Локальные формации с метаабелевыми группами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
«Локальные формации с метаабелевыми группами»
ГОМЕЛЬ 2006

Содержание
Введение
1 Формация. Произведение формаций
2 Операции на классах групп
3 Экраны
3.1 Экраны формации
3.2 Формация с однородным экраном
4 Локальная формация
5 Построение локальных формаций
6 Локальные формации с заданными свойствами
Заключение
Литература

Введение
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп иподпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей потеории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитиетеории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся кразличным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формацияразрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных исверхразрешимых групп.
В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операциина классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации иэкраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп снильпотентным компонентом.

Формация. Произведение формаций
Определение 1.1 Классом групп называют всякое множествогрупп, содержащее вместе с каждой своей группой /> ивсе группы, изоморфные />.
Если группа (подгруппа) принадлежат классу />, то она называется />-группой (/>-подгруппой).
Определение 1.2. Класс групп /> называетсяформацией, если выполняются следующие условия:
1) каждая фактор-группа любой группы из /> также принадлежит />;
2) из /> всегда следует />.
Если формации /> и /> таковы, что />, то /> называется подформациейформации />.
По определению, пустое множество является формацией (пустаяформация). Множество /> всех группявляется, конечно, формацией. Единичная формация /> – это непустой классгрупп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс /> всех />-групп, класс /> всех абелевых групп, класс/> всех нильпотентных групп,класс /> всех />-групп (/> – фиксированное простоечисло), класс /> всехнильпотентных />-групп, класс /> всех разрешимых групп,класс /> всех разрешимых />-групп. Мы привели покалишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.
Лемма 1.1.Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого множества формаций также является формацией;
2) если /> – некотороемножество формаций, линейно упорядоченное относительно включения />, то объединение /> является формацией.
Доказательство осуществляется проверкой.
Определение 1.3. Пусть /> –непустая формация. Обозначим через /> иназавем />-корадикалом группы /> пересечение всех технормальных подгрупп /> из />, для которых />.
Очевидно, />-корадикал любойгруппы является характеристической подгруппой. />-корадикалгруппы /> обозначают иначе через /> и называют />-корадикалом. />-корадикал будем называть нильпотентнымрадикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, />-разрешимый корадикал, /> — сверхразрешимый корадикали т.д. />-корадикал (или абелевкорадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, />-корадикал сохраняется пригомоморфизмах.
Лемма 1.2. Пусть /> –непустая формация, />. Тогдасправедливы следующие утверждения:
1) />
2) если /> то />
3) если /> и />, то />
Доказательство. Пусть />. Тогда
/>
Отсюда следует, что />. Сдругой стороны,
/>
откуда получаем />. Из /> и /> следует равенство />. Утверждение 1) доказано.
Пусть /> – естественныйгомоморфизм группы /> на /> Очевидно,

/>
откуда следует равенство />.В частности, если />, то />. Лемма доказана.
Определение 1.4. Пусть /> и /> – некоторые формации. Если/>, то положим /> Если />, то обозначим через /> класс всех тех групп />, для которых /> Класс /> называется произведениемформаций /> и />.
Из определения 1.4 следует, что произведение формаций /> является пустой формациейтогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций /> является пустой. Можноопределить произведение нескольких формаций как результат последовательногоумножения. Если задан упорядоченный набор формаций /> причемпроизведение /> уже определено, то /> В частности, если /> для любого /> то мы приходим к понятиюстепени />
Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зренияпостроения формаций.
Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также являетсяформацией.
Лемма 1.3.Пусть /> и /> – нормальные подгруппыгруппы />. Тогда каждый главныйфактор группы /> />-изоморфен либо некоторомуглавному фактору группы />, либонекоторому главному фактору группы />
Доказательство вытекает из рассмотрения />-изоморфизма />
Теорема 1.2. Пусть /> –некоторая формация, /> – класс всех техгрупп, все главные факторы которых принадлежат /> Пусть/> – объединение формаций /> Тогда /> – подформация формации />
Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что /> – формация. Из теоремы 1.1и леммы 1.1 вытекает, что класс /> являетсяформацией. Если /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />, то поиндукции /> для некоторогонатурального />. Но тогда либо />, либо /> – />-корадикал группы />. Так как />, то отсюда вытекает, что />, и теорема доказана.
 
