Матрицы
Основные вопросы лекции: общие определения,связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-гопорядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы;ранг матрицы.
Матрицей размера mхn называется прямоугольнаятаблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными)буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицыиспользуются строчные буквы с двойнойиндексацией: aij, где i – номерстроки, j – номер столбца:
/>,i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n
Матрица называется квадратной n – го порядка,если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Элементы матрицы aij, у которыхномер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуютглавную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуютэлементы a11, a22, …, ann, а a1n, a2n-1,…, an1 – элементы дополнительной диагонали.
Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица(вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.
Над матрицами, как и над числами, можнопроизводить ряд операций.
а) Умножение матрицы на число. Произведениемматрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij=λaijдля i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
В частности, произведение матрицы А на число 0есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.
б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и Водинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой
С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij),i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
(т.е. матрицы складываются поэлементно).
В частном случае А+0=А.
в) Умножение матриц. Умножение матрицы А наматрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строквторой. Тогда произведением матриц /> называется такая матрица />,каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-йстроки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:
/>
Примечание. A*B≠B*A.
Транспонирование матрицы – переход от матрицы Ак матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранениемпорядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:
/>,/>
В литературе встречаются и другие обозначениятранспонированной матрицы, например, Ат.
Возведение в степень. Целой положительнойстепенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение mматриц, равных А, т.е.
/>Аm=A*A*…*A (m>1)
m раз
Заметим, что операция возведения в степеньопределяется только для квадратных матриц.
По определению полагают А0= Е, А1= А.
Следом trА квадратной матрицы А называетсясумма ее диагональных элементов:
/>
Матрица А-1, обратная к квадратнойматрице А, – такая матрица, что
А-1*А=А* А-1=Е (Е –единичная матрица).
/>
Определители
Необходимость введения определителя – числа,характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением системлинейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.
Определителем матрицы первого порядка А=(а11),или определителем первого порядка, называется элемент а11: Δ =|А|=а11. Например, пусть А= (3), тогда Δ1 = |А|=3.
Определитель матрицы второго порядка вычисляетсяпо формуле:
/>
Определитель матрицы третьего порядка вычисляетсяпо правилом треугольника или правилом Сарруса:
/>
Минором Mij элемента aijматрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка,полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aijматрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j:
Aij=(-1)i+jMij,i, j=1, 2, 3
т.е. алгебраическое дополнение совпадает сминором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, иотличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.
Теорема Лапласа. Определитель квадратнойматрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на ихалгебраические дополнения:
/>
Примечание. Определитель треугольной (идиагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицысостоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
2. Если все элементы какой-либо строки(столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на эточисло λ.
3. При транспонировании матрицы ее определительне изменяется: |А'|=|А|.
4. При перестановке двух строк (столбцов)матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит двеодинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицыпропорциональны, то ее определитель равен 0.
7. Сумма произведений элементов какой-либостроки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки(столбца) этой матрицы равна 0, т.е.
/>,при i¹j
8. Определитель матрицы не изменится, если кэлементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки(столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма произведений произвольных чисел b1,b2, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементовэтой строки (столбца) на числа b1, b2, …, bn.
10. Определитель произведения двух квадратныхматриц равен произведению их определителей:
|С| = |А|*|В|, где C=А*В; А и В-матрицы n – гопорядка.
Ранг матрицы
Для решения и исследования ряда математическихи прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
Определение. РангомматрицыА называется наивысший порядок отличных от нуля миноровэтой матрицы.
Ранг матрицы Аобозначается rang Аилиr(А).
Свойства ранга матрицы:
10. Ранг матрицы Аmxn непревосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang A≤min (m; n);
20. г(А)= 0 тогда и только тогда, когда все элементыматрицы равны нулю, т.е. А=0;
30. Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда итолько тогда, когда матрица А – невырожденная.
Назовем элементарнымипреобразованиями матрицы следующие:
1) Отбрасываниенулевой строки (столбца).
2) Умножениевсех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
3) Изменениепорядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавлениек каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другойстроки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонированиематрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованияхматрицы.