--PAGE_BREAK--Понятие сложной функции. (композиции функции)
Пусть даны отображения и , такие, что пересечения и — непустое множество Æ.
Тогда вводится новое отображение, , которое включает новой функции
и закон соответствия получается по формуле:
— отображ. сложная функция (композиция).
Пример:
Обратная функция:
При взаимооднозн. отображении Xна Yс пом. функции эти множествасимм. относительно этого отображения, т.е. наряду с функцией существует обр. ф-я
Д/з: называется обратной взаимооднозн. ф-и , если каждому элементу ставят в соотв. так, что .
Замечание: yвзаимнообр. ф-й D(f)и E(f)мен. местами
Замечание 2: если для обр.функций сделать замену переменных , чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр. 1 и 3 квадратов.
Пример: обр. ф-я –
Элементы теории пределов.
Теория пределов формализует (перев. на мат. яз.) фразы: и Зн-я неогранич. приалинс-ся к числу A, когда xнеогр. приалинс-ся к числу ф; или nЗн-я неогр. приыл. к Aтогда, когда и т.д.
Д/з: Р/м
втом числе и для x, сколько угоднок 0, т.е. хотя зн-я этой т. не имеет.
Определение предела в терминах окресностей.
Число А называется пределом при , и обозначается , если для любой e-окресности числа А найдется проколатая окресность, так что ля всех х из этой окресности значения будут принадлежать e-окресности числа А.
Конечный предел ф-ии (А-вещ. число)
Число А-конечный предел ф-ии в т. а, если
Частные случаи (геометрическая иллюстрация)
Конечный предел в конечной т.
а – вещественное число
Общие свойства конечного предела
1. Если — const, то ее предел сущ. и равен этой же const.
, то
2. Если конечный предел сущ., то он единственный
3. Для f(x), имеет конечный предел в т. а, сущ. такая прколотая окрестность этой т., в которой ф-ия ограничена.
4. Если ф-ия имеет в т. а, конечный предел, неравный нулю то найдется такая в т. а, в которой — ограниченная.
5. Если f(x), имеет в т. а отрицательный конечный предел, то найдется такое значение этой точки, в котором ф-ия отрицателная.
Бесконечно малые ф-ии и их свойства:
Опр:— бесконечно малая при , если
Свойства:
Пусть и являются бесконечно малыми при , а — ограничена, то бесконечно малыми является алгебраическая сумма ф-ий f(x)иj
(x), произведения их и произведения ф-ий на ограниченную.
Представвление ф-ии, имеющей конечный предел.
Теорема: Для того чтобы ф-ия имела конечный предел А в точке х=а, небходимо и достаточно, чтобы =А+a
(х), где a
(х)— бесконечно малая при .
Доказательство:
Алгебраические свойства фунцций имеющих конечный предел в точке а.
Пусть , тогда:
1. Существует предел алгебраической суммы этих ф-ий, равный алгебраической сумме этих пределов.
2. Существует предел произведения ф-ий Þпроизведение пределов
3. Если предел знаменателя неравен 0 и B неравно 0 то
Следствие.
Из 1 и 2 следует, что константы можно выносить за знак предела
Бесконечно большие и их свойства
Опр. Ф-ия называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности.
Свойства
Пусть и — бесконечно большие ф-ии в точке а.
Ф-ия j
(х) имеет предел в точке а, отличный от 0
Ф-ия a
(х)и b
(ч)– бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий– бесконечно большая ф-ия.
2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел — бесконечно большая.
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.
Доказательство 2):
Доказательство 3):
Односторонние пределы в конечной точке и их связь с пределом в этой точке.
В определении предела окрестности точки а – симметричный интервал с центром в этой точке, т.е. требуется существование значений ф-ий как справа от точки а, так и слева от нее.
Когда а – граничная точка D(f)— такая ситуация невозможна. В этом, случае вводится понятие одностороннего предела, в определении которого фигурирует левые и правые полуокрестности точки а
— левосторонний предел, если в левой dполуокружности точки А, значения ф-ии лежат в e-окрестности точки А
Аналогично дается определение правостороннего предела.
Теорема: Для того, чтобы в точке а существовал предел ф-ии, необходимо и достаточно существования и равенства левостороннего и правостороннего пределов
Доказательство:
1. Необходимость:
2. Достаточность:
продолжение
--PAGE_BREAK--