МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Конечные группы со сверхразрешимымиподгруппами четного индекса.
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Зелюткина В.И.
Научный руководитель: профессор,
доктор физико-математическихнаук,
профессор кафедры алгебры игеометрии
Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
/>1. Конечные группы сосверхразрешимыми подгруппами четного индекса
/>2. Конечные группы сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
/>3. О неразрешимых группах сзаданными подгруппами непримарного индекса
Заключение
Списоклитературы
Введение
Данная курсовая работапредставлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваютсяконечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесьпредставлены:
A. Пусть /> - конечная группа и />.Тогда и только тогда в группе /> все подгруппычетного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) /> -2-группа;
2) /> -группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> -показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) />.
1. /> -наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы /> также принадлежит />.
2. />,то />---/>-свободна.
3. /> и/> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппав /> элементарная абелева или типа />.
4. /> -разрешимая группа и />, то 2-длина группы /> не превосходит 1.
5. /> -разрешимая группа и />. Если /> и силовская 2-подгруппа /> из /> неабелева,то центр /> совпадает с центром />.
6. /> -разрешимая группа и />. Тогда и только тогда />, когда /> -группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> -показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы />.
Лемма 7. /> и /> - простаянеабелева группа, то />.
8. /> и/>, то />.
9. /> для/>.
Во второй — конечные группысо сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
B. неразрешимая группа, укоторой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной изследующих групп:
1) /> или/>, где /> -5-группа;
2) />,где /> - 3-группа.
C. /> -разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индексасверхразрешимы. Тогда /> бипримарна, и /> - дисперсивная группа порядка />, где />.
1. /> конечнаягруппа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда влюбой подгруппе и в любой фактор-группе группы /> каждаяподгруппа непримарного индекса сверхразрешима.
2. /> -конечная группа и /> - простое число, делящеепорядок />. Если в /> нет/>-замкнутых подгрупп Шмидта, то /> />-нильпотентна.
3. /> -сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской />-подгруппой/> и циклической силовской />-подгруппой />,то />.
4. группа дисперсивна по Оре,если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.
5. конечная группа сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.
6. группа порядка />, где /> и/> - простые числа, /> и/> не делит />,нильпотентна.
7. разрешимая группа сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.
8. /> -подгруппа примарного индекса /> конечной группы />, то />.
9. /> -группа порядка />, где /> и /> - простые числа,/> и />. Пpeдnoлoжим,что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда /> либо />-группа,либо группа Шмидта />, где /> - элементарная абелева, или группакватернионов.
10. /> -группа порядка />, где /> и /> - простые числа,/> и />. Предположим,что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа /> либо />-группа,либо изоморфна /> и /> делит/>.
Третий посвящен неразрешимымгруппам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
D. класс /> замкнут относительно прямых произведений и /> разрешим. Если в конечной неразрешимойгруппе /> нет неединичных нормальных />-подгрупп, то /> изоморфнаодной из следующих групп: /> и /> - простое число или 9; /> или /> и/>.
1. конечная неразрешимаягруппа /> принадлежит />, то />,где />, а /> и/>.
2. класс /> замкнут относительно прямых произведений, и /> - неразрешимая группа, принадлежащая />. Если /> -минимальная нормальная в /> подгруппа, толибо />, либо /> -простая неабелева группа, /> и />, где />.
3. класс /> разрешим и /> -простая неабелева группа из />, то:
1) />,/>, /> и /> или /> -простое число;
2) />,/> и /> - простое число;
3) />,/>, />;
4) />,/> или />,/> или /> соответственно.
В каждом параграфе подробноизучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.
/>1. Конечныегруппы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
Строение конечных минимальныхнесверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и ихпорядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условиесверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, товозникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группысо сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметкеисследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четногоиндекса. Доказывается следующая
A. Пусть /> - конечная группа и />.Тогда и только тогда в группе /> все подгруппычетного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) /> -2-группа;
2) /> -группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> -показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) />.
Здесь /> -центр группы />, /> -наибольшая нормальная в /> подгруппанечетного порядка. Через /> обозначим классконечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.
1. /> -наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы /> также принадлежит /> осуществляетсяпроверкой.
Отметим, что знакопеременнаягруппа/>, но /> несодержится в />. Поэтому /> неявляется формацией и не является классом Фиттинга.
