ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрическийряд Фурье
Исходныеданные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с периодом Функция имеет на промежутке конечное число точекразрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится кзначению самой функции, а в точках разрыва к величине
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кромеконечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяетусловию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) — кусочно-непрерывна на интервале
2) F(x) — кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительноOY, а также центральная симметрия — то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном принимает значенияравные 0, и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтомуформулу для можно записать в виде:
(так как
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
Подставим найденные коэффициенты в получим:
ивообще
Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:
1-аягармоника
2-аягармоника
3-аягармоника
4-аягармоника
5-аягармоника
иобщий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученногоряда
Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. теорию)
нопри не существует,поэтому рассмотрим случай когда n=+1:
см. разложение выше)
ислучай когда n=-1:
(т.к.
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение четной функции в ряд
Даннуювыше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2
Рис.2
поэтомуразложение по косинусу имеет вид:
Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельнорассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
Наоснове данного разложения запишем функцию в виде ряда:
ивообще
Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:
1-аягармоника
2-аягармоника
3-ягармоника
4-аягармоника
5-аягармоника
А теперь рассмотрим сумму этих гармоникF(x):
Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. гл.1)
нопри не существует, поэтомурассмотрим случай когда n=+2 :
см. разложение выше)
ислучай когда n=-2:
( т.к.
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с даннойфункцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3
Рис.3
поэтомуразложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно неучесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
ипри n=2:
Учитывая данные коэффициенты имеемразложения в виде
ивообще
Найдем первые пять гармоник для данногоразложения:
1-аягармоника
2-аягармоника
3-аягармоника
4-аягармоника
5-аягармоника
И просуммировав выше перечисленныегармоники получим график функции F(x)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции втригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложениепо синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима втригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммыпервых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстреек заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
, (т.к.
тогдакомплексный ряд имеет вид:
ГЛАВА 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2)доопределим на всей прямой от до как равнуюнулю(рис.4).
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на — кусочнo-монотонна.
f(x) = const на и
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1)найдем a(u) и b(u):
И в конечном варианте интеграл Фурье будетвыглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье вкомплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
атеперь получим интеграл в комплексной форме:
ГЛАВА 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированнойсистеме пространства X=[-1,1], причем полиномы получим, если проинтегрируемвыражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5,… :
......... .
Для представления функции полиномомЛежандра необходимо разложить ее в ряд:
где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см.рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвестизамену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
итогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы длякоэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено,поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за однопроверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммыполинома прибавляя поочередно
А теперь рассмотрим график суммы пятиполиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5
т.к.очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можнозаключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданнойфункции достигается при разложении функции в ряд.
ГЛАВА 5
ДИСКРЕТНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямоепреобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение:
Внашем случае k-ыхточках будет:
длянашего случая a=0).
Составим табличную функцию:
k
1
2
3
4
5
6
7
0.785
1.571
2.356
3.142
3.927
4.712
5.498
0.707
1
0.707
Табл. 1
Прямымдискретным преобразованием Фурье вектора
n=0,1,...,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к.очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицыравны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретномупреобразованию:
зная,
n
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
2,4
2
1
0.4
1
2
0.318
0.25
0.106
0.021
0.009
Табл. 2
Амплитудныйспектр
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование-есть функция :
Внашем случаи это:
А теперь найдем модули и составим таблицу пообратным дискретным преобразованиям:
k
1
2
3
4
5
6
7
0.785
1.571
2.356
3.142
3.927
4.712
5.498
0.707
1
0.707
0.708
1
0.707
8e-4
5e-5
5e-4
3e-4
Табл. 3
Изприведенной таблицы видно, что приближенно равно
Построим графики используя табл.3, где F(k), а f(k) рис. 6 :
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можнозаключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического рядаФурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразованийФурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратногопреобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведеныправильно.
ГЛАВА 1
РЯДЫИ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕОсновныесведения
Функцияf(x), определенная на всей числовой осиназывается периодической, еслисуществует такое число хвыполняется равенство Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функцийпериода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) период Т, то функция f(ax)имеет период
3) Если f(x) — периодическая функция периода Т, то равны любые дваинтеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a иb справедливо равенство Тригонометрическийряд. Ряд Фурье
Еслиf(x)разлагается на отрезке в равномерносходящийся тригонометрический ряд: (1)
, тоэто разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2,.. .
Тригонометрическийряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами рядаФурье.Достаточныепризнаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкойразрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этойфункции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1(Дирихле). Если периодическая спериодом функция непрерывна илиимеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [f(x) монотонна, то ряд Фурье относительнофункции сходится к f(x) в точках непрерывности и ксреднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функцияудовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА2. Если f(x) периодическаяфункция с периодом , которая на отрезке [ f(x) в точках разрыва ксреднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этойтеореме называется кусочно-гладкой).РядыФурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) — четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) =f(x) .
Тогдадля коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2,.. .
Такимобразом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурьедля четной функции с периодом 2Lвыглядит так:
Пусть теперь f(x) — нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x)= — f(x).
Тогда для коэффициентов ее рядаФурье находим формулы:
, где n=1,2,.. .
Такимобразом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены скосинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x)разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то
, где
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L),получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции,заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределитьна [b,a+2L] и периодическипродолжить, либо доопределить на [b-2L,a]и периодически продолжить.РядФурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке[a,b], называется ортогональнойсистемой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательностипопарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной инормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие