Новосибирскийгосударственный педагогический университет.
Математическийфакультет.
Кафедрагеометрии и МПМ.
Логическиезадачи и методы их решения
Курсоваяработа по математике.
Выполнила:студентка 35гр. Голобокова О.В.
Новосибирск 2009 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Типы и способы решения логическихзадач
1.1 Задачи типа «Кто есть кто?»
1.2 Тактические задачи
1.3 Задачи на нахождение пересечениямножеств или их объединения
1.4 Буквенные ребусы и примеры созвездочками
1.5 Истинностные задачи
1.6 Задачи типа «Шляпы»
1.7 Задачи типа «Два города»
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Тема моей курсовойработы: «Логические задачи и методы их решения».
Для расширения основногокурса желательно выбирать темы, срособствующие развитию общеучебных уменийшкольников, обладающие значительным развивающим потенциалом. Привлекательнымизанятия по выбору сделает система методов организации внеурочной учебнойдеятельности школьника, использование групповых и индивидуальных занятий.
Содержательная иинтересно поставленная внеурочная работа по математике позволяет выявитьматематически одаренных школьников, развить культуру мышления учащихся, разумноорганизовать их время.
Развитию творческойактивности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решениенестандартных задач.
У любого нормальногоребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всегоспособности школьников так иостаются не раскрыты для них самих, они не увереныв своих силах, равнодушны к математике.
Задачи повышеннойтрудности, в решении которых следует опираться на твердое знание изученных науроках математических фактов, не следует сразу предлагать этим учащимся. Задачидолжны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием,удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.
Несмотря на то, чтошкольный курс математики содержит большое количество интересных задач, многиеполезные задачи не рассматриваются.
К эти задачам можноотнести логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых ифакультативных занятиях, начиная с 5 класса.
1. Типы и способы решениялогических задач
1.1 Задачи типа «Кто естькто?»
Задачи типа «Кто естькто?» очень разнообразны по сложности, содержанию и способности решения. Они,несомненно, представляют интерес для математического кружка.
а) Метод графов
Один из способов решения– решение с помощью графов. Граф – это несколько точек, часть которых соедененыдруг с другом отрезками или стрелками (в таком случае граф называется ориентированным).Пусть нам требуется установить соответствие между двумя типами объектов(множествами). Точками обозначаются элементы множеств, а соответствие междуними – отрезками. Штриховой отрезок будет объеденять два элемента, несоответствующих друг другу.
Задача 1. Леня, Женя иМиша имеют фамилию Орлов, Соколов и Ястребов. Какую фамилию имеет каждыймальчик, если Женя, Миша и Соколов – члены математического кружка, а Миша иЯстребов занимаются музыкой?
Решение. Решить задачупросто, если учесть, что:
1. Каждому элементуодного множества обязательно соответствует элемент другого множества, но толькоодин (у каждого мальчика есть фамилия и фамилии у мальчиков разные).
2. Если элементкаждого множества соединен со всеми элементами (кроме одного) другого множестваштриховыми отрезками, то с последним он соединен сплошным отрезком.
Вместо сплошных штриховыхотрезков можно использовать цветные, в таком случае решение получается болеекрасочным, больше нравится младшим школьникам (рис. 1.).
Женя Миша Леня/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Ястребов Соколов Орлов
Рис. 1.
Таким же способом можнонаходить соответствие между тремя множествами.
Задача 2. Три товарища,Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы в школах Москвы,Санкт-Петербурга и Киева. Известно, что Иван работает не в Москве, а Дмитрий –не в Санкт-Петербурге; москвич преподает химию. Дмитрий не биолог. Какойпредмет, и в каком городе преподает каждый товарищ?
Решение. Сначала всеусловия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошныхтреугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).
Иван Дмитрий Степан
Москва
Химия
Санкт-Петербург
Биология
Физика Киев
Рис. 2.
При решении мы можемполучить треугольники трех видов:
а) все стороны являютсясплошными отрезками (решение зедачи);
б) одна сторона –сплошной отрезок, а другие – штриховые;
в) все стороны –штриховые отрезки.
Таким образом, нельзя получитьтреугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья –штриховой отрезок. Это легко доказать на примере данной задачи.
Рассмотрим треугольник:химия – Дмитрий – Санкт-Петербург. Если предположим, что третья сторона –сплошной отрезок, то получаем следующие высказывания
-«Дмитрий преподаетхимию»;
-«Тот, кто преподаетхимию, живет в Санкт-Петпрбурге»;
-«Дмитрий не живёт вСанкт-Петербурге»;
Но из второго и третьеговысказывания следует, что Дмитрий не преподает химию (отрицание первоговысказывания). Значит, отрезок Дмитрий – химия штриховой, что соответствуетвысказыванию: «Дмитрий не преподает химию».
Задача решаетсяавтоматически: построением треугольников. От условия задачи, после внесения егона схему, можно отвлечься (рис. 3).
Иван Дмитрий Стапан
Москва
Химия
Санкт-Петербург
биология
физика Киев
рис.3.
При обучении школьниковлогически грамотно мыслить несомненную методическую ценность представляютзадачи с неоднозначными ответами и избыточными условиями. Такие задачи чащевсего ставят учащихся в тупик. Графы, представыленные точками и отрезками,позволяют справиться с такими трудностями и выявлять структурные особенностизадач.
Задача 3. Маша, Женя,Лида и Катя умеют играть на различных инструментах (виолончели, рояле, гитае искрипке). Они же владеют различными иностранными языками (английским,французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Известно, чтодевушка, которая играет на гитаре, говорит по- испански, Лида не играет ни наскрипке, ни на виолончели и не знает английского языка, так же как и Маша.Девушка, которая говорит по-немецки, не умеет играть на виолончели, Женя знаетфранцузский язык, но не умеет играть на скрипке. Кто же из девушек какой языкзнает и на каком инструменте играет?
Решение. Обозначим имена:М, Ж, Л, К; музыкальные инструменты: В, Г, Р, С; иностранные языки: А, Ф, Н, И.Получаем два частичных решения задачи: К-С-А и Ж-В-Ф (рис. 4).
М Ж Л К
В А
Р Ф
Г Н
С И
Рис.4.
Далее же задача допускаетдва решения: М-Р-Н, Л-Г-И или М-Г-И, Л-Р-Н. Любое из этих решений непротиворечит условию задачи.
б) Табличный способ
Второй способ решениялогических задач – с помощью таблиц – также прост и нагляден, но его можноиспользовать только в том случае, когда требуется установить соответствие междудвумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шестьэлементов.