Через /> обозначаетсясимметрическая группа степени 4. Конечная группа /> называется/>-свободной, если в ней нет подгрупп /> и /> таких, что /> нормальна в /> и/> изоморфна />.
2. />,то />---/>-свободна.
. Допустим противное, т.е. предположим,что существует секция />, изоморфная />. Тогда существует подгруппа /> индекса 2 в /> и/> изоморфна />.Так как /> несверхразрешима, то /> - несверхразрешимая подгруппа четного в /> индекса. Противоречие. Лемма доказана.
Конечная группа называется2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы /> обозначаетсячерез />.
3. /> и/> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппав /> элементарная абелева или типа />.
Если /> не2-нильпотентна, то в /> существует 2-замкнутаяподгруппа Шмидта />, см., с. 192. Так как /> несверхразрешима,то индекс /> в группе /> нечетен,и /> - силовская 2-подгруппа из />. Из свойств подгрупп Шмидта следует, что /> элементарная абелева или типа />.
4. /> -разрешимая группа и />, то 2-длина группы /> не превосходит 1.
следует из леммы 3 и леммы 3.4из .
5. /> -разрешимая группа и />. Если /> и силовская 2-подгруппа /> из /> неабелева,то центр /> совпадает с центром />.
Если G — 2-группа, то леммасправедлива.
Пусть /> не2-группа. По лемме 4 подгруппа /> нормальна в />. Через /> обозначим/>-холловскую подгруппу из />. Так как /> имеетчетный индекс, то /> сверхразрешима и />. Теперь /> содержитсяв центре />, а поскольку />, то /> -2-группа. Группа /> не является2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку /> не2-нильпотентна, то индекс /> нечетен и /> - силовская 2-подгруппа из />. Следовательно, /> содержитсяв /> и по лемме 2.2 получаем, что /> содержитсяв />. Лемма доказана.
6. /> -разрешимая группа и />. Тогда и только тогда />, когда /> -группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> -показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы />.
Пусть /> -разрешимая группа, /> и />. Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская2-подгруппа /> нормальна в /> и является элементарной абелевой подгруппой.Так как /> - не 2-группа, то в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> -силовская 2-подгруппа из />. Подгруппа /> несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетени /> силовская в />.Из свойств групп Шмидта следует, что /> - минимальнаянормальная в /> подгруппа порядка />, и /> -показатель 2 по модулю />, где /> делит />.Поэтому /> - минимальная нормальная в /> подгруппа.
Централизатор /> содержит /> инормален в />, поэтому /> и/>. Значит /> самоцентрализуема.
Пусть /> -/>-холловская подгруппа в />. Тогда /> -максимальная в /> подгруппа и /> совпадает со своим нормализатором. Предположим,что существует неединичный элемент /> в /> такой, что /> несодержится в />. Так как /> и/> содержится в />,то /> и />. Пусть />. Тогда />,а по теореме Машке в /> существует подгруппа /> такая, что /> и/> допустима относительно />, т.е. />.Но индекс подгруппы /> четен поэтому этаподгруппа сверхразрешима и />. Теперь /> централизует всю силовскую подгруппу />, противоречие.
Следовательно, /> содержится в /> длявсех неединичных элементов /> из /> и /> - группаФробениуса с ядром />, см., с.630.
Пусть /> -произвольный нечетный делитель порядка группы />,и пусть /> - />-холловскаяподгруппа из />. Так как /> самоцентрализуема,то /> не 2-нильпотентна и в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку /> не2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и /> -элементарная абелева подгруппа порядка />.Из свойств групп Шмидта следует, что /> - показатель 2по модулю />. Необходимость доказана.
Обратно, пусть /> - группа Фробениуса, ядро которой /> - минимальная нормальная в /> подгруппа порядка /> где/> - показатель 2 по каждому нечетному простомуделителю порядка />. Пусть /> - произвольная подгруппа из />. Тогда либо />,либо />, либо />,либо /> - группа Фробениуса с ядром />. Если />,то индекс /> нечетен. Если /> или />,то /> 2-нильпотентна. Пусть /> - группа Фробениуса и /> не содержится в />.Поскольку /> не 2-нильпотентна, то в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> -нормальная в /> силовская подгруппа порядка />, а /> -циклическая />-подгруппа. Так как /> - элементарная абелева, то из свойств группыШмидта вытекает, что /> - показатель 2 по модулю />, значит /> и/>, т.е. />.Лемма доказана полностью.
