Реферат по предмету "Математика"


Математические модели окружающей среды

Практическая работа
по курсу «Математические модели окружающей среды»

Задано временное изменение уровня воды в некоторых пунктах запериод примерно в 170 лет.
Применить методы математической статистики для оценкихарактеристик и качества имеющихся данных наблюдений. Выполнить прогноз подъемауровня воды на будущее и проверить качество прогноза на уже имеющихся данных.
1.        Рассчитатьмоменты ряда (среднее и среднеквадратичное значение), построить функциюраспределения и плотность функции распределения. Выполнить ее аппроксимациютеоретическими зависимостями.
 
/>
Рис. 1.1. Изменение уровня воды за период в 102 года
Минимальный уровень воды = 0.06328, максимальное значение уровня =0.6792
Заменим простой статистический ряд на статистический ряд сменьшим числом слагаемых, равным 100. И для такого ряда рассчитаем частотусобытия (в качестве события берем средний уровень воды).
Таким образом, имеем 100 интервалов, для каждого вычисляется частотасобытия (число событий в статистическом ряде, когда X = x, к общему числусобытий)
/>.                                             
 
В нашем случае имеем N=1024 события, а m – число уровней,попавших i-ыйинтервал Очевидны свойства этой частоты
/>
Частоту различных уровней воды можно изобразить графически
/>
Рис. 1.2. График зависимости частоты от среднего уровняводы

Статистическая функция распределения есть «частота» события Хx в данном статистическом интервале
/>.          
/>/>
/>Рис. 1.3. Функцияраспределения
/>Эта функция F*(x) являетсянеубывающей со следующими пределами:
/>          F*(x ® –¥) = 0,             F*(x ® + ¥) = 1.                              
С функцией распределения F(x) связана плотность функциираспределения f(x)
/>.                                         
которая удовлетворяет следующим соотношениям:
f(x) ³ 0,       ò f(x) dx = 1,        

/>
Рис. 1.4. Плотность функции распределения
Была выполнена аппроксимация плотности функции распределениятеоретическими зависимостями: полиномами 6-ой, 9-ой, 15-ой степени,тригонометрическими многочленами. Оптимальным приближением оказался полином 9-ойстепени.
В качества критерия оптимальной аппроксимации использоваликритерий Пирсона
/>
/>
Рис. 1.5. Аппроксимация плотность функции распределенияполиномом 9-ой степени

Для нового ряда по имеющимся данным можно рассчитать математическоеожидание, характеризующее среднее значение уровня воды
/>,                             
и среднеквадратичное отклонение, характеризующее среднийразброс этих значений:
s*=/>.
где /> — дисперсия:
/>
xi – среднее значение случайной величинывнутри разряда.
В нашем случае, средний уровень воды равен 0.41, асреднеквадратичное отклонение – 0.119
2. В какойстепени данный ряд является стационарным? На каких временах данный ряд можносчитать стационарным? Дать оценки моментов для «кусков» ряда и построитьгистограммы оценок
Для того чтобы ряд был стационарным, должны быть выполненыусловия
-           корреляционнаяфункция не зависит от времени
/>

математическое ожидание />
-           дисперсия/>
-           
Для проверки стационарности делим исходный ряд на />кусков, и для каждоготакого куска проверяем выполнение трех условий.
– Корреляционная функция.
Фиксируем />, где N – количество точек.
Считаем автокорреляционную функцию для первого отрезка, азатем – корреляционную функцию для каждых двух соседних кусков. Получаемзначение корреляционной функции при фиксированном />для каждого куска ряда.
Если процесс стационарный, то все значения должны совпадатьсо значением автокорреляционной функции.
/>
Рис. 2.1. Графики зависимости корреляционной функции отномера отрезка при различных />.
В качестве оценки корреляционной функции вычислилисреднеквадратичное отклонение от значения автокорреляционной функции.

/>
Рис. 2.2. Зависимость среднеквадратичного отклонения от />
– Математическое ожидание
Для каждого «куска» ряда вычисляется математическое ожидание />(/>; />). Затем находим среднее от/> и среднеквадратичноеотклонение s*=/>.
-           Дисперсия
Для каждого «куска» ряда вычисляется дисперсия />(/>; />). Затем считаем среднее от/> и среднеквадратичноеотклонение s*=/>.
/>
Рис. 2.3. Зависимости среднеквадратичного отклонения D(M) и D(D) от />.

В нашем случае, критерием стационарности является минимумсреднеквадратичного отклонения от значения автокорреляционной функции, минимум /> и />.
Этому условию удовлетворяет «кусок» ряда, длиной />.
Таким образом, исходный ряд стационарен на периоде T=21 год.
1. Оценка математического ожидания
Проверяем
Ø  состоятельность оценки для каждогостационарного «куска» ряда.
/>,  
где /> – математическоеожидание на стационарном периоде
/> – среднее значение в зависимости от числа данных
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
Ø  несмещенностьоценки

M [a*] = a,
 
Номер интервала
1
2
3
4
5
6
7
8
M [a*] 0,40938 0,41218 0,41058 0,41152 0,40758 0,41118 0,41259 0,40985
a 0,40714 0,40661 0,40437 0,4080 0,40492 0,40906 0,41206 0,41018
2. Оценка дисперсии
Проверяем
Ø  состоятельность оценки для каждогостационарного «куска» ряда.
/>,  
где /> – среднеквадратичноеотклонение на стационарном периоде
/> — среднеквадратичное отклонение взависимости от числа данных
 
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
 
Ø  несмещенностьоценки
M [a*] = a,
 
Номер интервала
1
2
3
4
5
6
7
8
M [a*] 0,11862 0,11507 0,11944 0,1235 0,12227 0,11891 0,11709 0,1185
a 0,11477 0,11391 0,12122 0,11959 0,11959 0,11674 0,12163 0,11842
 
3. Вычислить куммулятивную частоту превышения уровня и сделатьоценки ее стационарности
/> – куммулятивная частота превышения уровняа.

