> существуетнильпотентное добавление /> к подгруппе />. Поэтому />, а />. Теперь /> - нильпотентна, и к /> vможно взятьнильпотентное добавление в подгруппе />.
Пусть/> -нормальная в /> подгруппа, и /> - несверхразрешимая в /> подгруппа.Тогда /> несверхразрешима,и существует нильпотентная подгруппа /> такая, что />. Теперь /> нильпотентна и />, т. е. кподгруппе /> можнонайти в /> нильпотентноедобавление.
Докажемтеорему.
Пример.Путь /> -конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимымподгруппам. Так как /> не />-нильпотентна, то в /> существует />-замкнутаяподгруппа Шмидта />, где /> - нормальная в /> силовская 2-подгруппа,подгруппа /> -циклическая [14,c. 434]. Поскольку /> не является сверхразрешимой, тосуществует нильпотентная подгруппа /> такая, что />. С учётом чётностипорядка /> изтеоремы 2.8 [15] заключаем, что фактор-группа /> изоморфна /> или />, где /> - некоторое простоечисло, а /> -наибольшая разрешимая нормальная в /> подгруппа. Кроме того,
/> а />
Здесь/> и /> -'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка />. Из теоремы 2.10 [15] получаем,что /> -простое число.
Вслучае, когда /> и /> - простые числа в простой группе />, каждаянесверхразрешимая подгруппа изоморфна группе />. Последняя подгруппа имеет в /> циклическоедополнение />.Поэтому группа /> в случае, когда /> и /> - простые числа,удовлетворяет условию теоремы.
Проверим,что группа /> неудовлетворяют условию теоремы. Пусть
/>
/>
Известно,что /> -нормальная в /> подгруппа, а /> - циклическая группапорядка />.Для силовской />-подгруппы /> из /> имеем
/>
/>
Теперь
/>
Поскольку/> и /> - простыечисла, то в /> существуетподгруппа /> порядка/>. Для /> подгруппа /> />-замкнута, и внешнийавтоморфизм /> нецентрализует силовскую />-подгруппу, поэтому /> несверхразрешима. Таккак в /> нетнильпотентной подгруппы порядка />, то /> не удовлетворяет условию теоремыпри />. Если/>, то в /> для подгруппыШмидта, изоморфной знакопеременной группе /> степени />, должна найтись нильпотентнаяподгруппа /> порядка,делящегося на />. Но такой нильпотентной подгруппыв /> нет.
Итак,если />, то /> изоморфна />, где /> и /> - простыечисла.
Пустьтеперь />.Предположим, что /> не является минимальнойнормальной в /> подгруппой, и пусть /> - минимальнаянормальная в /> подгруппа, содержащаяся в />. По индукции, />, где /> -нильпотентна, а /> изоморфна /> или />. Так как />, то /> - собственная в /> подгруппа, идля её прообраза /> в группе /> по индукции получаем, что />, где /> или />. Подгруппа /> характеристичнав />, а /> нормальна в />, поэтому /> нормальна в />. Так как
/> то />
Посколькудля несверхразрешимой подгруппы /> из /> существует нильпотентнаяподгруппа /> такая,что />, то
/>
будетнильпотентной подгруппой.
Теперьрассмотрим случай, когда /> - минимальная нормальная в /> подгруппа.Предположим, что коммутант /> - собственная в /> подгруппа. Так как
/> то />
Изминимальности /> получаем, что
/> Так как />
где/> и /> - простыечисла, то в этом случае теорема доказана.
Итак,пусть />.Если /> -собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты /> следует, что /> содержится вцентре />.Теперь группа /> изоморфна /> или /> по теореме VI.25.7[14].
Пусть/> самоцентрализуема.Поскольку /> разрешима,то /> - />-группа длянекоторого простого />. Допусти, что существует простое />, делящеепорядок />,и пусть /> -силовская />-подгруппаиз />. Еслиподгруппа /> сверхразрешима,то /> нильпотентнаи /> несамоцентрализуема. Если /> не сверхразрешима, то по условиютеоремы существует нильпотентная подгруппа /> такая, что />. Но теперь
/>
будетразрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак, /> - наибольшеепростое число, делящее порядок />.
Допустим,что /> несодержится в />. Тогда /> - собственная в /> подгруппа и />. Так как />, /> и /> - />-группа, то /> - группанечётного порядка. Подгруппа /> имеет порядок /> и /> - простое число.Поэтому /> итеперь />, афактор-группа
/>
будетразрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.
Следовательно,/> содержитсяв /> и изсамоцентрализуемости /> и нильпотентности /> получаем, что /> - />-группа длянаибольшего простого />, делящего порядок />. Из теоремы 2.1 [15]получаем, что />, а />. Но теперь /> - подгруппанепримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен />, то /> нильпотентна,и опять /> несамоцентрализуема. Противоречие.
Теоремадоказана полностью.
Рассмотримдоказательство следствия.
Proof.Пусть /> -конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индексасверхразрешимы. Если /> - несверхразрешимая в /> подгруппа, то />, где /> - простоечисло. Теперь /> для силовской />-подгруппы /> из />, т. е. группа /> удовлетворяетусловию теоремы. Поэтому
/> или/>
где/> -нильпотентная группа. Если
/>
тов /> имеетсянесверхразрешимая подгруппа /> индекса />. Так как этот индекс должен бытьпримарен, то /> или />, поэтому /> или />, а /> - либо />-группа, либо />-группа. Если
/>
тов /> имеетсянесверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка />, а её индекс равен /> и должен быть примарен,т. е. /> должнабыть />-группой.Следствие доказано.

4ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лемма4.1.Пусть />.Тогда:
(1)если />, />, то />;
(2)если />, />, то />.
Следствие4.2.Если /> нильпотентна,то /> нильпотентна.
Теорема4.3.Пусть />, /> и />. Если /> нильпотентна,то /> нильпотентна.
Теорема4.4.(1) Центр /> неединичнойнильпотентной группы /> отличен от единицы и />.
(2)В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
(3)В нильпотентной группе /> пересечение неединичнойнормальной подгруппы /> с центром группы отлично отединицы и />.
Лемма4.5.Пусть /> -нормальная подгруппа группы />. Тогда:
(1)если />, то/>и />;
(2)если />, то/>и />;
(3)/>;
(4)/>.
Теорема4.6.Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда её коммутант содержится вподгруппе Фраттини.
Теорема4.7.Пусть />.Тогда:
(1)/>;
(2)/>;
(3)если />, то />;
(4)если /> и />, то />.
Лемма4.8.Тогда и только тогда подгруппа /> является добавлением к нормальнойподгруппе /> вгруппе />,когда /> и />.
Следствие4.9.(1) Если /> -главный фактор конечной группы />, то /> и />
(2)Если /> -главный фактор порядка /> конечной группы />, то /> - циклическая группапорядка, делящего />.
Теорема4.10. (1) Если существует натуральное число /> такое, что />, то группа /> нильпотентна.
(2)Ступень нильпотентности нильпотентной группы /> есть наименьшее натуральное число/>, длякоторого />
Лемма4.11. Пусть />. Тогда:
(1)если />, толибо />,либо /> и />;
(2)если /> абелеваи /> длянекоторой собственной подгруппы /> группы />, то />;
(3)если /> и />, то />.

[1] Шеметков Л. А.//Докл. АН СССР. 1968. Т. 178, № 3. С. 559-662.
[2] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М., 1978.
[3] Hall Ph.//J. London Math. Soc. 1937. Vol. 12. P. 201-204.
[4] Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.,1980.
[5] Ведерников В.А. Вполне факторизуемые формации конечных групп //Вопросы алгебры. Вып.5. — Минск: Изд-во «Университетское», 1990. — С.28-34.
[6] Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемымиподформациями длины 3 // Вопросы алгебры. Вып.6. — Минск: Изд-во«Университетское», 1990. — С. 16-21.
[7] Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций //Подгрупповое строение конечных групп. — Мн.: Наука и техника, 1981. — С. 155-180.
[8] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формации алгебр с дополняемымиподформациями // Укр. мат. журн. — 1991. — Т. 43, № 7, 8. — С. 1008-1012.
[9] Скиба А.Н. Алгебра формаций // Мн.: Беларуская навука, 1997. — 240 c.
[10] Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп //М.: Наука, 1980. — 384 c.
[11] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type /> has acomplement // Chinese science Bulletin. — 1997. — Vol. 42, № 5. — P. 364-368.
[12] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J.LondonMath. Soc. — 1937. — 12. — P. 198-200.
[13] Левищенко С. С.//Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. С. 173-196.
[14] Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin-Heidelberg-New York, 1976.
[15] Монахов В. С.//Конечные группы. Минск, 1975. С. 70-100.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вданной дипломной работе изложены основы теории нильпотентной длины конечнойразрешимой группы, проведено исследование величины нильпотентной длины конечныхразрешимых групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам. В работерассмотрены следующие вопросы: подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы иее свойства; нильпотентная длина и другие инварианты конечной разрешимойгруппы; признаки разрешимости конечной группы с извесными добавлениями кмаксимальным погруппам; нахождение величины нильпотентной длины разрешимойгруппы с известными добавлениями к максимальным подгруппам.
Впервой главе «Подгруппа Фиттинга и ее свойства» изучены свойстваподгруппы Фиттинга. Доказаны теоремы К. Дёрка и Монахова В.С.
Вовторой главе "/>-длина />-разрешимой группы" данынеобходимые определения и доказана теорема.
Вглаве «Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам» доказанаважная теорема:
Теорема.Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимымподгруппам изоморфна /> или />, где /> - нильпотентная группа, а /> и /> - простыечисла.
Такжедоказано следствие из этой теоремы.
Следствие.Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индексасверх разрешимы, изоморфна /> или />, где /> - />-группа, либо />, где /> - />-группа.

СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
[1]В.А. Белоногов. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
[2]С.С.Левищенко. //Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. С. 173-196.
[3]В.С.Монахов. Введение в теорию конечных групп и их классов. Гомель: Гомельскийун-т им. Ф.Скорины. 1993.
[4]В.С.Монахов. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями кнесверхразрешимым подгруппам.//Весцi АН Беларусi фiз-мат навук. 1993, № 3. С.27-29.
[5]М.В.Селькин. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Мн.:Беларуская навука. 1997.
[6]М.Холл. Теория групп. М.: Мир, 1962.
[7]Л.А.Шеметков. Формации конечных групп. М., 1978.