Следствие. Пусть /> - разрешимая группа и />. Тогда и только тогда />, когда каждая подгруппа из /> четного индекса является 2-подгруппой илигруппой нечетного порядка.
1. Пусть /> - элементарная абелева группа порядка />. В группе ее автоморфизмов /> существует самоцентрализуемая циклическаяподгруппа /> порядка /> см., с.187. Число 11 является показателем 2по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе /> существуетгруппа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группойШмидта.
Лемма 7. /> и /> - простаянеабелева группа, то />.
Если силовская 2-подгруппа в /> типа /> то/> по теореме из. Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппачетного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская2-подгруппа в /> элементарная абелева. В группахЯнко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторахинволюций.
Рассмотрим группу />, где /> и/>. Если />,то /> - несверхразрешимая подгруппа четногоиндекса. Следовательно, />. В /> силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 инесверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам /> и />.
Рассмотрим />. Если /> непростое, то /> содержит подгруппу />, />, четногоиндекса, которая несверхразрешима. Значит, /> -простое. Несверхразрешимыми в /> являются тольконормализаторы силовских 2-подгрупп.
Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кромерассмотренных, нет.
Через /> обозначимразрешимый радикал группы />.
8. /> и/>, то />.
Пусть /> -минимальная нормальная в /> подгруппа. Тогда/>. Если />,то индекс /> в /> четени /> должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому/> - простая подгруппа и /> изоморфна /> или/>. Теперь /> нечетен,/> и /> - подгруппа из />.
Если />,то />, поэтому />.
Пусть />,/> - простое. Так как /> -циклическая группа порядка />, то /> либо совпадает с />,либо G совпадает с />. Пусть /> и /> - подгруппа из Nпорожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм /> группы/> централизует />,см., с.317, то по теореме Машке всиловской 2-подгруппе /> группы /> есть подгруппа /> индекса2 в />, допустимая относительно />. Теперь />-- не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в /> и/> не принадлежит />.
9. /> для/>.
Пусть /> -подгруппа четного индекса в группе />, где />, и пусть /> -центральная инволюция в />. Если />, то /> -подгруппа в /> четного индекса. Так как />, то /> сверхразрешима,поэтому и /> сверхразрешима.
Пусть /> непринадлежит />. Тогда />.Допустим, что /> несверхразрешима. Так как /> - подгруппа из />,то из доказательства леммы 7 следует, что /> изоморфна/> или />.Но теперь силовская 2-подгруппа в /> элементарнаяабелева, противоречие.
теоремы. Достаточностьвытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале /> - разрешимая группа, /> и/>. Если /> -не 2-группа, то легко проверить, что /> и по лемме 6группа /> из пункта 2 теоремы.
Пусть /> неразрешима.Если />, то по лемме 8 теорема верна. Пусть/>. Если /> разрешима,то разрешима и группа />, противоречие. Следовательно,подгруппа /> имеет четный индекс в группе />. Так как /> сверхразрешимаи />, то /> -2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть /> -централизатор подгруппы /> в группе />.
Для каждого нечетногопростого /> подгруппа /> имеетчетный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому /> для всех нечетных /> ииндекс /> в группе /> четенили равен 1. Если />, то в /> есть нормальная подгруппа нечетного порядка,противоречие. Значит, /> и /> содержитсяв центре />.
Если />,то /> - квазипростая группа и /> не изоморфна />.Так как />, то по лемме 8 группа /> изоморфна /> или/>. Теперь по теореме из, с.646 группа /> изоморфна/> или />.
Пусть /> -собственная в /> подгруппа. Тогда /> имеет нечетный индекс и />. Так как /> -собственная в /> подгруппа, то из леммы 8 получаем,что /> изоморфна />,a /> изоморфна />.Противоречие. Теорема доказана полностью.
/>2. Конечныегруппы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
Задача С.Н. Черникова обописании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны,решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппаминепримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.
В настоящей статье изучаютсяконечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаныследующие две теоремы.
B. неразрешимая группа, укоторой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной изследующих групп:
1) /> или/>, где /> -5-группа;
2) />,где /> - 3-группа.
C. /> -разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индексасверхразрешимы. Тогда /> бипримарна, и /> - дисперсивная группа порядка />, где />.
Далее, если />, то
/>
и /> делит/>. Если />,то
/>
группа Шмидта, и Q — элементарнаяабелева группа или группа кватернионов.
Здесь /> -наибольшая нормальная в /> />-подгруппа; /> -подгруппа Фиттинга группы />; /> - циклическая группа порядка />.
1. /> конечнаягруппа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда влюбой подгруппе и в любой фактор-группе группы /> каждаяподгруппа непримарного индекса сверхразрешима.
Осуществляетсянепосредственной проверкой.
Группа /> называется />-замкнутой,если в ней силовская />-подгруппа нормальна, и />-нильпотентной, если в ней имеется нормальноедополнение к силовской />-подгруппе. Свойства группШмидта хорошо известны.
2. /> -конечная группа и /> - простое число, делящеепорядок />. Если в /> нет/>-замкнутых подгрупп Шмидта, то /> />-нильпотентна.
Если /> -собственная подгруппа в группе />, то /> удовлетворяет условию леммы, по индукцииподгруппа /> />-нильпотентна.Теперь группа /> либо />-нильпотентна,либо />-замкнутая группа Шмидта (см., с. 192). Последнее исключается условием леммы.
3. /> -сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской />-подгруппой/> и циклической силовской />-подгруппой />,то />.
Все главные факторысверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как /> -главный фактор, то
/>
Определения дисперсивныхгрупп см. в, с.251. Конечная группа называется трипримарной, еслиее порядок делится точно на три различных простых числа.
4. группа дисперсивна по Оре,если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.
Пусть в конечной группе /> все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и /> - наименьшее простое число, делящее порядок />. По лемме 3 в группе /> нет/>-замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому /> />-нильпотентна полемме 2. По индукции нормальное />-дополнение в /> дисперсивно по Оре, поэтому и вся группадисперсивна по Оре.
5. конечная группа сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.
Пусть /> -недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа />, которая является группой Шмидта. Так как /> бипримарна, а индекс /> вгруппе /> по условию леммы примарен, тогруппа /> либо бипримарна, либо трипримарна.
6. группа порядка />, где /> и/> - простые числа, /> и/> не делит />,нильпотентна.
Пусть /> -рассматриваемая группа. Так как /> сверхразрешима и/>, то в /> имеетсянормальная подгруппа /> порядка />. Теперь /> изоморфнаподгруппе группы автоморфизмов группы />,которая является циклической порядка />. Поскольку /> не делит />,то силовская />-подгруппа /> из/> содержится в />.Теперь /> лежит в центре />. Факторгруппа /> нильпотентнапо индукции, значит, нильпотентна и />.
теоремы B. Пусть /> - конечная неразрешимая группа, в которойвсе подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> -нормальная силовская 2-подгруппа из />; подгруппа /> - циклическая. Поскольку /> не является сверхразрешимой группой, то ееиндекс примарен, т.е. />, где /> - простое число. Теперь /> для силовской />-подгруппыиз /> и /> являетсяхолловской подгруппой в />.
По теореме 2.1 подгруппа /> содержитнормальную в группе /> подгруппу /> такую, что факторгруппа /> изоморфна
/>
/>
В факторгруппе /> по лемме 1 несверхразрешимыми могут бытьтолько подгруппы примарных индексов. В /> и/> имеется несверхразрешимая подгруппа,изоморфная знакопеременной группе /> степени 4,индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.
В /> внешнийавтоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в/> имеется несверхразрешимая подгруппа порядка24 и индекса />, в связи с чем данная группа такжеисключается.
Пусть /> изоморфна/>. Группа /> допускаетединственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: /> (см., с.73). Поэтому /> -5-группа, /> изоморфна /> и/> имеет порядок 5.
Предположим вначале, что /> - неабелева группа. Через /> обозначим центр />.По индукции факторгруппа /> изоморфна
/>
Где
/>
Поскольку /> - собственная в /> подгруппа,то по индукции
/>
Теперь />. Подгруппа /> характеристичнав />, a /> нормальнав />. Поэтому /> нормальнав />. Из простоты /> следует,что />. Значит, />,где />. Л Пусть теперь /> -абелева группа. Так как подгруппа /> имеет индекс 20в группе />, то /> -сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому /> и />, т.е. /> лежит в центре />.
Если />,то группа /> квазипроста, и /> или /> по, c.646. Но в этом случае />. Значит, коммутант /> -собственная в /> подгруппа. По индукции
/>
Так как
/>
то />.По свойству коммутантов />. Следовательно,
/>
Случай /> рассмотрен полностью.
Пусть /> изоморфна/>. Группа /> допускаетединственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: />. Поэтому /> -5-группа, /> изоморфна />,и /> имеет порядок 5.
Предположим вначале, что /> - неабелева группа, и пусть /> - центр />.По индукции фактор-группа /> изоморфна
/>
Поскольку /> - собственная в /> подгруппа,то по индукции
/>
Теперь
/>
Подгруппа /> характеристична в />,а подгруппа /> нормальна в />, поэтому /> нормальнав />. Кроме того,
/>
Следовательно, />, где />.
Пусть теперь /> - абелева группа. Так как /> имеет индекс 40 в группе />, то /> -сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому /> и /> нормальная в /> подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, /> и /> лежит в центре />. Теперь
/>
и для инволюции /> подгруппа /> нормальнав />. Следовательно,
/>
и факторгруппа /> проста.
Если />,то группа /> квазипроста, и /> по, с.646. Но в этом случае />.
Пусть коммутант /> - собственная в /> подгруппа.По индукции />, где /> изоморфна/> или />,а
/>
Так как
/>
то />.По свойству коммутантов />, значит,
/>
Так как />, то подгруппа /> изоморфна/> и не изоморфна />.
Осталось рассмотреть случай />. Группа /> допускаетединственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, аименно: />. Поэтому /> -3-группа, /> изоморфна /> и/> - циклическая группа порядка 9.
Предположим вначале, что /> - неабелева группа. Через /> обозначим центр />.По индукции факторгруппа /> изоморфна />, где
/>
Поскольку /> - собственная в /> подгруппа,то по индукции
/>
Теперь
/>
Подгруппа /> характеристична, в /> аподгруппа /> нормальна в />. Поэтому /> нормальнав />. Из простоты /> следует,что />. Следовательно, />,где />.
Пусть теперь /> - абелева группа. Так как подгруппа /> имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но />, где /> -подгруппа порядка 7, а /> - 3-группа. Отсюдаследует, что /> нильпотентна и абелева, а поэтому />, т.е. /> лежитв центре />.
Если />,то группа /> квазипроста, и /> по, с.646. В этом случае />.
Значит, коммутант /> - собственная в /> подгруппа.По индукции
/>
Где
/>
Так как
/>
По свойству коммутантов />. Следовательно,
/>
где />.
Теорема 1 доказана.
Перейдем теперь к изучениюразрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы.В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.
7. разрешимая группа сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.
Пусть /> -разрешимая группа порядка />, где /> - различные простые числа, и пусть каждаяподгруппа непримарного индекса из /> сверхразрешима. Предположим,что /> />-нильпотентна. Тогдахолловская />-подгруппа /> нормальнав />. Если /> сверхразрешима,то /> дисперсивна. Если /> несверхразрешима,то все собственные подгруппы из /> имеют в группе /> непримарные индексы. Поэтому /> - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь/> дисперсивна, поэтому дисперсивна и />.
Если группа /> содержит нормальную силовскую />-подгруппу />,то />, где /> -холловская />-подгруппа. Так как /> дисперсивна, то дисперсивна и />. Противоречие.
Пусть теперь группа /> не обладает нормальным дополнением ни кодной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из /> не нормальна в />.Предположим, что />. Так как /> не />-нильпотентна,то в /> имеется />-замкнутаяподгруппа Шмидта />, где /> - некоторая />-группа,и /> или />.Из минимальности /> по лемме 3 получаем, что /> несверхразрешима, поэтому ее индекспримарен, и />, где /> -примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу /> можно выбратьтак, что /> - холловская />-подгруппа в группе />.Если /> нормальна в />, то /> -нормальная в /> холловская подгруппа. Так как /> либо сверхразрешима, либо минимальнаянесверхразрешимая группа, то /> - дисперсивна,поэтому дисперсивна и />. Противоречие.