Операции на классах групп
Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп всебя называется операцией на классах групп.
Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большимилатинскими буквами. Результат операции />,примененной к классу /> обозначаетсячерез /> Степень операции /> определяется так: /> Произведение операцийопределяется равенствами:
/>
Введем операции /> следующимобразом:
/> тогдаи только тогда, когда /> вкладывается вкачестве подгруппы в некоторую />-группу;
/> тогдаи только тогда, когда /> вкладывается вкачестве нормальной подгруппы в некоторую />-группу;
/> тогдаи только тогда, когда /> являетсягомоморфным образом некоторой />-группы;
/> тогдаи только тогда, когда /> совподает спроизведением некоторого конечного числа своих нормальных />-подгрупп;
/> тогдаи только тогда, когда /> имеет нормальныеподгруппы /> такие, что

/>
/> тогдаи только тогда, когда /> являетсярасширением />-группы с помощью />-группы;
/> тогдаи только тогда, когда /> имеет нормальнуюподгруппу /> такую, что />
Если />, то вместо /> пишут /> Обратим внимание на тотфакт, что если /> – нормальныеподгруппы группы />, причем /> для любого />, то /> Заметим еще, что операцию /> можно определить с помощьюпонятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), чтоподгруппа /> прямого произведения /> называется подпрямымпроизведением групп /> еслипроекция /> на /> совпадает с /> Легко видеть, что /> тогда и только тогда,когда /> есть подпрямоепроизведение некоторого конечного числа />-групп.
Определение 2.2. Класс /> называетсязамкнутым относительно операции /> или,более коротко, />-замкнутым,если />
Формацию можно определить теперь как класс групп, которыйодновременно />-замкнут и />-замкнут. />-замкнутый класс согласноГашюцу [3] называется насыщенным. />-замкнутыйкласс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутымотносительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он />-замкнут (соответственно />-замкнут).
Лемма 2.1./>. Есликласс групп /> содержит единичную группуи />-замкнут, то />
Доказательство. Относительно операций /> и/> утверждение очевидно.Пусть /> – произвольный классгрупп. Ясно, что /> Если />, то в /> найдется нормальнаяподгруппа /> такая, что />. Группа /> имеет нормальную подгруппу/> такую, что /> и /> Но тогда /> Так как />, то />, а значит, /> Таким образом, />, что и требуется.
Пусть />. Если />, то /> имеет нормальную />-подгруппу /> такую, что /> Группа /> имеет нормальную />-подгруппу /> такую, что />. Так как /> и />, то из />-замкнутости класса /> следует, что />. Значит, />, т.е. />. Обратное включениеочевидно.
Лемма 2.2.Для любого класса /> справедливоследующее утверждение: />
Доказательство. Если />, то /> Пусть /> Если />, то />, а значит, />. Таким образом, />. Пусть />. Тогда /> имеет такие нормальныеподгруппы />, что /> Группа /> имеет такие нормальныеподгруппы />, что /> Так как />, то />, что и доказываетравенство />
Лемма 2.3.Для любого класса /> имеетместо включение />
Доказательство. Если />, то />. Пусть /> и группа /> является подпрямымпроизведением групп />, где />. Рассмотрим функцию /> />. Функция /> является гомоморфизмомгруппы /> в группу />. Ясно, что
/>
есть подпрямое произведение групп />,причем />. Следовательно, />, и лемма доказана.
Лемма 2.4. />
В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, внекотором смысле двойственное определению формации.
Определение 2.3. Класс групп /> называетсяклассом Фиттинга, если он одновременно />-замкнути />-замкнут.
Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальнымклассом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа)формацию можно было бы назвать корадикальным классом.
Определение 2.4. Пусть /> непустой/>-замкнутый класс,содержащий 1. Обозначим через /> иназовем />-радикалом группы /> произведение всех еенормальных />-подгрупп.
Классы /> являютсярадикальными. />-радикал группы /> – это ее подгруппаФиттинга /> />-радикал обозначают иначечерез /> и называют />-радикалом. />-радикал называют разрешимымрадикалом; понятны также термины />-нильпотентныйрадикал, />-замкнутый радикал ит.д. Класс всех />-нильпотентныхгрупп является одновременно радикальным и корадикальным; /> – это />-нильпотентный радикалгруппы />.
В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно техили иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е.формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся кзадаче построение формаций с помощью операций />
Теорема 2.1.Пусть /> и /> – формации, причем либо />, либо /> замкнута относительнонормальных подгрупп. Тогда /> –формация, совпадающая с произведением />
Определение 2.5. Пусть /> –некоторое множество групп. Пусть /> –пересечение всех тех формаций, которые содержат /> класс/> называется формацией,порожденной множеством групп />
Заметим, что операцию /> частообозначают иначе через /> Если /> то пишут /> вместо />, причем в этом случае /> называют формацией,порожденной группой />.
Теорема 2.2.Для любого класса /> имеетместо равенство: />
Доказательство. Если />, то />, и утверждение верно.Пусть />. Так как />, то класс /> является />-замкнутым. /> есть класс и /> по лемме 2.2. Используяэто и леммы 2.3 и 2.4, получаем
/>
Последнее означает />-замкнутостькласса />. Итак, /> – формация, содержащая />, так как />. Значит, />. Обратное включениеочевидно.
Лемма 2.5. Для любых элементов /> группы/> выполняются равенства /> Если /> – подгруппы группы />, то выполняются следующиеутверждения:
1) />
2) /> для любогогомоморфизма /> группы />; в частности, если группа /> из /> нормализует /> и />, то /> нормализует и />
Лемма 2.6 Пусть /> –подгруппа нильпотентной группы />, причем/>. Тогда />
Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточноустановить, что при любом натуральном /> выполняетсявключение:
/>

