--PAGE_BREAK--
Решение пробное.
Но так как в столбце biесть отрицательные коэффициенты, то решение не ОПОРНОЕ.
Для решение задачи двойственным симплекс методом для начала необходимо добиться, что б решение было ОПОРНЫМ.
Находим в столбце Biминимальный отрицательный коэффициент.
Bi=min{bi
Соответствует сразу двум строкам А7 и А8. Одна из этих строк будет разрешающей.
Для того что б определиться какую из двух строк выбрать в качестве разрешающей, для каждой найдем разрешающий столбец, а затем проверим при замене какой пары (разрешающая строка + разрешающий столбец) изменение функции цели будет больше (ту пару и будем менять)
1) А7- разрешающая строка
Ищем разрешающий столбец по правилу:
(так как среди оценочной строки имеются отрицательные оценки плана (задача максимизации), то среди отрицательных коэффициентов аijразрешающей строкивыбирается разрешающий элемент аrsдля которого
соответствует столбцу А1
Если заменим А1—А7 то функция цели изменится на:
2) А8- разрешающая строка
соответствует столбцу А2
Если заменим А2—А8 то функция цели изменится на:
В первом случае изменение функции больше, поэтому выбираем пару А1-А7 меняем вектора местами и переходим к новой симплекс-таблице по правилу:
Переходим к новой симплекс таблице по следующему правилу:
1. все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент
2. заполняем базисные столбцы
3. все остальные элементы симплекс таблицы находим по формуле:
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A4
150
3
5
1
5
2
A5
400
2
7
1
4
3
A6
100
1/2
1/3
1
1
4
A1
25
50
1
-1
5
A8
-50
-1
1
6
A9
-30
-1
1
∆j=W(j)-cj
1250
-20
-50
-25
Новое решение
Свободные переменные
Базисные переменные
X2=0
X3=0
X7=0
X1=5
X4=15
X5=40
X6=10
X8=-50
X9=-30
Решение все еще не опорное, так как все еще есть bi
Находим разрешающую строку:
Bi=min{bi
Соответствует строке А8
Разрешающий столбец:
соответствует столбцу А2
Меняем А2—А8
Переходим к новой симплекс таблице:
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A4
5
1
5
3
2
A5
300
7
1
4
2
3
A6
75
1/3
1
1
1/2
4
A1
25
50
1
-1
5
A2
20
50
1
-1
6
A9
-30
-1
1
∆j=W(j)-cj
2250
-50
-25
-20
Новое решение
Свободные переменные
Базисные переменные
X3=0
X7=0
X8=0
X1=5
X2=5
X4=0
X5=30
X6=75
X9=-30
Решение все еще не опорное, так как все еще есть bi
В качестве разрешающей строки берем А9
Разрешающий столбец А3
Меняем А3—А9
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A4
-150
1
5
3
5
2
A5
90
1
4
2
7
3
A6
65
1
1
1/2
1/3
4
A1
25
50
1
-1
5
A8
20
50
1
-1
6
A9
30
1
-1
∆j=W(j)-cj
2400
-25
-20
-50
Новое решение
Свободные переменные
Базисные переменные
X9=0
X7=0
X8=0
X1=5
X2=5
X3=3
X4= -15
X5=90
X6=65
Решение все еще не опорное, так как все еще есть bi
В строке №1 появился отрицательный коэффициент -150. Берем в качестве разрешающей строки строку №1.
продолжение
--PAGE_BREAK--Так как в строке №1 нет ни одного отрицательного коэффициента то решения НЕТ!
Возможно в условии задачи вместо МИНИМАЛЬНОГО спроса имели ввиду МАКСИМАЛЬНЫЙ.
Решим задачу для условия, что максимальный спрос на изделия составляет 50, 50 и 30единиц.
Тогда математическая модель задачи:
Канонический вид задачи линейного программирования:
х1, х2, х3- свободные переменные
х4, х5, х6, х7, х8, х9- базисные переменные
Составим и заполним 1-ую симплексную таблицу для нового условия задачи:
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A4
400
5
3
5
1
2
A5
600
4
2
7
1
3
A6
150
1
1/2
1/3
1
4
A7
50
1
1
5
A8
50
1
1
6
A9
30
1
1
∆j=W(j)-cj
-25
-20
-50
Находим пробное решение, для этого все свободные переменные приравниваем к 0, а базисные к bi
Свободные переменные
Базисные переменные
X1=0
X2=0
X3=0
X4=400
X5=600
X6=150
X7=50
X8=50
X9=30
Решение ОПОРНОЕ, так как все коэффициенты в столбце bi>=0.
Для того что бы задача МАКСИМУМ имела оптимальное решение, необходимо, что б все коэффициенты в строке функции цели ∆j=W(j)-cj были не отрицательные (∆j≥0). У нас в этой строке есть отрицательные коэффициенты, поэтому решение НЕ ОПТИМАЛЬНОЕ.
Всего у нас три столбца у которых оценка плана отрицательна А1, А2 и А3.
