Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC,где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1. Длину стороны АВ;
2. Внутреннийугол А с точностью до градуса;
3. Уравнениеи длину высоты, опущенной из вершины С;
4. Точку пересечения высот;
5. Уравнениемедианы, опущенной из вершины С;
6. Системунеравенств, определяющих треугольник АВС;
7. Сделать чертеж;
Решение:
1. Найдем координаты вектора АВ:
/>
Длина стороны АВ равна:
/>
2. УголА будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
/>
Тогда />
3. ПрямаяСК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор />.
По формуле получим уравнениевысоты:
/>
Сокращаем на 3 получим уравнениевысоты:
/>
4. Координаты основания медианы будут:
/>;/>
Уравнение медианы найдем, пользуясьданной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
/>
/>
Так как знаменатель левой частиравен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5. Известночто высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СКнайдено, выведем аналогично высоту BDпроходящую через точку В перпендикулярно вектору />
/>
Координаты точки Р найдем какрешение системы уравнений:
/>
х=11 у=23
6. Длинувысоты hc будем ее искать какрасстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеетнаправляющий вектор />.
/>
/>
Теперь воспользовавшисьформулой
/>
Подставляя в нее координаты точкиС(0,3)
/>
Задание 2
Даны векторы />Доказать, что />образуют базисчетырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.
/>
Решение:
1. Докажем,что подсистема />линейнонезависима:
/>
/>
Из четвертого уравнения имеем, что/>, тогда изпервого, второго и третьего следует, что />.Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы />можно представить в виделинейных комбинации векторов />.
Очевидно,
/>
Найдем представление /> через />.
/>
/>
Из четвертого уравнения находим />и подставляем в первые три
/>
Получили, что данная системавекторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
/>
/>
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
/>
1. Область определения:
/>,то есть />
2. Кривая/> имеет вертикальнуюассимптоту х=-1, так как
/>
Находим наклонные асимптоты. />а то означает, что естьвертикальная асимптота у=0.
3. Функцияобщего вида, так как /> и />
4. Функцияпериодичностью не обладает
5. Находимпроизводную функции
/>
Получаем 3 критические точки х=-1х=1, и х=5.
Результаты исследования намонотонность и экстремумы оформляется в виде таблицых
/>
/> 1
/> 5
/> y’ - - + - y убывает убывыает
min возрастает 0,074 убывает
6. Находимвторую производную функции
/>
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точкиперегиба оформляем в виде таблицы.х
/>
/> 0.22
/> 6.11
/> y” - + + - y выпукла вогнута
0,335
перегиб вогнута 0,072 выпукла
7. Находимточки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
/> получаемточку (0;1); />получаемточку (1;0)
8. Прих=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строимграфик в соответствии с результатами исследований:
/>
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить ихдифференцированием.
а) />; б) />; в) />; г) />
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t,тогда dt=cos3xdx, следовательно:
/>
Проверка:
/>
б) сделаем подстановку />
/>
Проверка:
/>
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
/>
Проверка:
/>
г) воспользуемсяспособом интегрирования рациональных дробей
/>
/>
Проверка:
/>
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графикамифункций:
/>
Решение:
находим координаты точек пересечения заданныхграфиков функций:
/>приравнивая правые части, получаем квадратноеуравнение
/>корниэтого квадратного уравнения />
следовательно: />,и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находитсямежду точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: />
т.к/> получаем:
/>