Задача 4. «Городмастеров». В нашем городе живут 5 друзей: Иванов, Петров, Сидорчук, Веселов иГришин. У них разные профессии: маляр, мельник, парикмахер, почтальон, плотник.Но я точно знаю, что Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти,а Иванов и Гришин давно собираются посетить мельницу, где работает их товарищ.Петров и Веселов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Петров каждоевоскресенье играют в городки с плотником и маляром, а Гришин и Веселов посубботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон жепредпочитает бриться дома. Помогите мне установить профессию каждого из друзей.
Решение. Решая задачу, мызаведомо знаем, что у каждого товарища одна фамилия и одна профессия (и у всехразные).
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбцетаблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все«места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия,например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке(или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Начертив таблицу, нужноразместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. Если ребятазатрудняются сразу заполнить таблицу, то можно помочь им наводящими вопросами.Правила же выводятся обычно самостоятельно, интуитивно. Нужно только заостритьна них внимание школьников.
Заполнив по условиюзадачи таблицу, сразу получем два типичных решения: Гришин – плотник, а Иванов– парикмахер (рис. 5).
Дальше ответ получаетсяавтоматически, но этот «автоматизм» можно «перевести» на язык логическихрассуждений. Такой «перевод» и интересен, и помогает увидеть, откуда беретсярешение.
Профессия Почтальон Маляр Мельник Парикмахер Плотник Фамилия Гришин - - - - + Иванов - - - + - Сидорчук - - Петров - - - - Веселов - - -
Рис.5.
Послетого, как произошло «сужение информации» и точно установлено, что Гришин –плотник, а Иванов – парикмахер, рассуждать можно так: т.к Иванов не почтальон(он парикмахер) и из условий задачи следует, что Гришин, Петров и Веселов неработают почтальоном, значит, Сидорчук – почтальон (а значит, не маляр и немельник); мельником может быть только Петров, а Веселов – маляром. Эта задача предполагаеттолько одно решение.
Можетбыть, интересным покажется решение этой задачи на координатной плоскости. Пооси абцисс располагаются элементы одного множества (в данном случае профессии),а по оси ординат – элементы другого множества (фамилии). Соответствие инесоответствие между элементами обозначается темными и светлыми фигурами(кружками). При заполнении квадрата используются те же правилавзаимооднозначного соответствия (рис.6).
У(фамилия)
/>
Гришин ○ ○ ○ ○ ●
Иванов ○ ○ ○ ● ○
Сидорчук ● ○ ○ ○ ○
Петров ○ ○ ● ○ ○
Веселов ○ ● ○ ○ ○
/>
П-н М-р М-к П-р П-к х(профессия)
Рис.6.
Интереснорассмотреть задачу, правила решения которой несколько отличаются от ужезнакомых.
Задача5. «Леночка и разноцветные игрушки».
— Ой, какие красивые разноцветные шарики! А какие коробочки! Дедушка, ну,пожалуйста, подари их мне! – воскликнула Леночка, едва переступив порогдедушкиной комнаты.
— Посмотрим, заслуживаешь ли ты такого подарка, — ответил дедушка, и попросилЛеночку на некоторое время выйти из комнаты. Но не прошло и минуты, как какдевочка услышала, что её уже зовут.
— Перед тобой пять коробочек: одна белая, одна чёрная, одна красная, одна синяя иодна зеленая, — сказал дедушка. – Шарики тех же цветов, что и коробочки, по двашарика каждого цвета: два белых, два чёрных, два красных, два синих и двазелёных. В каждую коробочку я положил по два шарика. Чтобы ты не думала, будтоцвет шариков в коробочке совпадает с цветом самой коробочки, скажу сразу:шарики по коробочкам я разложил как пришлось. Если ты скажешь, какого цветашарики лежат в каждой коробочке, то я подарю тебе все шарики вместе скоробочками.
— Но ведь это очень трудно, — печально вздохнула Леночка.
— Совсем не трудно, — утешил её дедушка. – К тому же я помогу тебе – вотпослушай:
1)ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;
2)ы красной коробочке нет синих шариков;
3)в коробочке нейтрального цвета лежат один красный и один зелёный шарик. (ТутЛеночка, не выдержав, спросила, что такое нейтральный цвет. Дедушка объяснил,что так принято называть белый или чёрный цвет);
4)в чёрной коробочке лежат шарики холодных тонов (Леночка уже знала, чтохолодными называют зеленые и синие тона);
5)в одной коробочке лежат белый и один синий шарик;
6)в синей коробочке находится один черный шарик. Помогите Леночке решитьдедушкину задачу!
Знаний,полученных при решении предыдущих задач достаточно, чтобы решить эту задачу.Новое здесь, то, что каждой коробочке соответствует два шарика. А метод решенияучащиеся могут предложить сами.
Первыйспособ решения (рис.7).Коробочка Белая Черная Синяя Зеленая Красная Шарик Белый - - - - Черный - - - - + Синий - - - - - - Зеленый + - - - Красный + - - - - -
Рис.7.
Изутверждений 1, 2, 3 ,4 следует, что в белой коробочке лежат один зеленый и одинкрасный шарики. Тогда в черной коробочке лежат либо два синих, либо синий изеленый; но из утверждения 5 следует, что два синих шарика лежать в чернойкоробочке не могут. Один зеленый шарик лежит в белой коробочке, второй вчерной, значит зеленых шариков нет в синей и красной коробочках (рис. 8).
Белыйи синий шарики лежат вместе, но вместе они могут лежать только в зеленойкоробочке. Следовательно, в зеленой коробочке нет черных и красных шариков (атак же белого и второго синего). Остались неуложенными: красный, белый и черныйшарики; красная коробочка пустая и синяя – с одним черным шариком.Коробочка Белая Черная Синяя Зеленая Красная Шарик Белый - - - - Черный - - - - + Синий - - + - - - - - Зеленый + - + - - - - - - - Красный + - - - - -
Рис.8.
Красныйшарик может лежать только в синей коробочке, а значит белый и черный – вкрасной (рис.9).Коробочка Белая Черная Синяя Зеленая Красная Шарик Белый - - - - - - + - + - Черный - - - - + - - - + - Синий - - + - - - + - - - Зеленый + - + - - - - - - - Красный + - - - + - - - - -
Рис.9.
Второйспособ решения (рис.10).
Черная белая зеленая красная синяя
Черный
Черный белый зеленый красный синий
Красныйи зеленый шарики, по условию 3, образуют пару одной коробочки. Так как в синейкоробочке одно «место» занято, то эта пара может лежать только в белой. Сузиминформацию. По условию 5, синий и белый шарики образуют пару. Эта пара можетлежать только в зеленой коробочке (рис.11).
Черная зеленая красная синяя
Черный
Черный белый белый зеленый красный синий синий
Рис. 11.
Ещё«сузив» информацию, получим окончательное решение этой задачи (рис. 12).
Черная красная синяя
Черный
Синий белый белый черный красный
Рис. 12.
в)Сопоставление трех множеств
следующаязадача «трехмерна», т.е. для ее решения нужно сопоставить три множества.Рассмотрим способ решения этой задачи при помощи таблиц.
Задача6. «Трамвай в часы «пик».
Одинпсихолог решил заняться изучением того, как влияет на нервную систему человекапоездка в переполненном трамвае, в часы «пик». Для этого опросил по одномупассажиру с каждого из четырех маршрутов трамвая; 55, 15, 25 и 33. средиопрошенных, которых звали Андрей (А), Петр (П), Владимир (В), Леонид (Л),оказалось по одному представителю четырех профессий: слесарь(с), электромонтер(э), маляр (м), фрезеровщик (ф). К сожалению, поездки в набитых трамваяхосновательно истрепали нервы самому психологу. Не удивительно, что он забыл, укого из опрошенных какая профессия. Впрочем, такая забывчивость сама по себедостаточно красноречиво говорит о том, как влияет на нервную систему человекапоездка в переполненном трамвае! В памяти нашего психолога сохранились лишьбессвязные отрывки из того, что рассказывал каждый из опрошенных о своеммаршруте. Разумеется, полагаться на память было нельзя, и психилог решилпроверить все самым тщательным образом. Ну и, конечно, нужно было выяснить, укого какая профессия. Вот что удалось выяснить;
1) Номер трамвайногомаршрута, которым следовал Владимир, начинается не с единицы.
2) О тридцатьтретьем маршруте рассказывал кто-то из рабочих- металлистов.
3) Номер трамвайногомаршрута, которым следовал фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их суммаравна числу букв в имени фрезеровщика.
4) Леонид рассказало трамвайном маршруте, номер которого состоит из двух одинаковых цифр.
5) Имяэлектромонтера начинается не с буквы В.
6) Петр спросил упсихолога, где лучше сойти, чтобы пересесть на двадцать пятый маршрут.
7) В памятипсихолога вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Леонидом кому-то из пассажиров:«Вы сели не на тот трамвай, вам нужно пересесть на пятьдесят пятый».
Определитеимя и профессию каждого пассажира, а также номер маршрута, о котором онрассказывал психологу.
Решение.Чтобы отразить соответствие между двумя любыми множествами, необходимосоставить три таблицы. Разложив, условия задачи на элементарные запреты,отметив их в таблице, затемнив соответствующую клетку (рис. 13).
В таблице 1 (рис. 13)сразу находится частичное решение: Леонид ехал в трамвае с номером 33. Значит,что ни электромонтер, ни маляр не были пассажирами трамвая 33, и то, что Леонидне фрезеровщик, делаем вывод, что Леонид – слесарь.
На самом деле мывоспользовались «правилом треугольника». Треугольником, в данном случае,называются фигуры из трех клеток, соединенных линиями соответствия (рис. 14).
Если условия задачинепротиворечивы, то соответствующей ей схеме размещения трёх таблиц возможнылишь такие треугольники, у которых:
а) во всех вершинахрасположены элементарные запреты;
б) в двух вершинахрасположены элементарные запреты, а в третьей – знак соответствия (кружок);
в) во всех трех вершинахрасположены знаки соответствия (кружки);
Доказательство этогоправила аналогично приведенному в задаче 2. пользуясь правилом, получимокончательное решение.
Леонид — слесарь, 33-ймаршрут трамвая;
Андрей — фрезеровщик,15-й маршрут;
Владимир — маляр, 25-ймаршрут;
Петр — электромонтер,55-й маршрут трамвая.
Задачи такого типа можнодавать используя только схемы расположенными на них элементарными запретами(задачи «без слов»). Кроме того, по заданной схеме учащиеся могут самипридумать условия задачи. На примере следующей задачи рассмотрим еще одноправило решения (правило переноса клеток).
Задача 7. Решите представленнуюна рисунке 16 задачу.
/>
Рис. 16.
Как видно из рисунка,нельзя найти ни одного частичного решения задачи. Однако, рассмотрим на рис. 16первую строку таблицы I. Кружок, разрешающий соответствие между элементами,может стоять либо в первой, либо во второй клетках. Предположим, что кружокстоит во 2-й клетке. Тогда клетка А-а и А-в в таблице II, по правилутреугольника, должны быть заняты элементами запрета. Первая строка в таблице IIоказалась «запрещенной», но, если задача имеет решение, этого быть не может.Таким образом, кружок в таблице I, в первой строке, стоит в клетке А-б. Еслипосмотреть на строки А (II) иγ(III), — видно, что элементарные запретыдополняют друг друга до полной строки. Такие строки назовем дополняющими другдруга поперечными строками.
Строки (столбцы) –поперечные, если они соответствуют элементам необщих множеств. Строки таблиц,соответствующие одному и тому же элементу общего множества, назовемпродольными. Они как бы служат продолжением одна другой. (Например, строка В-I и В-II, столбцы с-II, и с-III).
Теперь можносформулировать правило переноса клеток, или правило дополнительности:
— Клетка пересечения двухдополняющих друг друга строк, являющихся поперечнымие может быть связующейклеткой ( т. е. соответствовать комбинации элементов, не запрещенной условиямизадачи).
По этому правилу,поперечные, дополняющие друг друга строки А-П и γ-III пересекаются в клетке А-γ-I. Значит, в этой клетке расположенэлементарный запрет, (Тот же результат был получен при помощи рассуждений).Дальше задача уже легко решается при помощи правил, известных ранее. На рисунке17 показана клетка пересечения двух дополняющих строк.
Трехмернаязадача может решаться и в системе координат. Вот как выглядит такая система дляданной задачи (рис.19). Все правила решения для трехмерной задачи остаютсясправедливыми.
/>
г)
Многомерныезадачи.
Задача8. «Преступление в гостинице». Когда в 11 часов утра служащие гостиницы в ПиэриПоуч открыли, наконец, дверь четвертого номера, расположенного на первом этаже(до этого они долго, но безуспешно пытались достучаться, но им никто неоткрывал), глазам их предстало ужасное зрелище: знаменитая кинозвезда,обворожительная мисс Вамп лежала на паркете в глубоком обмороке, все вещи былиразбросаны в беспорядке, а бесценное бриллиантовое ожерелье кинозвезды исчезло.Правда, мисс Вамп вскоре пришла в себя, но ничего вспомнить так и не смогла.Пришлось обратиться за помощью к знаменитому сыщику Сэму Силли и его ловкомупомощнику Джонни Вуду. Сыщик и его помощник тотчас же принялись за работу.Вскоре им удалось выяснить следующее:
1.Напервом этаже гостиницы расположено всего 6 номеров: от первого до шестого.