Следовательно, /> не нормальна в /> иподгруппа /> не />-нильпотентна.Так как /> дисперсивна, то /> нормальна в />.По лемме 2 в группе /> имеется />-замкнутая подгруппа Шмидта />. Но /> циклическая,поэтому /> - простое число и по лемме 3подгруппа /> сверхразрешима и /> есть />-группа.Значит, />, где /> -силовская />-подгруппа в />, a /> -силовская />-подгруппа.
Рассмотрим подгруппу />. Она дисперсивна. Если /> нормальна в />,то /> дисперсивна. Противоречие. Значит, /> нормальна в />.
Итак, в группе /> холловские подгруппы имеют строение: /> сверхразрешима с циклической силовской />-подгруппой />;/> с силовской />-подгруппойшмидтовского типа; /> - подгруппа Шмидта.
В разрешимой группе /> имеется нормальная подгруппа /> простого индекса. Пусть />. Если /> бипримарнаили примарна, то /> дисперсивна. Пусть /> трипримарна. По индукции /> дисперсивна, а так как в /> нет нормальных силовских подгрупп, то />.
Если /> и/>, то /> нильпотентнакак подгруппа группы Шмидта /> и /> нормальна в />.Если /> и />,то
/>
также нильпотентна, и /> нормальна в />.
Итак, при /> в /> имеетсянормальная силовская подгруппа. Противоречие.
Пусть />.Если />, то
/>
нильпотентна и /> нормальна в />.Пусть />. Тогда
/>
Теперь /> нормальна, в />.Если />, то /> и/> нормальна в />.Если />, то /> -собственная подгруппа в группе Шмидта />.Поэтому /> нильпотентна, и
/>
т.е. /> нормальнав />. Противоречие.
Осталось рассмотреть случай />. Так как /> нормальнав />, и /> циклическая,то в /> имеется нормальная подгруппа /> порядка />.Теперь /> - абелева группа порядка, делящего/>. и в случае /> вгруппе /> имеется нормальная подгруппапростого индекса, отличного от />. Но эта ситуацияуже рассмотрена. Если />, то к фактор-группе /> применима индукция, по которой /> дисперсивна. Так как /> -подгруппа из центра />, то и вся группа /> дисперсивна.
Лемма 7 доказана полностью.
8. /> -подгруппа примарного индекса /> конечной группы />, то />.
Пусть /> -силовская />-подгруппа группы />, содержащая />-подгруппу/>. Так как />,то />. Теперь для любого элемента />, где />,/>, получаем
/>
и /> -/>-группа.
9. /> -группа порядка />, где /> и /> - простые числа,/> и />. Пpeдnoлoжим,что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда /> либо />-группа,либо группа Шмидта />, где /> - элементарная абелева, или группакватернионов.
Пусть /> неявляется силовской в /> подгруппой и /> - силовская в /> />-подгруппа. Тогда /> -подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в /> подгруппы />.По условию /> сверхразрешима, поэтому еекоммутант нильпотентен и
/>
т.е. /> и/> абелева. Итак, в силовской />-подгруппе из /> всесобственные подгруппы абелевы.
Так как /> не />-нильпотентна,то в ней имеется />-замкнутая подгруппаШмидта />. Эта подгруппа несверхразрешима полемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если />,то силовская />-подгруппа /> в/> циклическая, а так как />, то /> нормальнав />. Противоречие.
Следовательно,
/>
По лемме 8 подгруппа /> максимальна в />.
Если /> -абелева, то /> - элементарная абелева группапорядка /> и /> -показатель числа /> по модулю />.
Пусть /> -неабелева группа. Так как /> сопряжена />, то все собственные в /> подгруппы абелевы, т.е. /> - группа Миллера-Морено. Если /> - неабелева группа, порядка /> и экспоненты />,то из свойств групп Шмидта следует, что /> делит/>. Так как />,то />, />. Но группыэкспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, /> -группа кватернионов порядка 8 и />.
Факторгруппа /> - q-замкнута по лемме 3.2, поэтому в /> каждая подгруппанепримарного индекса нильпотентна. Поскольку />,то из следует, что /> имеет простой порядок, а так как /> не входит в />,то
/>
есть группа Шмидта.