При /> это верно, таккак />, а значит, />. Предположим, чтовключение (*) справедливо при некотором />.Тогда, используя лемму 2.5, получаем
/>
/>
/>
Тем самым (*) доказано.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]).Если /> – такая подгруппа группы />, что />, то />
Доказательство. Пусть /> –нильпотентная нормальная подгруппа группы />,а /> – такая подгруппа из />, что />. Докажем индукцией по />, что />. Это верно, если />. Поэтому будем считать,что />. Рассмотрим следующиеподгруппы прямого произведения />
/>
Очевидно, подгруппа /> нормализует/> и />. Обозначим через /> подгруппу группы />, порожденную подгруппами />. Поскольку проекции /> на множители прямогопроизведения /> равны />, то />. Заметим еще, что />, где /> нормальна в /> и нильпотентна какподпрямое произведение из />.
Пусть /> – центрподгруппы />, />. Легко видеть, что />, причем /> и /> поэлементноперестановочны; аналогично, /> и /> поэлементноперестановочны. Но тогда />,абелева и нормальна в />. Если />, то />, где />, и если />, то />, что влечет />. Следовательно, />. Если /> абелева, то />, и мы имеем

/>
Предположим теперь, что />. Ясно,что />. Так как
/>
то /> нильпотентнаступени />. Так как />, то /> изоморфна /> и имеет ступень />, а потому согласно лемме2.6 ее нормальное замыкание /> в /> имеет ступень />. Так как /> нормализует /> и />, то /> нормальна в />. Итак, />, причем />. По индукции
/>
Для группы /> и еенильпотентной нормальной подгруппы /> ступени/> теорема также верна поиндукции. Поэтому
/>
Теорема доказана.
Теорема 2.4. (Нейман [1])Формация, порожденная разрешимойгруппой, содержит лишь конечное число подформаций.
Доказательство. Пусть /> –подформация формации />. Если />, то по теореме 2.3 имеетместо />, что и требуется.

Экраны
Недостатком понятия групповой функции /> являетсято, что не всегда уплотнение />-центральногоряда нормальными подгруппами является />-центральнымрядом.
Определение 3.1. Отображение /> класса/> всех групп в множествоклассов групп назовем экраном, если для любой группы /> выполняются следующиеусловия:
1) /> – формация;
2) /> для любогогомоморфизма /> группы />;
3) />.
Из условия 2) вытекает, что экран /> принимаетодинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией всмысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если /> –экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может бытьуплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральнымирядами, совподает с формацией />.
Лемма 3.1. Пусть /> –экран, /> – группа операторов группы/>, /> – некоторая нормальная />-допустимая подгруппа из />. Если /> обладает нормальным />-допустимым рядом, факторыкоторого />-центральны относительно />, то один из таких рядовпроходит через />.
Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:
/>
Пусть />. Тогда ряд
/>

будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определениеэкрана и />-изоморфизмы:
/>
Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого непустого множества экранов также являетсяэкраном;
2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустоемножество экранов /> является цепью, т.е.линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности />, введенным в определении3.5). Тогда для любой группы /> множествоформаций /> линейно упорядоченоотносительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение /> является формацией. Темсамым лемма доказана.
Определение 3.2. Экран /> назовем:
1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы /> и ее силовской p – подгруппы/> имеет место />;
2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;
3) локальным, если он является локальной групповойфункцией;
4) композиционным, если для любой группы /> имеет место />, где /> пробегает всекрмпозиционные факторы группы />
5) пустым, если /> длялюбой неединичной группы />;
6) />-экраном,если /> для любой группы />.
/>-экранпри /> будем называть единичнымэкраном.
Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, акаждый композиционный экран является примарно постоянным.
Пример 3.1. Пусть /> и /> – непустые формации,причем />, а групповая функция /> такова, что /> для каждой нееденичнойпримарной группы /> и /> для любой непримарнойгруппы />. Тогда /> – однородный экран, неявляющийся ни локальным, ни композиционным.
Пример 3.2. Пусть /> –непустая формация, а групповая функция /> такова,что для любой нееденичной группы /> выполняютсяусловия:
1) />, если /> не имеет абелевыхкомпозиционных факторов;
2) />, если /> имеет хотя бы один абелевкомпозиционный фактор.
Тогда /> – композиционныйэкран, не являющийся однородным.
Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своимизначениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран />, достаточно каждомупростому числу /> поставить всоответствие некоторую формацию />, азатем для любой группы /> положить />, где /> пробегает />.
Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран />, нужно каждой простойгруппе /> поставить в соответствиенекоторую формацию />, а затем длялюбой группы /> положить />, где /> пробегает всекомпозиционные факторы группы />.
Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечениелюбого непустого множества однородных экранов снова является однороднымэкраном;
2) пересечение любого непустого множества локальных экранов сноваявляется локальным экраном;
3) пересечение любого непустого множества композиционных экрановснова является композиционным экраном.
Доказательство. Пусть экран /> являетсяпересечением множества экранов />.Предположим, что все экраны /> являютсялокальными, т.е. для любых /> и /> имеет место равенство:
/>

где /> пробегает всепримарные подгруппы группы />. Тогда
/>
а значит, /> – локальныйэкран.
Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянныхэкранов является примарно постоянным экраном.
Доказательство. Пусть /> –некоторая цепь экранов, /> – ееобъединение, />. По лемме 3.3 функция /> является экраном, причемясно, что примарная постоянность /> влечетпримарную постоянность экрана />.Предположим, что все /> являютсяоднородными экранами. Тогда, если /> – любаягруппа и />, то />. Следовательно,
/>
что и доказывает однородность экрана />.
Экраны формаций
Каждой групповой функции /> соответствуетформация />.
Лемма 3.5. /> являетсянепустой формацией для любой групповой функции />.
Определение 3.3. Пусть /> –некоторая формация. Если /> – такойэкран, что />, то формация /> называется ступенчатойформацией, причем в этом случае будем говорить, что
/> –экран формации />,
/> имеетэкран />,
экран /> определяетформацию />,
/> определяетсяэкраном />.
Формация /> имеет единичныйэкран. Единичная формация /> имеетпустой экран.
Определение 3.4. Экран /> назовемвнутреним, если /> – внутреняягрупповая функция, т.е. /> длялюбой неединичной группы />.
Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мереодин внутрений экран.
Доказательство. Пусть /> – экранформации />. Определим функцию /> следующим образом: /> для любой группы />. Легко видеть, что /> – экран, причем />. Если /> и /> – главный фактор группы />, то />. Так как класс /> />-замкнут, то />, а значит, /> />-централен в />. Таким образом, />. Итак, />, т.е. /> – искомый внутреннийэкран.
Лемма 3.7. Пусть /> – экранформации />. Тогда /> является экраном формации />.
Доказательство. Пусть /> –произвольный главный фактор группы />. Пусть />. Так как />, то />. Значит, />, т.е. /> />-централен в />. Отсюда следует, что />.
Обратно, если />, то главныйряд группы /> будет />-центральным для любого />, т.е. />. Итак, />.
Лемма 3.8. Пересечение /> любогонепустого множества /> экранов формации/> снова является экраномформации />. Кроме того, если в /> имеется хотя бы одинвнутрений экран, то /> – внутренийэкран.
Доказательство. То, что /> – экранформации />, непосредственно следуетиз леммы 3.7. Пусть в /> имеетсявнутренний экран />. Тогда /> для любой группы />. Значит, /> – внутренний экран.