2.Мисс Вамп в последний раз видели в ресторане гостиницы в 18 часов вечера,накануне похищения бриллиантов. Ожерелье было тогда на ней.
3.С 18 часов вечера до 10 часов утра никто из служащих гостиницы не входил вкоридор перед номерами, расположенными на первом этаже, и ничего, кроме стука вдверь, не слышали.
4.Между 18 часами вечера и полуночью в гостинице побывало всего 6 посторонних:мистер Браун, мистер Грин, мистер Хилл, мистер Смит, мистер Тейлор и мистерУайт. Все они приходили к постояльцам, занимавшим номера на первом этаже. Портье,которому из-за его стойки прекрасно виден весь коридор первого этажа, отчетливозапомнил, что каждый из них заходил лишь в один номер, причем ни какие двапосетителя не заходили в один и тот же номер. К сожалению, портье не записал, вкакой номер заходил каждый из посетителей и до которого часа оставался вгостинице. К тому же, все посетители заходили в гостиницу в различное время:один побывал в ней между 18 и 19 часами, другой между 19 и 20 и т.д. Последнийпосетитель заходил в гостиницу между 23 к 24 часам. Сэм Силли навестил каждогоиз шести подозреваемых и выяснил следующее:
5.Достоверно известно, что с 20 до 24 часов мистер Браун принимал у себя домагостей. Будучи образцовым хозяином мистер Браун от начала до конца своегоприема ни на минуту не покидал гостей.
6.Столь же неопровержимо установлено, что с 21 часа до 24 часов мистер Гриннаходился среди гостей мистера Брауна.
7.Допросить мистера Хилла не удалось, но это не помешало Джони Вуду собратьподробнейшие сведения о подозреваемых и их окружении, снять отпечатки пальцев,следов обуви и т.д. (Попутно, выяснилось одно странное обстоятельство: намистере Смитте оказались те же ботинки, которые накануне с 18 до 24 часов носилмистер Хилл).
8.Мистер Тейлор с 19 часов 45 минут до 21 часа довольно громко выяснял отношениясо своей женой, что могут подтвердить его соседи.
9.Мистер Уайт с 19 до 22 часов находился в театре, а с 23 часов до полуночиприсутствовал на заключительной части приема, устроенного мистером Брауном.
Вернувшисьв гостиницу, Сэм Силли и Джонни Вуд тщательно осмотрели все номера,расположенные на первом этаже, и установили, что:
10.Все окна плотно закрыты и через них снаружи в гостиницу никто не проникал.
Затемони сравнили все обнаруженные в номерах следы (отпечатки обуви, пальцев,отдельные волоски и т.д.) с теми данными, которые им удалось собрать оподозреваемых. Выяснилось следующее:
11.В номер 5 не заходили ни мистер Смит, ни мистер Тейлор, ни мистер Уайт.
12.Мистер Смит не заходил в номера 1, 3, 6.
13.Мистер Грин не мог быть посетителем номера 3 и номера 6.
Наконец,допросили портье. Приводим выдержку из протокола допроса:
14.Сэм Силли: Вы утверждаете, что незадолго до 20 часов на несколько минутзадремали за своей стойкой. Не мог ли кто-нибудь за это время незаметно проникнутьв гостиницу или пробраться из одного номера в другой?
Портье:Входная дверь была заперта, сэр. Я сплю очень чутко, а двери номеров слегкаскрипят. Стоило уходившему посетителю хлопнуть дверью, как я бы сразупроснулся. А ведь скрип был очень тихий: так скрипят двери лишь в 1 и 4-мномерах. Затем портье припомнил, что:
15.До 19 часов никто не входил ни в 5-й, ни в 6-й номера.
16.В 20 часов 10 минут в 1 или 3 или 6 номерапришел посетитель, а также, что:
17.Между22 и 23 часами двери 2, 3 и 6-го номеров не открывались: в эти номера никто невходил и никто не выходил.
Собранныеданные позволили сыщикам напасть на след преступника. Из условий 10, 4, 3 и 2напрашивается почти неопровержимый вывод: бриллиантовое ожерелье похитил одиниз шести посетителей, а именно тот, который либо вечером, либо ночью заходил в4-й номер. Можно ли найти преступника, пользуясь всеми данными, собраннымиСэмом Силли и Джоном Вудом?
Решение.Одни лишь материалы следствия не позволяют получитьоднознаяного решения ни водной из таблиц. Но стоит воспользоваться правилом дополнительности, какпоявляются сразу 5 элементарных запретов (рис. 20).
/>
Эти запретыпозволяют найти первое частичное решение: мистер Хилл заходил в номер 5.
Далее задачарешается методом треугольника. Уже 10-е частичное решение позволяет установитьвиновность мистера Брауна, который заходил в номер 4 между 19 и 20 часами.После частичного решения 13 в таблицах I и II остается по 4 пустых клетки,которые не удается заполнить (рис. 21). Но, поскольку мистер Смит заходил вгостиницу раньше или позже мистера Тейлора, что не вызывает противоречия,задача имеет два окончательных решения.
Рассмотримеще одну задачу, где требуется установить соответствие между множествами, ноэтих множеств уже 5 (может быть и 6, и 7). Автоматически, пользуясь правилами,решить такую задачу уже не удается. Однако она не менее привлекательна иинтересна.
Задача9. «Укого живет сорока». На одной из улиц дачного поселка только 5 домов. Ониокрашены в разные цвета, и занимают их семьи поэта, писателя, критика,журналиста и редактора. В доме каждой семьи живет любимая птичка. Глава семьиполучает на завтрак любимый им напиток, после чего отправляется а город,пользуясь любимым способом передвижения. Известно, что:
1) поэт пользуетсявелосипедом;
2) редактор живет вкрасном доме;
3) критик живет вкрайнем доме слева, а рядом расположен голубой дом;
4) тот, кто ездит намотоцикле, живет в среднем доме;
5) тот, кто живет взеленом доме, всегда отправляется в город пешком;
6) зеленый домрасположен справа от белого;
7) в доме, где живетснегирь, на завтрак всегда бывает молоко;
8) тот, кто назавтрак получает какао, живет в доме, соседнем с тем домом, где живет синица;
9) в желтом доме назавтрак подают чай;
10) живущий рядом слюбителем канареек утром пьет чай;
11) писатель пьеттолько кофе;
12) тот, кто ездит насвоем автомобиле, любит пить томатный сок;
13) в доме журналистаживет попугайчик.
Ау кого живет сорока?
Решение.Для решения задачи сразу составим основную таблицу, которую будем заполнять походу решения (рис. 22). Воспользуемся условиями 3 и 4. По условию 6 имеем двевозможности: 31 – зеленый дом №4, 32 – зеленный дом №5.Продолжим заполнять основную таблицу, если за истину принять предложение 31(рис. 22, подчеркнуто одной чертой). Из 6 следует, дом №3 – белый; (2,3) – дом№5 красный, тогда дом №1 – жёлтый. Учтем условия 5 и 9; (9; 10) – в голубомдоме живут канарейки; 1 в голубом доме живет поэт, который пользуетсявелосипедом. Из условия 12 следует, что редактор ездит на автомобиле и любиттоматный сок.
Гдеживет писатель? Имеем две возможности:
— П1: писатель живет в белом доме;
— П2: писатель живет в зеленом доме.
Продолжимрассуждения, считая верным утверждение П1 (рис. 22, курсив). Тогда взеленом доме живет журналист. Из условия 11 следует, что в среднем доме пьюткофе. Из 13 – следует, в доме №4 живет попугайчик.
Рассмотримусловие 7. Молоко на завтрак может быть либо в доме №2, либо в доме №4. Но тамне может жить снегирь. Получив противоречивые данные, возвращаемся к гипотезе П2.Снова условие приводят к противоречию (рис. 23).
Рис22.Цвет дома
желтый голубой
белый
зеленый
красный Глава семьи критик
поэт
писатель
журналист
редактор Напиток
чай
кофе
сок Способ передвижения
велосипед мотоцикл
пешком
автомобиль Птичка
канарейки
попугайчик
Цвет дома
желтый голубой
белый
зеленый
красный Глава семьи критик
поэт писатель журналист
редактор Напиток
чай кофе
сок Способ передвижения
велосипед мотоцикл
пешком
автомобиль Птичка
канарейки попугайчик
Рис. 23.
Возвращаемсяк гипотезе 32. Тогда из 2 следует: дом №1 желтый, а следовательно, вголубом доме живут канарейки. Попробуйте ответить на вопрос: «Где живет поэт?».Два варианта ответа (так как по условию 1, поэт пользуется велосипедом):
— ПТ1 – поэт живет в голубом доме;
— ПТ2 – поэт живет в белом доме.
Предположим,что вариант ПТ1 верен (рис. 24, курсив). Из 12 следует: сок пьют вбелом доме. Из 11 следует, что писатель живет в зеленом доме и пьет кофе; вбелом доме живет журналист, у которого есть попугайчик (условие 13). По условию8, какао на завтрак могут получать поэт и редактор. Но у редактора нет соседа,который держит синицу. Значит какао любит поэт, а синица живет у критика.
Условие7: молоко на завтрак может быть только у редактора. Получаем ответ: сорокаживет у писателя. Но нужно проверить ещё гипотезу ПТ2. Приведет лиона к тому же ответу?№ дома 1 2 3 4 5 Цвет дома желтый голубой красный белый зеленый Глава семьи критик поэт редактор журналист писатель напиток чай какао молоко сок кофе Способ передвижения велосипед мотоцикл автомобиль пешком птичка синица канарейки снегирь попугайчик сорока
Рис.24.
Из13 следует, хозяин голубого дома пьет сок и ездит на автомобиле.
Из12 следует, писатель живет в зеленом доме и пьет кофе, тогда в голубом домеживет журналист. Но по условию 13, он держит попугайчика. Получили противоречие,ведь в голубом доме живут канарейки (рис. 25). Итак, ответ задачи единственный:сорока живет у писателя.№ дома 1 2 3 4 5 Цвет дома желтый голубой красный белый зеленый Глава семьи критик редактор
поэт
писатель напиток чай
сок кофе Способ передвижения
автомобиль мотоцикл
велосипед пешком птичка канарейки
Рис.25.
Схематичноход рассуждений изображен на рис. 26.
/>
Рис.26.
Такиезадачи могут иметь несколько ответов: число разветвлений в схеме (т.е.количествопринимаемых гипотез) может быть значительно большим, но принципрешения остается таким же. Иногда для решения задачи необязательно заполнятьвсе клетки таблицы, как в приведенном примере.
1.2Тактические задачи
Решениетактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении учащимисяплана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том,что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможностине известны учащимся, их нужно придумать.
а)Задачина перемещение или правильное размещение фигур учащиеся могут решать двумяспособами: практическим (действия в перемещении фигур, подборе) и мысленном(обдумывание хода, предугадывание результата, предположение решения). Анализсоотношения способов решения показывает, что практический метод свойственендетям младшей школы. Школьники среднего звена осуществляют поиск решения путемсочетания мысленных и практических действий или только мысленно. Это даетоснование для утверждения о возможности приобщения младших школьников ктворческой деятельности в ходе решения логических задач. У детей формируетсяумение вести поиск решения путем предположения, догадки, рассуждений.Рассмотрим простую задачу.
Задача10. «Иванушка и коварная принцесса».
— Задаю тебе последнюю задачу, — сказала принцесса Иванушке, — найди единственноверный путь из этой комнаты в наш зимний сад и сорви для меня самую красивуюрозу. Из этой комнаты ты пройдешь через левую, или правую, или среднюю дверь вовторую комнату; такие же три вида дверей будут перед тобой при переходе извторой комнаты в третью и из третей – в сад. Учти мои советы, — продолжалапринцесса, — первый: из этого зала пройди через правую дверь; второй: из второйкомнаты – не через правую дверь, и третий совет: из третей – не через левуюдверь. Иванушка знал, что обычно из трех советов принцессы ровно в двухуказывают ложное направление, кроме того, служанка принцессы успела шепнутьему, что надо пройти через дверь каждого вида по одному разу. Как и полагаетсясказке, принес Иванушка розу и был вознагражден. Какой же маршрут оказалсяверным?
Решение.Для решения этой задачи нужно рассмотреть всевозможные маршруты, т. к. наизбранном пути не должно быть одинаково расположенных дверей, то возможно лишь6 различных маршрутов (3!). Воспользуемся графами (рис. 27). «Плюс» насоединительном отрезке означает правильный, а «минус» — ложный ответ принцессы.Так как верен один совет, то правильный маршрут тот, который отмечен однимзнаком «+» и двумя «-», а именно Л – П – С.
+ – +
П С Л
+ + – + – +
С Л П Л П С
– + – + + +
Л С Л П С П
Рис. 27.
Вследующей задаче может быть использована магнитная доска или объемные фигуркизверей, которые можно передвигать по клеткам.
Задача11. Все звери в зоопарке находятся не в своих клетках. Служителю необходимо какможно быстрее разместить животных по их клеткам. Какое наименьшее число«переселений» должен сделать служитель зоопарка? Учтите, что зверей нельзяпомещать вдвоем в одну клетку, так как звери – хишники (рис. 28).Надпись на клетке Лев Олень Волк Крокодил Леопард Животное Леопард Крокодил Олень Лев Волк Вольера
Рис.28.
Решениеможно оформить в виде следующей таблицы (рис. 29)Лев Олень Волк Крокодил Леопард Вольер Леопард Крокодил Волк Лев Леопард Крокодил Олень Волк Лев Леопард Крокодил Лев Олень Волк Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Леопард Крокодил Лев Олень Волк Крокодил Леопард
Рис.29.
Задача12. Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки ихотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить толькодвух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег приусловии, что, оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец, ненаходился бы при этом в обществе других рыцарей?
Такуюзадачу могут решить учащиеся 6-го класса. Передвигаяя фигурки, можно проверятьи пробовать множество вариантов, при этом необходимо записывать ход решения припомощи таблиц, либо при помощи графов.
Решение:этой задачи может быть таким: А, В, С – обозначим рыцарей; а, в, с – ихоруженосцев.
А В С А В С . А В С А В С .
а в с . а в с а в . с а в с
А В С в с А В С А В С А В С
а . а в с . а в . с а в с .
. А В С А В С . А В С А В С
а в с а в с . а в с а в с
Ребятампостарше можно предложить следующую задачу. Отличается от предыдущей она толькоусловием, решение же аналогично.
Задача13. По обычаю одной восточной страны, жене запрещается оставаться без мужа вобществе мужчин, однажды трем супружеским парам понадобилось перебраться наюжный берег реки с северного. Единственное подручное средство – лодка,вмещающая двух человек. В какой последовательности они должны были переправиться,чтобы соблюсти строгий обычай?
Таковаже схема решения задач на переливание жидкости. Решая такие задачи, школьникиучатся планировать свои действия, запоминать ход рассуждений. Эти задачиспособствуют развитию настойчивости и сообразительности, развиваютаналитическое мышление.
Задача14. Три сосуда, вместимостью 8, 5, 3 л. стоят на полке. Первый сосуд наполненводой, а два других пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить один литр воды?Как отмерить 4 л. воды?
Решение.Сразу встает вопрос: с чего начать? Имеющиеся сосуды могут предложить дваварианта: либо из восьмилитрового сосуда наполним пятилитровый, либотрехлитровый. Нужно учесть, что вода из этих трех сосудов никуда не выливается.Это сокращает число возможных ходов.
Первыйспособ.
Iсосуд (8 л.) 8 3 3 6 6 (1) 1
IIсосуд (5л.) 0 5 2 2 0 5 (4)
IIIсосуд (3л.) 0 0 3 0 2 2 3
Второйспособ.
Iсосуд (8 л.) 8 5 5 2 2 7 7 (4)
IIсосуд (5л.) 0 0 3 3 5 0 1 1
IIIсосуд (3л.) 0 3 0 3 (1) 1 0 3
Задача15. Али-Баба хочет попасть в пещеру с сокровищами. Перед пещерой стоит бочка, вкрышке которой имеются четыре отверстия, образующие квадрат. Под отверстияминаходится по кувшину, в каждом из которых торчит селедка, хвостом вверх иливниз. Али-Баба может просунуть руки в любые два отверстия и определитьрасположение находящихся под ними селедок, а также повернуть одну или две посвоему усмотрению. Если хвосты всех селедок окажутся направленными в одну сторону,то дверь пещеры открывается. После того, как Али-Баба вытащит руки изотверстий, бочка быстро поворачивается и останавливается, причем Али-Баба не всостоянии определить новое соотношение бочки по отношению к старому. Существуетли способ действий, позволяющий Али-Бабе за несколько попыток наверняка открытьдверь?
Решение.Для решения необходимо рассмотреть все возможные действия Али-Бабы. Например,по схеме на рисунке 31. Таким образом самое большое после пяти «ходов» Али-Бабасможет попасть в пещеру с сокровищами. Если досконально рассматривать всевозможности, то на третьем шаге Али-Баба может просунуть руки в отверстия,стоящие рядом, но это усложнит его дальнейшие действия.
Рассмотримэтот вариант (рис. 30):
Вовтором случае – поменяв положение одной селедки, нельзя точно знать, какая издвух комбинаций а) или б) получилась. Следующий ход делается по диагонали. Вслучае а) нужно изменить положение двух селедок по диагонали и дверь откроется;в случае б) этот «ход» лишний, с его помощью можно определить положениеселедок.
Дальшерешение идет, как в общем случае, но Али-Баба сделает на один «ход» больше.Нужно сказать, что данная задача довольно сложная. Разбирая ее решение, нужнорассуждать последовательно и доказательно, отвечая на вопросы: «А почему именнотак?», «А что будет если…?». На, а потом не трудно выбрать оптимальное решение,т.е самый кортокий путь к решению задачи (рис. 31).
1.3Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств (круги Эйлера)
Ещёодин тип задач – задачи, в которых требуется найти некоторое пересечениемножеств или их объеденение, соблюдая условия задачи.
Задача16. В шахматном турнире учавствовало 7 человек. каждый с каждым сыграл поодной партии. Сколько партий они сыграли?
Решение.При решении этой задачи в счете возможны ошибки, т.е. некоторые партиисчитаются дважды. Предложите ребятам найти ответ с помощью графов, обозначаякаждого ученика точкой, а игры – стрелками. Остается только подсчитать стрелки(рис. 32).
/>
Рис.32.
Можнооформить задачу в виде турнирной таблицы и подсчитать ее клеточки. Такие методыпомогут ребятам объяснить числовое решение задачи:
Числопартий =(7*6)/2=21
Вдальнейшем школьники легко смогут решать такие задачи и без помощи грофов.
Задача17. Каждые два из двадцати городов соединены линией воздушного беспересадочногосообщения. Сколько всего воздушных сообщений?
Ответ:190
Задача18. В учительской комнате в одну из перемен завязался разговор о журналах. Входе его выяснилось, что каждый из учителей выписывает два журнала. На каждыйиз выписываемых журналов подписывается трое. Любая комбинация из двух такихжурналов выписывается одним учителем сколько было учителей? Сколько быложурналов выписано? Сколько номеров журналов они получили за год, если всежурналы были ежемесячными?
Решениезаключается в правильном построении графической схемы. Обозначим журналыточками. Каждому журналу соответствует три подписчика, т.е. из каждой точкивыходят три ребра, каждое ребро соединяется еще с одной точкой (рис. 33).Каждая пара из полученных трех точек должна быть соединена отрезком. Послепроведения этих отрезков убеждаемся, что к графу нечего добавить.
Посмотревна схему, можно сказать, что журналов было четыре, а учителей 6. число журналовв год легко посчитать: 6*2 *12 = 144. Или 4*3*12= 144.
Прирешении некоторых задач требуются более сложные построения. Пусть ребята придутк ним сами, пусть попробуют использовать уже знакомые им методы.
Ещеодин метод решения теоретико-множественных задач, с которыми следует познакомитребят – это круги Эйлера.
