XШ районная научно-практическаяконференция учащихся
секцияматематики
Лист Мёбиуса
Джавадова Сабина
Школа № 41, 10 класс
г.Новокузнецк,2009 год.
Введение
Рассказывают, что открытьсвой «лист Мёбиуса» помогла служанка сшившая неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинант Мёбиус, ученик знаменитогоК.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу,включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своейработы, и. не дождавшись, опубликовал её результатов в 1858 году.
У листа Мёбиуса всего однасторона, и это поразило немецких профессоров, и потому что каждая поверхностьимеет две стороны.
Лист Мёбиуса
/>
Рассказывают, что открытьсвой «лист Мёбиуса» помогла служанка сшившая неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в1858 году Лейпцигский учёный Август Фердинант Мёбиус, ученик «короляматематиков» К.Ф.Гаусса и многих других из тех, кому математика обязанасвоим развитием, послал в Парижскую академию работу, включающую сведения обэтом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и. не дождавшись,опубликовал её результаты.
Чем же интересен этотлист? А тем, что у листа Мёбиуса — всего одна сторона. Мы же привыкли к тому,что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипеднаяили волейбольная камера) − две стороны.
Лента Мёбиуса обладаетлюбопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту пополам по линии,равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длиннаядвухсторонняя(рис.1) (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента,которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту лентуразрезать посередине, получатся две намотанные друг на друга (рис.2). Другиеинтересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя илиболее полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами,то получится лента, завитая в узел трилистника (рис.3). Разрез ленты Мёбиуса сдополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромнымикольцами.
Чтобы сделать листМёбиуса надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концыполоски, предварительно перевернув один из них. Находясь на поверхности листаМёбиуса, можно было бы идти по ней вечно.
Попробуйте покрасить однусторону листа Мёбиуса — кусок за куском, не переходя через край ленты. И чтоже? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! «Если кто-нибудь попробует раскрасить „толькоодну“ сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всюв ведро с краской»,— пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходнойкниге «Что такое математика».
Неожиданность номер три:граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из двух частей, как у обычногокольца.
Свойство односторонностилиста Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ременьсделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее,чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию (рис. 4).
Лист Мёбиуса один изобъектов в области математики под названием топология (по-другому «геометрияположения»). Удивительные свойства листа Мёбиуса— он имеет один край, однусторону,— не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния,угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением такихсвойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря накажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактнымиматематическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.
Если на внутреннююсторону обычного кольца посадить паука, а на наружную— муху и разрешить имползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук несможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса,то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!
В топологии изучаютсясвойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.
Эксперименты длявсех. Возьмёмленту, разделим каждую её сторону на три одинаковые полоски и склеим,перекрутив один раз лист. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента былаперекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом ещё два остальных.Всего три кольца, каждое той длины, что и первоначальное, но второе меньшейширины. Но у нас лист Мёбиуса. И, не отрывая ножниц от бумаги, разрежемпунктирными линиями сразу и получим два сцеплённых кольца(рис.5). Одно из нихвдвое длиннее исходного и перекручено два раза.
Второе — лист Мёбиуса,ширина которого втрое меньше, чем у исходного.
Лист Мёбиуса— неориентируемая поверхность (поверхность допускающая ориентацию) с краем.
Лист Мёбиуса — это такжепространство нетривального расслоения над окружностью с слоем отрезок.
Лист Мёбиуса — двухмерноекомпактное множество (т.е. поверхность) с границей. Это стандартный примерповерхности, которая не ориентируема. Лист Мёбиуса — это также стандартныйпример, используемый, чтобы проиллюстрировать математическое понятие пучокволокон.
Подобные объекты. Близким «странным»геометрическим объектом является бутылка Клейна (рис.6) — (определённая не ориентируемаяповерхность). Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лентМёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создаваясамопересечения, невозможно.
Искусство итехнология. ЛистМёбиуса служил вдохновением для скульптур и графического искусства. Эшер былодним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своихлитографий этому математическому объекту. Одна из известных— лист Мёбиусапоказывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (рис.7).
Лист Мёбиуса также частовстречается в научной фантастике, например в рассказе «Стена Темноты».Иногда научно- фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная можетбыть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. В рассказе «лист Мёбиуса»автора А.Дж.Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которойстановится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чегона этой линии начинают исчезать поезда.
Существовали техническиеприменения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейра выпонялась в виде лентыМёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность лентыравномерно изнашивалась. Также в системе записи на непрерывную плёнкуприменялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Устройство под названием«резистор Мёбиуса— это недавно изобретённый электронный элемент, которыйне имеет собственной индуктивности.
Задачи. 1)Каждые две из пяти произвольнозаданных в плоскости точек A, B, C, D, E соединены прямой. Площадивозникающих при этом пяти треугольников EAB,ABC, BCD, CDE, DEA заданы;требуется выразить через них площадь пятиугольника ABCDE. Вместо площадей этих пяти треугольников можно такжесчитать заданными />площади пятичетырёхугольников: BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD, — и искать выражение через нихплощади пятиугольника ABCDE(рис.8).
Площадь /> пятиугольника ABCDE у которого площади треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA равны соответственно a, b, c, d,e есть корень квадратичного уравнения
/>
Не менее интересно и то,что площадь /> пятиугольника ABCDE, у которого площадичетырёхугольников BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD равны соответственно /> есть корень „такогоже“ квадратного уравнения
/>
Мёбиус рассматривает нетолько выпуклые многоугольники, но и учитывает что порядок, в котором следуютточки A, B, C и точки B, C, D, соответствует обходу по сторонам этитреугольников по часовой стрелке, а порядок, в котором следуют точки C, D, E—обходу по сторонам треугольника CDE против часовой стрелки. Более того,Мёбиус рассматривает не только „обычные“ многоугольники, но и такие,у которых стороны могут пересекаться не только в вершинах многоугольника (рис.9).Икак итог, можно сказать— если каждые две точки какой- либо системы и точек,расположенных в плоскости, соединить прямой линией, и если считать заданнымиплощади (независимые между собой) каких-либо 2n-5 многоугольников, возникающих от пересечения этих прямых,то через них можно выразить площадь каждого из остальных многоугольников».
2)А вот и ещё одназадача,— в пятиугольнике ABCDEзаданы площади p, q, r, s, t треугольников ACD, BDE, CEA, DAB, и EBC. Нужно через них выразить площадь пятиугольника ABCDE. А вот и ответ:
/>
Заключение
В начале своей работы яставила перед собой цель— изучить все особенности листа Мёбиуса.
Написав доклад, яубедилась в том, что Лейпцигский профессор Август Фердинант Мёбиус в 1858 годусделал масштабное открытие, за которым скрывались многие факты.
Я достигла своих целей,рассмотрев полную информацию о листе Мёбиуса.
Литература
1. Энциклопедия «Япознаю мир»
2. Внеклассныезадания 8-9 класс (А.С.Громов)
3. w.w.w.Rambler.ru
4. Научно-популярныйжурнал «Квант» 1975год №7, 1977 №7.
Приложение
/>
Рис. 1
/>
Рис. 2
/>
Рис. 3
/>
Рис. 4
/>
Рис.5
/>
Рис. 6
/>
Рис. 7
/>
Рис. 8
/>
Рис. 9