Рассмотрим каждый из них и выберем тот который более выгодно ввести в базис. (Другими слова, при вводе какого вектора функция цели будет иметь наибольшее изменение)
А1 столбец:
Функция цели меняется по формуле:
Для столбца А1:
Тогда Если будем вводить вектор А1, то функция цели увеличится на 1250 единиц
=0-(-1250)=1250
А2 стролбец:
Функция цели меняется по формуле:
Для столбца А2: =-20
Тогда
Если будем вводить вектор А2, то функция цели увеличится на 1000 единиц
=0-(-1000)=1000
А3 столбец:
Функция цели меняется по формуле:
Для столбца А3: =-50
Тогда Если будем вводить вектор А3, то функция цели увеличится на 1500 единиц
=0-(-1500)=1500
Больше всего функция цели увеличится, если введем вектор А3.
Поэтому А3 – разрешающий столбец
Находим разрешающую строку по правилу:
соответствует строке 6 и вектору А9
Меняем А3—A9
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A4
250
5
3
1
-5
2
A5
390
4
2
1
-7
3
A6
140
1
1/2
1
-1/3
4
A7
50
1
1
5
A8
50
1
1
6
A3
5
30
1
1
∆j=W(j)-cj
1500
-25
-20
50
Новое решение
Свободные переменные
Базисные переменные
X1=0
X2=0
X9=0
X3=3
X4=25
X5=39
X6=14
X7=50
X8=5
продолжение
--PAGE_BREAK--
Решение опорное, но пока еще не оптимальное, так как есть отрицательные коэффициенты в строке функции цели.
Так как в двух столбцах оценка плана отрицательна рассмотрим изменение функции цели при вводе этих столбцов в базис:
А1 столбец:
Функция цели меняется по формуле:
Для столбца А1:
Тогда Если будем вводить вектор А1, то функция цели увеличится на 1250 единиц
=1500-(-1250)=2750
А2 стролбец:
Функция цели меняется по формуле:
Для столбца А2: =-20
Тогда
Если будем вводить вектор А2, то функция цели увеличится на 1000 единиц
=1500-(-1000)=2500
Выгоднее вводить вектор А1, так как изменение функции цели в этом случае больше.
Разрешающий столбец А1
Ищем разрешающую строку:
соответствует строке 1и 5 (векторам А4 и А8)
Возьмем в качестве разрешающей строки строку №1 и вектор А4
Меняем А4 и А8
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A1
25
50
1
0,6
0,2
-1
2
A5
190
-0.4
-0,8
1
-3
3
A6
90
-0.1
-0,2
1
2/3
4
A7
-0.6
-0,2
1
1
5
A8
50
1
1
6
A3
50
30
1
1
∆j=W(j)-cj
2750
-5
5
25
Находим пробное решение, для этого все свободные переменные приравниваем к 0, а базисные к bi
Свободные переменные
Базисные переменные
X2=0
X4=0
X9=0
X1=5
X3=3
X5=19
X6=9
X7=0
X8=5
Решение опорное, но не оптимальное.
Разрешающий столбец № 2 (вектор А2 так как только у него есть отрицательная оценка плана)
Найдем разрешающий столбец:
БП
C1=25
С2=20
C3=50
C4=0
C5=0
C6=0
C7=0
C8=0
C9=0
Сб
Вi
A1
А2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
1
A1
25
20
1
0,2
-0,6
-1
2
A5
210
-0,8
1
0.4
-3
3
A6
95
-0,2
1
0,1
2/3
4
A7
30
-0,2
1
0.6
1
5
A2
20
50
1
1
6
A3
50
30
1
1
∆j=W(j)-cj
3000
5
5
25
соответствует строке №5 и вектору А8
Меняем А8—А5
Находим пробное решение, для этого все свободные переменные приравниваем к 0, а базисные к bi
Свободные переменные
Базисные переменные
X4=0
X8=0
X9=0
X1=2
X2=5
X3=3
X5=210
X6=95
X7=30
Решение ОПОРНОЕ и ОПТИМАЛЬНОЕ! Все коэффициенты в строке
∆j≥0
Для получения максимальной прибыли необходимо выпускать товар в следующем ассортименте:
Изделия 1-го типа в размере х1=20 шт
Изделия 2-го типа в размере х2=50шт
Изделия 3-го типа в размере х3=30шт
При таком выпуске получим максимальную прибыль в размере W*=3000$
3.
Изменение коэффициентов целевой функции
Базисная переменная
Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной влияет на оценки плана небазисных переменных. Для базисной переменной диапазон устойчивости, в котором может меняться cj, оставляя оптимальным текущее решение, задается выражением: где
Если нет коэффициентов то
Если нет коэффициентов то
1) X1
c1=25
2) X2
C2=20
Нет коэффициентов то
3) X3
C3=50
Нет коэффициентов то
4) X5
C5=0
5) X6
C6=0
6) X7
C7=0
продолжение
--PAGE_BREAK--