Формация с однородным экраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайнеймере один однородный экран, является локальной формацией.
Доказательство. Пусть формация /> имеетоднородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация /> имеетвнутренний однородный экран />.Построим локальный экран />,удовлетворяющий следующему условию: /> длялюбого простого />. Тогда /> и, следовательно, />. Предположим, что формация/> обладает группами, невходящими в />, и выберем среди всехтаких групп группу />, имеющуюнаименьший порядок. Тогда /> являетсяединственной минимальной нормальной подгруппой группы />. Так как />, то для любого /> имеет место
/>
Если /> неабелева, то /> и />. Если же /> – />-группа, то получается, что/> />-центральна в />. А это противоречит тому,что />. Теорема доказана.
Локальная формация
Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторыенеединичные примарные группы.
Определение 4.1. Формация /> называетсялокальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.
Определение 4.2. Пусть /> –внутренний локальный экран формации />,являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экрановформации />. Тогда /> называется максимальнымвнутренним локальным экраном формации />.
Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация/> имеет единственныймаксимальный внутренний локальный экран />,причем /> удовлетворяет следующемуусловию: /> для любого простого числаp.
Определение 4.3. Пусть /> –локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экрановформации /> назавем минимальнымлокальным экраном формации />.
Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальныйлокальный экран, который является к тому же внутренним экраном.
Доказательство. Пусть /> –множество всех локальных экранов формации />,причем />. Обозначим через /> пересечение множестваэкранов />. В множестве /> имеется внутренний экран,поэтому /> – внутренний экранформации />. По лемме 3.4 экран /> является локальным. Ввидулеммы 3.8 /> – искомый экран.
Построение локальных формаций
1. Формация всех групп. Формация /> обладаетлокальным экраном /> таким, что /> для любого простого />.
2. Формация единичных групп. Формация /> имеетпустой экран, который, очевидно, локален.
3. Формация нильпотентных />-групп.Пусть /> – формация всехнильпотентных />-групп, /> – такой локальный экран,что /> для любого /> для любого />. Очевидно, /> – минимальный локальныйэкран формации />.
4. Формация />-групп.Пусть /> – формация всех />-групп, /> – такой локальный экран,что /> для любого /> для любого />. Очевидно, /> – макcимальный внутренийлокальный экран формации />.
5. Формация />-нильпотентныхгрупп. Пусть /> – формация всех />-нильпотентных групп (/> – фиксированное простоечисло), /> – такой локальный экран,что /> для любого простого числа />, отличного от />. Покажем, что /> – экран формации />. Главный ряд />-нильпотентной группы />-централен. Пусть />. Нужно установить, что /> />-нильпотентна. Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. По индукции /> />-нильпотентна. Если /> – />-группа, то отсюда следует,что и /> />-нильпотентна. Если же />-группа, то />, т.е. />. Если теперь /> – />-подгруппа из />, то ввиду /> подгруппа /> />-нильпотентна, а значит, и /> />-нильпотентна. Тем самымпоказано, что />.
Теорема 5.1. В любой />-группе /> подгруппа /> совпадает с пересечениемцентрализаторов в /> всех главных />-факторов группы />.
Следствие 5.1.1. В любой группе /> подгруппаФиттинга /> совпадает с пересечениемцентрализаторов в /> всех главныхфакторов группы />.
Следствие 5.1.2. Для любой />-разрешимойгруппы /> имеет место включение />.
Следствие 5.1.3. (Фиттинг). /> длялюбой разрешимой группы />.
Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант />-сверхразрешимой группы />-нильпотентен.
6. Формация />-замкнутыхгрупп. Пусть /> – формация всех />-замкнутых групп (/> – некоторое фиксированноемножество простых чисел), /> – такойлокальный экран, что /> для любого /> для любого />. Покажем, что /> – экран формации />.
Очевидно, />. Предположим,что класс /> не пуст, и выберем в немгруппу /> наименьшего порядка. Тогда/> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу />, причем/> не является />-группой. Пусть />. Так как />, то />, а значит, />. Поэтому /> – абелева />-группа. Так как /> />-замкнута, то и /> />-замкнута, т.е. /> имеет нормальную />-подгруппу />. Ясно, что />. Так как />, то />. Легко видеть, что />, а значит, и группа /> />-замкнута. Тем самымпоказано, что />.
7. Формация />-дисперсивных групп. Пусть /> – некоторое линейноеупорядочение множества всех простых чисел, /> –формация всех />-дисперсивныхгрупп. Покажем, что /> локальна.
Рассмотрим всевозможные множества /> простыхчисел, обладающие следующим свойством: /> длявсех />. Пусть /> – формация всех />-замкнутых групп. Очевидно,/>. Так как формации /> локальны, то по лемме 3.4формация /> также является локальной.
8. Формация />-разрешимыхгрупп. Пусть /> – формация всех />-разрешимых групп, /> – такой локальный экран,что /> для любого простого />. Нетрудно заметить, что /> – максимальный внутренийлокальный экран формации />. Вчастности, формация /> являетсялокальной.
9. Формация />-сверхразрешимыхгрупп. Пусть /> – формация всех />-сверхразрешимых групп.Обозначим через /> формацию всехабелевых групп экспоненты, делящей />.Построим локальный экран /> такой,что /> для любого /> для любого />. Покажем, что />. Ясно, что />. Пусть />, /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. По индукции />. Если /> – />-группа, то /> />-сверхразрешима. Пустьпорядок /> делится на некотороечисло />. Тогда, если />, то
/>

Отсюда следует, что /> – />-группа.
Лемма5.1. Пусть /> –некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов />-группы/> и />. Тогда /> – циклическая группапорядка, делящего />. Кроме того, /> – наименьшее натуральноечисло, удовлетворяющее сравнению />.
Доказательство. Будем считать, что /> –аддитивная абелева группа. Тогда /> можнорассматривать как правое векторное пространство размерности /> над полем /> из /> элементов. Пусть /> – коммутативное подкольцокольца />, порожденное элементами /> и />. Ввиду условия /> является неприводимымправым />-модулем (определения,связанные с />-модулями, см. у Кэртиса иРайнера [1]). По лемме Шура, /> – тело.Так как /> коммутативно, то />. Легко видеть, чтомножество всех ненулевых элементов из /> замкнутоотносительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому /> – поле. Так как />-модуль /> неприводим, то /> для любого ненулевого />; но тогда отображение />, является />-гомоморфизмом />-модуля /> на />. Так как ядро /> есть идеал поля />, то /> – изоморфизм.Следовательно, />. Известно, чтомультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому /> циклическая и /> делит />.
Пусть /> – наименьшеенатуральное число, удовлетворяющее сравнению />.Тогда /> делит />. Хорошо известно, что поле/> порядка /> содержит подполе /> порядка />. Так как циклическаягруппа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и /> делит />, то />. Но тогда /> и />. Лемма доказана.
10. Формация />. Пусть /> – непустая формация, /> – такой локальный экран,что /> для любого простого />. Применяя следствие 7.1.1можно увидеть, что /> – экран формации/>. В частности, формации /> и /> являются локальнымиформациями.
Пусть /> – локальныйэкран некоторой подформации /> из />. Применяя леммы 3.3 и 4.3,видим, что /> является локальным />-экраном формации />. Таким образом, каждаялокальная подформация формации /> имеетвнутренний локальный />-экран. Вчастности, любая локальная подформация формации /> имеетвнутренний локальный />-экран.
Локальные формации с заданными свойствами
Пусть /> – некотораяоперация, /> – локальный экран формации/>. Естественно возникают двавопроса:
1) Будет ли /> />-замкнутой, если /> />-замкнута для любогопростого />?
2) Будет ли /> />-замкнутой для любогопростого />, если /> />-замкнута?
Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретныхслучаях.
Теорема Слепова 1 Пусть /> – некоторыйкласс групп, /> – максимальный внутреннийлокальный экран формации />, /> – фиксированное простоечисло. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если />, то />;
2) если />, то />.
Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно.Пусть /> – одна из операций />, />. Предположим, что />. Пусть /> – (нормальная) подгруппагруппы /> и />. Рассмотрим регулярноесплетение />, где />, /> – элементарная абелева />-группа. По лемме 3.11 Ошибка!/>. Так как />, то />. Рассмотрим главный рядгруппы />:

/>
Пусть />. Так как /> и />, то
/>
для любого />.Следовательно, />, где />. По свойству регулярногосплетения />. Следовательно, />, и по лемме 3.10 (Ошибка!)подгруппа /> является />-группой. Так как /> и формация /> является по теореме 3.3 Ошибка!/>-замкнутой, то мы получаем,что />. Теорема доказана.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть /> – максимальныйвнутренний локальный экран формации />.Формация /> />-замкнута (/>-замкнута) тогда и толькотогда, когда для любого простого /> формация/> />-замкнута (соответственно />-замкнута).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что /> />-замкнута (/>-замкнута). Полагая /> и применяя теорему 1,мы получаем, что /> />-замкнута (/>-замкнута) для любогопростого />.
Достаточность. Пусть для любого простого /> формация /> является />-замкнутой (/>-замкнутой). Пусть /> – подгруппа (нормальнаяподгруппа) неединичной группы />.Покажем, что />. Так как />, то /> обладает />-центральным главным рядом
/>
Пусть />. Так как