Задача19. В школе зимой работали 3 секции (лыжная, хоккейная, конькобежная). Всего всекциях занималось 38 учеников. В лыжной — 21 человек, среди которых трое ещезанимались коньками, шестеро — еще в хоккейной секции, а один — сразу в трехсекциях. В конькобежной секции было 13 человек, среди которых пятеро занималисьсразу в двух секциях. Сколько человек заномалось в хоккейной секции?
хоккей коньки
/>
Лыжи
Рис.34.
МетодЭйлера (рис. 34) является незаменимым при решении некоторых задач, а такжезначительно упрощает рассуждения. Однако не всегда к задаче, с первого взглядапохожей на эту, нужно строить такую схему. Прежде, чем приступить к решениюзадачи, нужно проанализировать условия. Иногда с помощью арифметическихдействий решить такую задачу легче.
Задача20. Одна швейцарская община насчитывает 50 членов. Родной язык всех 50 членовобщины – немецкий, но 20 из них говорят еще по-итальянски, 35 из них владеютфранцузским и еще 10 не знают ни итальянского, ни французского. Сколько членовобщины говорят и по-французски, и по-итальянски?
Решение.50 – 10 = 40 — владеют иностранным языком (кроме немецкого). 20 + 35 = 55 и 55– 40 = 15 – членов общины говорят и по-французски, и по-итальянски (рис. 35).
/>
Рис. 35.
1.4 Буквенныеребусы и задачи со звездочками
Методомподбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примерысо звездочками.
Такие задачиразличны по сложности и схеме решения. Рассмотрим один такой пример.
Например:
к а ф т а н бу л о к с о л д а т и
к а ф т а н бы л о * * ч е р т и
т р и ш к а мн о г о * *
* *
*
* * * *
* * * * *
7 * * * * *
* * * *
* * * * *
* * * 7 7 7 0
б у к в а. 6 =с л о в о
Задача 21. Г + О = Л – О = В О = Л – О = М – К = А
Решение: Г + О= Л – О = В * О = М – К = А. Т.к буква О встречается в примере больше других,выбор вариантов начпем с нее, О ≠ 0, т.к. О ≠А, а В • О = А;
О ≠ 9,т.к. Г + О = А, кроме того, Л > О на А единиц
О ≠ 8,т.к. Г + О = А и Л > О получим, что Л = А = 9.
Из равенства В• О = А следует, что нужно исключить также варианты О = 7, О = 6, О = 5 иначепри минимальном В = 2 (В•О) – двузначное число. Пусть О = 4, тогда В = 2, а А =8, но Л – 4 = 8 не имеет смысл ни при одном Л, значит О ≠ 4.
Пусть О = 3,тогда в = 2 или В = 3. Если В = 2, то А = 6, Л = 9, но Г = 3 = О. Если В = 3, то А = 9, Л = 12. Значит О ≠ 3
Пусть О = 2. Г + 2 = Л – 2 = В, 2 = М – К = А.
Если В = 3, тоА = 6, Г + 2 = 6, Г = 4, Л – 2 = 6, Л = 8, М – К = 6, М = 7 и К = 1.
Если В = 4, тоА = 8, Л = 10 (противоречит условию, что Л – цифра).
Пусть О = 1.Тогда Г + 1 = Л – 1 = В, 1 = М – К = А, В = А, что неверно.
Задача имеетединственное решение:
Г = 4; О = 2;В = 3; М = 7; К = 1; А = 6; Л = 8.
4 + 2 = 8 – 2= 3 • 2 = 8 – 2 = 7 – 1 = 6.
Задача 22.Перед началом бегов на ипподроме четыре знатока из числа зрителей обсуждалишансы фаворитов А, В или С.
Первый: Заездвыиграет А или С.
Второй: Если Апридет третьим, то С не выиграет.
Третий: Если Абудет вторым, то выиграет В.
Четвертый:Вторым придет А или В.
После заездавыяснилось, что три фаворита А, В, С действительно заняли первые три места ичто все четыре утверждения знатоков оказались истинными. Как фавориты поделилимежду собой три первых места?
Решение. Этазадача по схеме решения похожа на задачу 10. Возможны 6 вариантов исхода заезда(з!):
А В С
А С В (4)
В С А (1), (4)
В А О (1)
СА В (3)
СВ А (2).
Справауказаны утверждения, которым противоречат эти варианты. Всем условиям задачиудовлетворяет расположение мест, при котором фаворит А пришел первым, В –вторым и С – третьим.
Этазадача не является сложной, она может быть использована в качестветренировочной, намечающей подход к решению задач, которые требуют установитьистинность или ложность множества высказываний.
1.5Истинностные задачи
Задачи,в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовемистинностными задачами.
Задача23. В одном старинном задачнике суд Париса описан следующим образом: богиниГера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из нихпрекраснее. Представ перед Парисом, богинивысказали следующие утверждения:
1. Афродита: Я самаяпрекрасная.
2. Афина: Афродитане самая прекрасная.
3. Гера: Я самаяпрекрасная.
4. Афродита: Гера несамая прекрасная.
5. Афина: Я самаяпрекрасная.
Парис,прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок,которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему во чтобы то ни стало, нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Париспредположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а всеостальные утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис, исходя изтакого предположения, выпести то решение, которое ожидали от него богини, иесли мог, то кто из богинь самая прекрасная?
Решение.Для удобства решения высказывания в тексте задачи пронумерованы:
1– 5. Составим таблицу (рис. 36) Афродита Афина Гера 1 2 3 4 5
Рис.36.
Поочереднопредполагая каждую богиню самой прекрасной, проверим, не приведет ли этопредположение к противоречию с условием задачи. «+» — истинное высказывание,«-» — ложное. Пусть Афина самая прекрасная из богинь. Тогда высказывание 5 и 2истинны, а все остальные ложны. Но если ложно высказывание 3, тогда 4 должнобыть истинно, и Афродита говорит правду, получили противоречие условию, чтоправду говорит только прекраснейшая из богинь. Значит, первоначальноепредположение неверно: Афина не самая прекрасная. Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что самая прекраснейшая из богинь – Афродита.
Задачаимеет единственное решение.
Задача24. До царя Гороха дошла молва, что наконец-то убили Змея Горыныча. Царь знал,что это мог сделать Илья Муромец, Алеша Попович или Добрыня Никитич. Вызвалцарь к себе богатырей. И вот они, запыленные, явились ко двору. Стал спрашиватьих царь. Трижды каждый богатырь ответ держал.
ДобрыняНикитич:
— Я не убивал Змея.
— Я выезжал в заморские страны.
— Змея убил Алеша Попович.
ИльяМуромец:
— Змея убил Алеша Попович.
— Если бы я убил его, то не сказал бы.
