Контрольная работа по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения
1.Найти пределы функций:
а) />=; />=
= />= />=
= />= />= />= 0;
б) />= />=
/>=
/>=
/>= />= />=.6290;
в) />= />=
/>= />= />= 0;
г) />= />= />= />=
= ln />= />= ln e*/>= 1*56/3 = 18.667;
д) />; />= />=
= />= />;/>;
е) />= />= />=
= />= />+ />=
= /> — />= /> — />=
= />= 2.
2. Найти производные />функций:
а) />= />=
= />;
б) />= />= />= />;
в) />= />=
= />=
= />=
= />;
г) />=/>=
= />=
= />= />;
д) />= />;
е) />; />;
/>;/>
ж) />;/>; />;
/>; />;/>; />;/>;
з) />./>= />=
= />= />;
3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции
/>.
1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва. />отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.
3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4. Найдем асимптоты при />в виде у = kх+b. Имеем:
k =/>/>/>
b = />/>/>
Таким образом при />асимптотой служит прямая ОХ оси координат.
Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
/>/>/>=-1,19,
/>/>/>/>.
В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
Х
0
У
1,08
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем на возрастание и убывание:
/>/>=
/>./>/>0;
Это говорит о том что функция возрастающая.
Строим график:
/>
4. Найти интегралы при m=3, n=4:
а)/>= />/>
= />:
б)/>= />=/>пусть t = arcsin4x,
/>получим />= />= />.
в)/>= />/>
= />;
/>=/>=/>.
Решаем равенство и получим:
/>;
аналогично второе слагаемое
/>/>3/>-/>получим />= />
подставим все в последнее равенство
… = />+ />+9/>/>+/>-/>+С.
г)/>.= />= />=
= />=/>=
/>= ….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;
…= />= =/>= 2,527766.
5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:
а) />= />…
пусть t = arctg(x/4), тогда />и />подставим и получим
… = />;
б)/>= />/>
= />/>0,6880057.
6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: />, при m=3, n=4.
/>/>
/>/>х = -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)
X
-4.19
1.19
0
Y
0
0
-16
/>или />
Х
0
4
У
-4
0
Точки пересечения двух функций:
/>= />и />т.е.: />и />.
Площадь получиться из выражения
/>/>= />= 49,679.
График выглядит:
/>
7. Найти частные производные />функций при m=3, n=4:
а)/>=/>,
/>,
/>,
/>
б)/>. />;
/>;
/>
/>
8. Найти дифференциал/>функции: />при m=3, n=4.
/>
9. Для функции />в точке />найти градиент и производную по направлению />при m=3, n=4.
/>в точке А(-4,3)
/>
/>
grad(z) = (-0,1429:0,1875);
/>=grad(z)* (/>)*cos/>=…
cos/>
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4
/>
в области, заданной неравенствами:
/>.
/>
D=AC-B;
A=/>
B=/>
C=/>
D=AC-B=(/>)(/>) — />;
/>
/>
/>/>
/>/>
найдем
/>; />
Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;
/>= -114,74
/>= 45097,12 > 0 – min функции />= 12,279;
/>= 1767.38 > 0 — min функции />= 65,94;
/>= -160,296
11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:
/>.
/>= />, так как />/>/>
подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим
/>/>.
/>
12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями />, />и плоскостью, проходящей через точки />, />и />.
А)/>см. рис.
/>
— получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.
/>7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределы интегрирования:
Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).
/>= />=
=/>= />=
=232,109 куб.ед.,
13. Вычислить при m=3, n=4 />, где />, />, а контур />образован линиями />, />, />.
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
/>,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
/>= />=
= />=
= />=
= />=
= />=
= />=
= />=32,4060912,
где пределы интегрирования были получены:
/>и у = 9, то />откуда х = />2,52.
14. Даны поле />и пирамида с вершинами />, />, />,/>. Найти при m=3, n=4:
/>
O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).
а) поток поля />через грань />пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью />;
/>=
= />=
=/>=
=/>=
=/>=…
после подстановки и преобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
/>= 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.
б) поток поля />через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;
в) циркуляцию поля />вдоль замкнутого контура />;
с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).
rot(F) = />,
в нашем случае />
/>
15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:
/>= />.