/>
то />, где />. Пусть />. По условию /> и />. Отсюда, ввиду />, вытекает, что />. Тем самым установлено,что ряд
/>
является />-центральнымрядом группы />. Теорема доказана.
Для любого натурального числа /> />-замкнутый класс /> содержит, по определению,каждую группу />, представимую ввиде произведения /> нормальных />-подгрупп. Ослабляя этотребование, мы приходим к следующему определению.
Определение. Класс групп /> назовемслабо />-замкнутым, />, если /> содержит всякую группу />, имеющую /> нормальных />-подгрупп с попарно взаимнопростыми индексами.
Легко заметить, что если /> и/> – подгруппы группы /> причем /> и /> взаимно просты, то />.
Теорема Слепова 3 Пусть /> – локальныйэкран формации /> и пусть длянекоторого натурального числа /> выполняетсяследующее условие: для любого простого /> формация/> либо совпадает с />, либо входит в /> и является слабо />-замкнутой. Тогда /> слабо />-замкнута.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуютгруппы, не входящие в />, но имеющие /> нормальных />-подгрупп с попарно взаимнопростыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу /> наименьшего порядка. Такимобразом, /> не принадлежит />, но имеет нормальные />-подгруппы /> с попарно взаимно простымииндексами. Ясно, что все подгруппы /> неединичны.
Пусть /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />. В /> подгруппы /> имеют попарно взаимнопростые индексы и принадлежат />. Таккак для /> теорема верна, то />. Ясно, что /> – единственная минимальнаянормальная подгруппа группы />, причем/> и /> для любого />. Ввиду теоремы 4.3 />. Так как />, то найдется такое />, что />. Рассмотрим />, где /> пробегает все />-главные факторы группы />. Так как />, то />, />. Возможны два случая.
Случай 1. Пусть />. Тогда /> неабелева и />. Отсюда и изединственности /> вытекает, что />. Но тогда /> и, следовательно, /> можно рассматривать какнекоторую группу автомор – физмов группы />,действующую тождественно на всех />-главныхфакторах группы />. По хорошоизвестной теореме Ф. Холла /> нильпотентна.Так как /> к тому же нормальна в />, то />. Но тогда /> для любого />, а так как формация /> слабо />-замкнута по условию, то />. Но тогда />, так как /> и по условию />. Получили противоречие.
Случай 2. Пусть />. Тогда /> входит в /> и является />-группой. Так как />, то /> абелева. Пусть /> – максимальная подгруппагруппы />, не содержащая />. Тогда />, />, />, />. Отсюда, ввидуединственности />, заключаем, что />, a значит, />. По лемме 3.10 /> является />-группой. Но тогда и /> является />-группой, причем />. Мы получаем, такимобразом, что /> для любого />. Но тогда />, так как /> слабо />-замкнута. Последнееозначает, что /> />-центральна в />, что противоречитравенству />. Снова получилипротиворечие.
Теорема доказана.
Следствие 4 Пустьгруппа /> имеет две нормальные />-сверхразрешимые подгруппы,индексы которых взаимно просты. Тогда /> />-сверхразрешима.
Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, чтопостроенный экран удовлетворяет условию теоремы 3 при />.
Следствие 5 Пустьгруппа /> имеет две нормальныесверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда /> сверхразрешима.
Теорема Слепова 6 Пусть формация /> имееттакой локальный экран />, что для любогопростого /> формация /> либо совпадает с />, либо входит в /> и является />-замкнутой. Тогда /> />-замкнута.
Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательствотеоремы 3.
Теорема Слепова 7 Пусть /> – максимальныйвнутренний локальный экран формации />.Формация /> />-замкнута (слабо />-замкнута, />) тогда и только тогда,когда для любого простого /> формация/> />-замкнута (соответственнослабо />-замкнута).
Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 3 и 6.Пусть /> />-замкнута (слабо />-замкнута, />). Пусть />, где /> – нормальные />-подгруппы (нормальные />-подгруппы с попарновзаимно простыми индексами). Так как />, то />. Покажем, что />.
Пусть />, где />, /> – элементарная абелева />-группа. По лемме 3.11 Ошибка!/> для любого />. Так как /> />-замкнута (слабо />-замкнута), то отсюдавытекает, что />. Если /> – пересечениецентрализаторов в /> всех />-главных факторов группы />, то