— Много еще на земле нечистой силы осталось.
АлешаПопович:
— Не убивал я Змея Горыныча.
— Я не ищу, какой бы подвиг совершить.
— И взаправду Добрыня Никитич в заморские страны уезжал.
Царьузнал также, что дважды говорил правду каждый богатырь, а один раз луковал. Ктоже убил Змея Горыныча?
Ответ:Муромец.
1.6Задачи типа «Шляпы»
Наиболееизвестна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своейголове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логическихрассуждений.
Задача25. «Какого цвета береты?». Три подруги, Аня, Шура и Соня, сидели в амфитеатреодна за другой без биретов. Соне и Шуре нельзя оглядываться назад. Шура видиттолько голову сидящей ниже ее Сони, а Аня видит головы обеих подруг. Изкоробки, в которой находятся 2 белых и 3 черных берета (об этом все три подругизнают), вынули три и надели их на головы, не говоря о том, какого цвета берет;два берета остались в коробке. Когда спросили Аню о цвете берета, который ейнадели, она не сумела ответить. Шура слышала ответ Ани и сказала, что она такжене может определить цвет своего берета. Может ли Соня на основании ответовсвоих подруг определить цвет своего берета?
Решение.Рассуждать можно таким образом. Из ответов Ани обе подружки заключили, что ониобе не могут иметь на голове двух белых беретов. (Иначе Аня сразу бы сказала,что у нее на голове черный берет). Они имеют либо два черных, либо белый ичерный. Однако, если бы на голове Сони был белый берет, то Шура тоже сказала,что не знает, какой у нее берет на голове, то, следовательно, у Сони на головечерный берет.
Задача26. «Бумажные рыбки». Три учительницы увлеченно беседовали, сидя на скамейке вовремя перемены. Они даже не заметили, как расшалившиеся дети прикрепили им наспины бумажных рыбок. Поднявшись со скамьи, все три начали смеяться. Каждая изних думала, что ее коллеги смеются друг над другом, а сама она не стала жертвойшалунов. Внезапно одна из учительниц перестала смеяться: она поняла, что у неесамой – рыбка на спине. Как она пришла к этому выводу?
Решение.Пусть А, В, С – три учительницы. А сказала себе: «В видит, что С смеётся, но Вне знает, что у нее – рыбка на спине. Значит, если бы у меня не было рыбки наспине, то В должна бала бы удивиться, почему смеется С. Этого не происходит. Впродолжает от души смеяться, не обнаружив, что находится у нее на спине. Поэтомуневозможно, чтобы у меня на спине не было рыбки». Внезапно поняв это, Аконечно, перестала смеяться.
Задачидовольно сложны для понимания и требуют некоторой подготовки, некоторого опыталогических рассуждений. Однако один раз встретившись с такой задачей, учащиесяуспешно решают ей подобные почти не затрудняясь.
1.7Задачи типа «Два города»
взадачах типа «Два города» рассуждения еще усложняются. Эти задачи требуютпостановки вопроса учащимися, т.е. анализа исходных данных и информации,которую необходимо получить. Рассмотрим пример.
Задача27. «Марсиане». Наблюдения показали, что планета Марс почти пустынна, заисключением двух больших городов: Марс-Полиса и Марс-Сити. Жители Марс-Полисаникогда не лгут, а жители Марс-Сити не говорят правду. Марсиане свободноперемещаются из одного города в другой, поэтому некоторые жители Марс-Полисамогут находится в Марс-Сити, и наоборот. Однажды два американских аэронавтаоказались в одном из этих городов. Увы, они не знали, в каком именно. Когдаодин марсианин приблизился к ракете, первый аэронавт спросил у него (на языке,который должен был понимать марсианин), находятся ли они в Марс-Сити.
— Нет, — ответил марсианин, который, может быть, и солгал (мы забыли сказать, чтонеразговорчивые марсиане на все вопросы отвечали только «да» или «нет»). Тогдавторой аэронавт задал марсианину очень хитрый вопрос, который позволилаэронавтам определить, в каком городе они оказались. Что это был за вопрос?
Решение.Второй аэронавт спросил: «Вы живете здесь?». Если аэронавты находятся вМарс-Полисе, то ясно, что марсианин ответит «да», откуда бы родом он ни был.Если они находятся в Марс-Сити, то марсианин, очевидно, ответит «нет». Кактолько аэронавты узнают, в каком городе они находятся, их первый вопроспозволит легко определить, откуда родом встретившийся им марсианин.
Интересныезадачи такого типа приведены в книгеРеймонда Смаллиана «Принцесса и тигр».
Задача28. «Рыцари, плуты и нормальные люди». На одном острове, где живут рыцари,плуты и нормальные люди, рыцари всегда говорят только правду, плуты всегдалгут, а люди, которых принято называть нормальными, в одних случаях лгут, а вдругих высказывают правду. Однажды я посетил этот остров и встретил двух егообитателей. А и В. еще раньше мне было известно, что один из них рыцарь, адругой – нормальный человек, однако я не знал, кто же именно. Я спросил А,является ли В нормальным человеком, на что А ответил мне вполне определенно.Тут я сразу понял, кем являются аА и В. Итак, кто же из этих обитателей острованормальный человек?
Решение.Если бы А ответил «да», то он мог оказаться либо рыцарем, либо нормальнымчеловеком и лгал. Однако в этом случае невозможно узнвть точно, кем является Ав действительности. Если бы А ответил «нет», то он не мог бы оказаться рыцарем,поскольку в этом случае В был бы нормальным человеком, а сам А лгал. Поэтому Адолжен был быть нормальным человеком. Однако выяснить, кем же является А насамом деле, я мог лишь в одном случае, если бы А сказал «нет». Значит Адействительно нормальный человек.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я изучила логические задачи и методы их решения. В курсовой работе специально был подобранинтересный материал, который не встречается в школьном курсе, а если ивстречается, то менее ярко преподносится. В эту курсовую работу было внесеномного примеров и задач, которые помогают лучше понять данный материал.
Важно ненаучить, а увлечь предметом школьника. Если это удастся, то ребенок сам будетизучать те аспекты предмета, которые не предусмотрены школьным курсом.
Думаю, даннаяработа может послужить методическим пособием для проведения краткогофакультатива, но нужно учитывать, что единой системы
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ
1. А.В. Дмитриева,А.Ф. Овчиников. «Логические задачи. Методы решения.». Новосибирск 2005.
2. Бизам Д., ГерцогЯ. Игра и логика. Москва: Мир, 1975.
3. Арифметика:Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин./ — 2-е изд. – Москва: Просвещение,2002.
4. Арифметика:Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин./ — 2-е изд. – Москва: Просвещение,2002.
5. Беррондо М.Занимательные задачи. Москва: Мир, 1983.