/>
Рис. 3.1.Зависимость куммулятивной частоты от уровня превышения.
Разбиваем исходный ряд на на /> отрезков,для каждого «куска» ряда строим функции зависимости куммулятивной частоты отуровня превышения, и оцениваем стационарность полученных
n-зависимостей критериям, полученным в п. 2.
Анализируя оценки корреляционной функции, математическогоожидания и дисперсии, находим период стационарности куммулятивной частотыпревышения уровня T=17.85 лет.
/>
Рис. 3.2. Оценка корреляционной функции

/>
Рис. 3.3. Оценки математического ожидания и дисперсии.
4. С помощью пуассоновской статистики дать долгосрочный прогнозпревышения уровня. На какой срок Вы гарантируете такой прогноз?
/>
– искомая формула вероятности того, что за периодвремени T произойдет ровно m превышений уровня a. Вероятностьвозникновения таких ситуаций определяется средней частотой превышения уровня a и временем прогноза. Изанализа данных за 176 лет на стационарном периоде находим функцию зависимости среднейчастоты от уровня a/>.
 
/>
Рис. 4.1. Средняя частота превышения уровня

Нас интересуют редкие события, например, превышение уровня />. Соответственно, среднюючастоту превышения такого уровня можно определить из графика />, и она равна/>0.0635
Зная среднюю частоту, теперь можно вычислить вероятность того, чтоза период, например, равный 220 лет, произойдет ровно 1,2,3,4.
/>
Рис. 4.2. Вероятность возникновения ровно m – аварий
Зависимости вероятности от прогнозируемого времени дляразного числа превышения уровня (m=1,2,3,4) являются немонотонными, и их максимумприходится на моменты времени />
Как видно изграфика, сначала более вероятным является только одно превышение уровня a=0.6, затем два, три…
Например, вероятность того, что за 62 года произойдет трипревышения уровня a=0.6, самая высокая и равна p= 0,19775.
5. Рассчитайте среднюю частоту появления выбросов и среднее времявыброса
Будем рассматривать выбросы (превышение уровня, например, a=0.6) за период, накотором исходный ряд стационарен.
Выброс характеризуется следующим условием

/>
Тогда можем найти среднюю частоту выброса за уровень а=0.6/>=0.063
Средняя продолжительность выброса для стационарных случайныхпроцессов
/>
Отсюда, зная функцию распределения случайной величины, порог,начиная с которого процесс ведет к катастрофе, и период прогноза, можнорассчитать среднее время катастрофической ситуации, в нашем случае – превышениезаданного уровня.
Среднее число выбросов за период T для стационарногопроцесса определяется:
/>
где P – среднюю частоту выброса
Таким образом, среднее число катастроф пропорциональнопродолжительности времени прогноза и падает с увеличением порогового значения,определяющего возникновение катастрофической ситуации.
Средняя продолжительность выброса может быть вычислена поформуле
/>

и она не зависит от прогнозируемого времени (для стационарныхпроцессов
Средняя продолжительность выброса за уровень а=0.6равна /> лет.
6. Попытайтесь сделать краткосрочный прогноз уровня воды,используя линейный и корреляционный анализ. Проверьте его на уже имеющихсяданных
 
1.        Линейный прогноз.
Рассматриваем наш ряд на стационарном периоде T. Выбираем n=127 точек. Тогда
/>
Нам известны значения />.Решая систему уравнений, находим коэффициенты />.
Тогда можем спрогнозировать любую точку ряда, например, />:
/>
В качестве проверки найденных коэффициентов сделали прогноз с22-ого по 33-ий год (рис. 6.1) и c 33-ого по 44-ий год (рис. 6.2).

/>
Рис. 6.1.Линейный прогноз с 22-ого по 33-ий год
/>
Рис. 6.2.Линейный прогноз с 33-ого по 44-ый год
2.Корреляционный прогноз
Рассматриваем наш ряд на стационарном периоде T. Тогда можем представитьв виде
/>
где

/>
Зная коэффициенты /> и /> можно спрогнозироватьуровень воды, например, на 33 года.
В качестве проверки найденных коэффициентов сделали прогнозна первые 22 года (рис. 6.3) и с 22-ого по 33-ий год (рис. 6.4). Каквидно из графиков. Результаты совпадают в пределах погрешности.
/>
Рис. 6.3. Корреляционный прогноз на первые 22 года

/>
Рис. 6.4. Корреляционный прогноз с 22-ого по 33-ий год
Анализируя полученные результаты и используя уже известныеданные, можно сказать, что корреляционный прогноз более точный.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Сучасна українська освіта в контексті перспектив світового розвитку
Реферат Изучение творческих проявлений подростков
Реферат Организация коммерческой работы в торговой организации (предприятии), пути её совершенствования
Реферат Потребительские предпочтения на рынке холодильников
Реферат Економічний розвиток провідних країн світу на початку XX ст
Реферат Основы педагогической науки
Реферат Хеллингер техники и приемы расстановка семейных систем
Реферат Шпоры по экономической теории
Реферат Веймарская республика в Германии: опасности массовизации.
Реферат Поэма А.С.Пушкина «Медный всадник» и ее проекция на литературу ХХ в. Опыт сравнительно-исторического исследования
Реферат Получение хлорида гексааминникеля
Реферат Судебная система Соединенных Штатов Америки
Реферат Abortion Essay Research Paper Abortion is the
Реферат Survival Of The Fittest Essay Research Paper
Реферат Штольц как антипод Обломова в романе И.А. Гончарова "Обломов"