10. /> -группа порядка />, где /> и /> - простые числа,/> и />. Предположим,что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа /> либо />-группа,либо изоморфна /> и /> делит/>.
Так как />, то группа /> не/>-нильпотентна, поэтому в ней существует />-замкнутая подгруппа Шмидта />. По лемме 3 подгруппа /> несверхразрешима а по условию леммы ееиндекс примарен.
Если />,то /> - силовская />-подгруппагруппы />, и /> нормальнав /> по лемме 3.2. Поэтому /> и /> - />-группа.
Пусть />.Тогда /> - циклическая силовская />-подгруппа группы />.Будем считать, что /> не />-замкнута, т.е. /> неявляется силовской в /> подгруппой. Длямаксимальной в /> подгруппы /> индекс подгруппы />,бипримарен, поэтому /> сверхразрешима. Так как />, то /> нормальнав /> и
/>
Таким образом, /> и /> группа порядка, />.
Теперь факторгруппа /> обладает нормальной силовской />-подгруппой /> порядка/>. Итак, />,где /> - силовская />-подгруппав />. Так как /> нормальнав />, а в /> нетнеединичных нормальных />-подгрупп, то /> и /> изоморфнаподгруппе группы автоморфизмов циклической группы /> порядка/>. Поэтому /> -циклическая группа порядка /> и /> делит />.
теоремы C. Пусть /> - разрешимая недисперсивная группа, укоторой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8группа /> бипримарна. Пусть />, где /> и/> - простые числа и />.Если /> - примарная группа, то из лемм 9 и10 следует, что /> - дисперсивная группапорядка />.
Пусть /> -бипримарная группа. Так как группа /> не />-нильпотентна, то в /> существует/>-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку />,то подгруппа /> несверхразрешима по лемме 3,поэтому имеет в /> примарный индекс. Если />, то /> -циклическая силовская />-подгруппа группы />, и группа /> имеетединичную />-длину. Поэтому /> />-замкнута, азначит />-замкнута и />.Для максимальной подгруппы /> из /> подгруппа /> имеетв /> непримарный индекс, поэтому /> сверхразрешима, а поскольку />, то /> нормальнав
/>
Из />-замкнутости/> следует, что /> нормальнав />, поскольку /> -циклическая подгруппа, то /> нормальна в />. Так как /> ненормальна в />, то />,и /> имеет порядок />.
Пусть теперь />. Тогда /> -силовская />-подгруппа группы />, и группа /> имеетединичную />-длину по лемме 3.2. Поэтому /> />-замкнута, а по лемме 8 максимальнаяподгруппа /> из /> содержитсяв />. Так как />,то по свойствам групп Шмидта
/>
Первое исключается тем, что /> недисперсивна. Теперь /> - />-замкнутаягруппа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть />. Так как в /> имеетсягруппа Шмидта />, то /> ненильпотентна, и /> неявляется силовской в />. Значит, подгруппа /> имеет в /> непримарныйиндекс, и по условию теоремы /> сверхразрешима. Таккак /> нормальна в />,то /> нормальна в />,поэтому /> содержится в />. Следовательно, /> ив />. Теперь из следует, что силовская />-подгруппав /> имеет простой порядок.
Итак, в любом случае /> - дисперсивная группа порядка />. Последние два утверждения теоремы 2 вытекаютиз лемм 9 и 10.
Теорема доказана.
/>3. О неразрешимыхгруппах с заданными подгруппами непримарного индекса
Пусть /> -некоторый класс конечных групп. Через /> обозначаетсясовокупность минимальных не />-групп, а через /> - множество всех тех конечных групп, укоторых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит />. Ясно, что /> наследственныйкласс и />. В настоящей заметке доказываетсяследующая
D. класс /> замкнут относительно прямых произведений и /> разрешим. Если в конечной неразрешимойгруппе /> нет неединичных нормальных />-подгрупп, то /> изоморфнаодной из следующих групп: /> и /> - простое число или 9; /> или /> и/>.
Формации /> и /> нильпотентных исверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс /> разрешим, а для класса /> теоремыполучается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппынепримарного индекса сверхразрешимы .
Все обозначения и определенияобщепринятые, их можно найти в .
1. конечная неразрешимаягруппа /> принадлежит />, то />,где />, а /> и/>.