/>
Так как />, то по лемме3.10  подгруппа /> является />-группой. Но тогда />, так как по теореме 3.3 имеет место равенство />.
Теорема доказана.
Лемма Чунихин 8 Пусть />, />, />. Тогда />. В частности, если /> и />, то /> непростая.
Доказательство. Из равенства /> следует,что
/>
Следовательно, />.Отсюда, ввиду /> для любого />, получаем />. Лемма доказана.
Теорема Виландт 9 Группа /> разрешима,если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в /> попарно взаимно просты.
Доказательство. Пусть группа /> имеетразрешимые подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простымииндексами. Тогда />. Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа из />. Так как /> разрешима, то />, /> – простое число. Ввидуусловия теоремы, /> не делитодновременно /> и />. Пусть, дляопределенности, /> не делит />. Это значит, что силовская/>-подгруппа из /> является силовской />-подгруппой группы />. Ввиду теоремы Силова />, где />. Так как /> и />, то по лемме 8 />. Таким образом, /> – неединичная разрешимаянормальная подгруппа группы />. Вфактор-группе /> индексы подгрупп/>, /> и /> попарно взаимно просты. Поиндукции /> разрешима, но тогда и /> разрешима. Теоремадоказана.
Следуя Крамеру, введем следующее определение.
Определение. Класс групп /> называется/>-замкнутым (/> – натуральное число), если/> содержит всякую группу />, имеющую /> />-подгрупп, индексы которыхв /> при /> попарно взаимно просты.
По определению, пустая формация />-замкнутадля любого />. Единственной />-замкнутой непустойформацией, отличной от />, условимсясчитать />.
Лемма 10 Пусть /> и /> – />-замкнутые классы групп.Тогда /> также />-замкнут.
Доказательство очевидно.
Следующая лемма доказана Крамером.
Лемма 11 Пустьформация /> содержится в /> и />-замкнута, />. Тогда формация /> является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть группа /> имеет/>-подгруппы />, />,…, />, индексы которых в /> попарно взаимно просты.Так как />, то по теореме 9группа /> разрешима. При любомгомоморфизме группы /> образы подгруппы/> принадлежат /> и имеют попарно взаимнопростые индексы. Поэтому можно считать, что />-корадикал/> группы /> является ее единственнойминимальной нормальной подгруппой. Ясно, что /> является/>-группой для некоторого />. Подгруппа Фиттинга /> группы /> также является />-группой. Индекс любойподгруппы, не содержащей />,делится на />. Поэтому /> содержится по крайней мерев /> подгруппах нашей системыподгрупп />. Будем считать, что />, />. Так как /> является />-группой, то /> и /> поэлементноперестановочны, />. Отсюда и изследствия Ошибка! вытекает, что />,/>. Так как />, то мы получаем, что />, />. Воспользовавшись />-замкнутостью формации />, мы приходим к тому, что />.
Лемма доказана.
Теорема Крамер 12 Пусть /> – такойлокальный />-экран формации />, что для любого простого /> формация /> />-замкнута, />. Тогда /> />-зaмкнута.
Доказательство. Так как /> – />-экран, то /> для любого простого />, а значит, />. Пусть />. Ввиду леммы 4.5 Ошибка!/>. Если />, то /> и /> />-замкнута; если же />, то по лемме  формация /> />-замкнута. В любом случае /> />-замкнута. По лемме  /> />-замкнута. Применяя лемму 10,мы видим, что и формация /> />-замкнута. Теоремадоказана.
Так как формация /> имеетединичный экран, удовлетворяющий условию теоремы 12 при />, то мы получаем
Следствие Кегель 13 Группа /> нилъпотентна,если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в /> попарно взаимно просты.
Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.
Лемма 14 Классвсех />-замкнутых групп />-замкнут.
Доказательство такое же, как и у теоремы 9.
Лемма 15 Каждаяформация нилъпотентных групп является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть /> –некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа /> имеет />-подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простымииндексами. Тогда по следствию 13 группа /> нильпотентна.Если /> – наивысшая степеньпростого числа />, делящая />, то /> делит /> для некоторого />, так как /> не может делитьодновременно индексы всех подгрупп />, /> и />. Если /> делит />, то силовская />-подгруппа /> из /> входит в /> и является силовской />-подгруппой группы />. Тем самым показано, чтовсе силовские подгруппы нильпотентной группы /> являются/>-группами. Так как /> – формация, то отсюдаследует, что />.
Лемма доказана.
Лемма 16 Пусть /> – некоторый />-замкнутый гомоморф />-замкнутых групп. Тогдакласс /> />-замкнут.
Доказательство. Пусть группа /> имеет/>-подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простымииндексами. По лемме 14 /> имеетнормальную силовскую />-подгруппу />. Поскольку /> является силовской />-подгруппой в /> и /> – гомоморф, то />. В группе /> индексы подгрупп />, /> и /> попарно взаимно просты.Поэтому ввиду />-замкнутости /> имеем />. Лемма доказана.
Лемма 17 Длялюбого простого /> и любой формациинильпотентных групп /> класс /> является />-замкнутой формацией.
Доказательство. По лемме 15 класс /> />-замкнут. По лемме 16класс /> />-замкнут и по теореме 1.1 Ошибка!является формацией.
Теорема 18 Пусть/> – локальная подформацияформации />, /> – максимальный внутреннийлокальный экран формации />. Еслидля любого простого /> формация /> />-замкнута, />, то /> />-замкнута.
Доказательство. Пусть />. Ввидутеоремы 3.3 Ошибка! и леммы 4.5 Ошибка!, />. Формация /> />-замкнута. По лемме 10формация /> />-замкнута. Теоремадоказана.
Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации /> является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть /> –локальная подформация формации />. /> имеет внутренний локальный/>-экран />. Пусть /> – максимальный внутреннийлокальный экран формации />. Тогдапо теореме 3.3  для любого простого /> имеетместо равенство />. Так как />, то по лемме 17формация /> />-замкнута. Тогда по теореме18 формация /> />-замкнута. Теоремадоказана.
Следствие Д/>рк 20 Пусть группа /> имеет четыресверхразрешимые подгруппы, индексы которых в /> попарновзаимно просты. Тогда /> сверхразрешима.

Заключение
В данной курсовой работе мы дали определение формации,произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились спонятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрелиситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой,принадлежащей локальной формации /> формации/> всех групп с нильпотентнымкоммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.
Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общихметодах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов снеизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов исистематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвалцелую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теорииформаций.

Литература
1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теориигрупп. – М.: Наука, 1977.
2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп иассоциативных алгебр. – М.: Наука, 1969.
3 Чунихин С.А. О />-свойствахконечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.
4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука»,1978.