Криволинейный интегралпервого рода
/>
/>
Криволинейный интегралвторого рода
1. Задачаприводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейногоинтеграла по координатам.
2. Свойствакриволинейного интеграла (рис. 1).
3. Вычисления
а) />
б) />
/>
Рис. 1
Займемся обобщениемпонятия определенного интеграла на случай /> когда путь интегрирования – кривая/>-кривая />, />, />. Т/н. А-работусилы /> приперемещении точки /> от /> к />
1. Разобьем на nчастей />: />
Обозначим /> вектор- хорда/>дуге.
Пусть /> предположим, что на /> тогда
Работа /> вдоль дуги /> вычисляетсякак скалярное произведение векторов /> и />
/>
Пусть />
/>
Тогда: />
Работа />
Если />, то этот предел примемза работу А силы /> при движении точки /> по кривой /> от точки /> до точки />
/>
/>,/>-не числа, а точки концылинии />.
/>/>
1. Свойства:
10/> определяется
а) подынтегральнымвыражением
б) формой кривойинтегрирования.
в) указаниемнаправления интегрирования (рис. 2).
/> /> />
/>/>/>
Рис. 2
/>
/>-можно рассматривать какинтеграл от векторной функции />
Тогда /> - если />-замкнутая то />-называютциркуляцией вектора /> по контуру />.
30/>
40/> не зависит оттого какую точку /> взять за начало/>
Вычислениекриволинейного интеграла
Криволинейные интегралывычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
/>
Рис. 3
/>-гладкая кривая.
/>
1. Если/>-непрерывны,/>-непрерывные.
/>-непрерывны по />, то />
Пределы А и В независят ни от способа деления /> на />, ни от вектора />
/>
/>
/>
/>
Следовательно: />.
/>
/>
2. В случае: />
/>
/> />
1. Формула Грина.
2. Условие независимости криволинейного интеграла отпути интегрирования.
3. Полный дифференциал.
Связь междуопределенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D,замкнутая, ограниченная линией /> (рис. 4).
интегралкриволинейный грин формула
/>
Рис. 4
/> непрерывны на />
/> -определена и непрерывна в замкнутой области D.
/> - определена инепрерывна в замкнутой области D.Тогда
/>
/>
/>
Аналогично
/>/>
/> -ФормулаГрина.
В частности: вычислениеплощадей фигур с помощью двойного интеграла.
/> />
/> />
/> />
/>
Пример.
/>
/> />
/>
Условие независимостикриволинейного интеграла от пути интегрирования
/>
Рис. 5
/>-/>непрерывные частныепроизводные в /> (рис. 5).
Каковы условиянезависимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
/>
/>
Теорема:/>-непрерывныв области />,тогда для того, чтобы
/> в /> (рис. 6)
/>
Рис. 6
/>
Пусть
/>
Обратно />
Т.д./>
Пусть /> из непрерывности /> и
/>/>/>-окрестность точки /> такая что /> в />
/> предположение неверно.ч.т.д.
Замечание. />
/> />
/>
Определение.Функция />-градиенткоторой есть вектор силы /> называется потенциалом вектора />.
Тогда />
Вывод:Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы путиинтегрирования.
Литература
1. ИльинВ.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989г.
2. ВиноградоваИ.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическомуанализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250летию МГУ 2005 г.
3. ШиловГ.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. ЛунгуК.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.