Если />,то в качестве подгруппы /> можно выбратьвсю группу />, а подгруппа /> будет единичной. Пусть /> и пусть /> -собственная в /> подгруппа, которая являетсяминимальной не />-группой. По условию />, /> - простое число.Теперь для силовской />-подгруппы /> из /> получаем,что />. Из неразрешимости /> следует,что /> непримарна и />.
2. класс /> замкнут относительно прямых произведений, и /> - неразрешимая группа, принадлежащая />. Если /> -минимальная нормальная в /> подгруппа, толибо />, либо /> -простая неабелева группа, /> и />, где />.
Пусть минимальная нормальнаяв /> подгруппа /> непринадлежит />. Так как />,то индекс />, /> -простое число. Теперь /> неразрешима и являетсяпрямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: /> Поскольку /> замкнутотносительно прямых произведений, то /> не принадлежит /> и индекс /> вгруппе /> должен быть примарным. Поэтому /> - простая неабелева группа.
Централизатор /> нормален в /> и/>. Поэтому />,а так как индекс /> непримарен, то />.
3. класс /> разрешим и /> -простая неабелева группа из />, то:
1) />,/>, /> и /> или /> -простое число;
2) />,/> и /> - простое число;
3) />,/>, />;
4) />,/> или />,/> или /> соответственно.
Здесь /> и/> - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. />, />, /> - циклическая, элементарная абелева,диэдральная группы порядка />, /> - симметрическая груша степени 4.
По лемме 1 простая группа />, где />,а />. Опираясь на классификацию конечных простыхгрупп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарногоиндекса. Учитывая разрешимость подгруппы /> изэтого списка, получаем утверждение нашей леммы.
Теоремы D. Пусть /> - минимальная нормальная в /> подгруппа. По лемме 2 подгруппа /> простая, /> и/>
Так как /> не принадлежит />,то существует подгруппа />, />. Теперь />,где />, /> и />. Так как /> разрешима,то по лемме 3 подгруппа /> изоморфна однойиз четырех серий групп.
Пусть /> и/> простое число или 9. Предположим, что /> - собственная в /> подгруппа.Так как /> - циклическая группа порядка />, то /> делит/>. Кроме того, индекс /> в/> должен быть примарным, а поскольку
/>,
то при /> простое число /> должноделить />, что невозможно. Для /> числа /> и/> взаимно просты. При /> группа/> удовлетворяет условию теоремы. Следовательно,если />, то либо />,либо />, a />.
Пусть /> и/> - простое число, где />.Так как />, то индекс /> в/> равен /> и/> или />.
Пусть />,где />. Поскольку />,то подгруппа /> имеет в /> непримарныйиндекс. Поэтому в этом случае />.
Поскольку случай /> рассмотрен при />,где />, то теорема доказана полностью.
Заключение
В данной курсовой работеизучены три темы:
1. Конечные группы сосверхразрешимыми подгруппами четного индекса.
2. Конечные группы сосверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.
3. О неразрешимых группах сзаданными подгруппами непримарного индекса.
Подробно рассмотрены теоремыи леммы, а также их доказательства.
Список литературы
1. ШеметковЛ.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 С.
2. МонаховB. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // Вкн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.
3. МазуровВ.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами.// Матем. заметки. — 1973. — Т.14, N 2. — С.217-222.
4. МонаховB. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечныегруппы. Мн.: Наука и техника. — 1975. — С.70-100.
5. СтаростинА.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. — 1971. — Т.23, N 5. — С.629-639.
6. Huppert В. Endliche Gruppen I. — Berlin-Heidelberg- New York: Springer, 1967. — 793 P.
7. ГоренстейнД. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир,-1985. — 352С.
8. ЛевищенкоС.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторыевопросы теории групп. — Киев, 1975. — С.173-196.
9. СидоровА.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросыалгебры. — Минск. — 19S7. — Вып.3. — С.48-56.
10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. — Berlin: Springer, 19 (37. — 795 S.
11. ШеметковЛ.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 267 с.
12. МонаховB. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы.- Минск: Наука и техника, 1975. — С.70-100.
13. ЛевищенкоС.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.:Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. — С. 197-217.
14. МонаховB. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // Вкн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. — С.195-209.
15. ШеметковЛ.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.
16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. — Vol.81. — P.304-311.