--PAGE_BREAK--1) во множестве А имеется наименьший элемент a;
2) для любого аА существует точная нижняя грань а’ во множестве {x| ax, x A};
3) для любого подмножества Х множества А из того, что а0Х и Х
содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.
Доказательство.
Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип , то есть А изоморфно множеству N.
Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а0.
Рассмотрим отображение f: N A, заданное таким образом: f (0) = a,
f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m N, пусть для определённости nm. Из условия (2) следует, что f (n) f (n))’ f (m),
то есть f(n) f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.
Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип .
Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип . Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■
Определение 2.5. Порядковым типом * называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…
Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа *.
Доказательство.
Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа *. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа *.
Пусть множество А не содержит подмножество типа *. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элементb2, для которогоb2 b1. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n N элемент bn+1 B, причём:
bn+1 bn.
Получили множество {b1, b2, …, bn,… .} которое является подмножеством множества А и имеет тип * - противоречие. ■
§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.
Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).
Определение 2.6. Порядковое число меньше порядкового числа (), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .
Пусть - некоторое ординальное число. Обозначим W() – множество всех ординальных чисел, меньших .
Теорема 4.1. Отношение , установленное для ординальных чисел, превращает множество W() всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа , во вполне упорядоченное множество типа .
Доказательство.
Из определения 2.6 следует, что множество W () находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков Ахпроизвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки Ахвзаимно однозначно соответствуют элементам х А, то имеем взаимно однозначное соответствие = f (х), х А, W() между множеством W() и множеством А типа . При этом соответствии из х x’ в А следует, что Ах есть отрезок множества Ах’, значит, = f (x) = f (x’) в W (), и обратно. ■
Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:
1) А В = Х;
2) А В = Æ;
3) для любых х А и у В выполняется неравенство х
Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел и всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо , либо = , либо > .
Доказательство.
Пусть даны два ординальных числа и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что и могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: = , , > .
Обозначим через D множество W () W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D W (). Если D = W (), то есть порядковый тип множества W (), то есть = . Пусть D W (). Разбиение W () = D(W()\D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (). В самом деле, пусть х D, у W ()\D. Так как W () линейно упорядочено, то либо х y, либо у х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как хW (), хW (), то одновременно х и х . Если бы было у х, то было бы у , у , то есть у D. Итак, доказано, что х у для любых х D, у W ()\D, а это и означает, что (D, W ()\D) есть сечение в W (). Пусть есть первый элемент в W ()\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D, то есть есть порядковый тип множества D, = и .
Аналогично доказывается, что .
Однако, неравенства и не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.
Таким образом, имеются лишь следующие возможности:
1) = , = и, значит, = ;
2) = , = и, значит, ;
3) , = и, значит, . ■
Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.
Доказательство.
Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’ А имеет наименьший элемент.
Возьмём какой-нибудь элемент а’ A’. Если а’ – наименьший из чисел
х А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’) A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■
Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество АВ, состоящее из всех элементов аА и bB. Превратим множество АВ в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если аa’ в A или bb’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же аА, bВ, то положим ab в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если и есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой + порядковых типов и .
Теорема 4.4. Пусть - какое-нибудь ординальное число. Тогда +1 есть ординальное число, непосредственно следующее за .
Доказательство.
Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа . По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами аА. Тогда A= A’a’, то есть +1.
Всякое ординальное число ’+1 является типом некоторого отрезка Аx’ множества A’. Но если х = а’, то Аx’ = A’a’ = A и ’ = ; если же x = a a’, то Ax’ = Aa и ’ . ■
Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть и - их порядковые типы. Если А В, то .
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что . Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■
Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х (данных в любом порядке) есть ординальное число , не меньшее, чем любое из данных слагаемых х.
Доказательство.
Пусть дано некоторое ординальное число и каждому поставлено в соответствие ординальное число х. Пусть - сумма по типу всех ординальных чисел х; обозначим её через =.
Если Х - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х, то сумма вполне упорядоченного (по типу W ()) множества множеств Х есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является . Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое измножеств Х, то на основании теоремы 4.5 для любого х имеем х .■
Теорема 4.7.Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.
Доказательство.
Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов х множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х. ■
§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W(1 ) И ЕГО СВОЙСТВА.
Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами, - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.
Обозначим 1 – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(1) – множество всех ординальных чисел, меньших 1. По теореме 4.1 множество W(1) является вполне упорядоченным и имеет тип 1, то есть |W(1)| = 1 – первая несчётная мощность.
Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.
Предложение 5.1. 1 – предельное ординальное число.
Доказательство.
Если 1, то - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число . Следовательно, 1. Таким образом, никакое число 1 не является предшествующим 1. ■
Предложение 5.2. Среди чисел множества W(1) бесконечно много предельных ординальных чисел.
Доказательство.
Пусть 1, тогда - конечно или счётно. Тогда - счётно, следовательно, 1, поэтому 1).■
W(1) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W(1) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:
1. Хаусдорфовость. Пространство W(1) является хаусдорфовым пространством ([1]).
2. Нормальность. Пространство W(1) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).
3. Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W(1).
Определение 2.10. Множество окрестностей точки х образует фундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х), для которой х.
Любая точка пространства W(1) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого > 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [+1; ] = ={x: x +1}, где образует фундаментальную систему окрестностей точки .
4. Локальная компактность.
Лемма 5.3.W() компактно тогда и только тогда, когда не является предельным ординальным числом.
Доказательство.
Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что - предельное ординальное число. Рассмотрим множество «хвостов», то есть множество вида W()\W() = {xW():
x }, где – некоторое ординальное число: . Это замкнутые множества. Очевидно, что пересечение конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W() не компактно — противоречие. Следовательно, - не является предельным ординальным числом.
Достаточность. Проведём доказательство по индукции:
1.W(0) = Æ — очевидно компактно.
2.Индукционное предположение: пусть ’ = +1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W() компактно для любого +1.
Пусть - семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W(+1). Так как точка покрыта, то существует U, : [+1; ] U. По индукционному предположению пространство W(+1), являющееся подпространством W(+1), компактно, так как +1+1. Поэтому конечное подсемейство F из покрывает W(+1). Тогда F{U} – это конечное подпокрытие из , которое покрывает W(+1). Следовательно, W(+1) компактно. ■
Из этой леммы следует, что пространство W(1) не является компактным, так как 1 — предельное ординальное число.
Предложение 5.4.Пространство W(1) локально компактно.
Доказательство.
Возьмём произвольную точку из W(1). Так как W(1), то 1 и +11 (так как 1 – предельное ординальное число). Следовательно, +1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки возьмём открыто-замкнутое множество U() = {|
+1} = {| } = W(+1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку . Следовательно, W(1) локально компактно. ■
5. Счётные множества в W(1).
Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(), если оно не ограничено сверху, т. е. ( ) ().
Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W(1) не кофинально.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(1) существует счётное кофинальное множество S.
Докажем, что W(1) = :
Очевидно, что W()W(1) для любого S W(1).
Докажем, что W(1) .
Пусть W(1). Так как S кофинально, то существует S: . Следовательно, W().
продолжение
--PAGE_BREAK--