Комплексныечисла, их прошлое и настоящее.
Содержание.
I. Введение.
II. Об истории возникновения комплексныхчисел и их роли в процессе развития математики.
III. Алгебраические действия над комплекснымичислами и их геометрический смысл.
1. Основныепонятия и арифметические действия над комплексными числами.
2. Геометрическоеизображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
3. Операциясопряжения и ее свойства.
4. Извлечениекорней.
5. Геометрическийсмысл алгебраических операций.
IV. Применение комплексных чисел к решениюалгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. ФормулаКердано.
2. МетодФеррари для уравнения 4-ой степени.
V. Дополнительные задачи и упражнения,связанные с использованием комплексных чисел.
VI. Заключение.
VII. Литература.
I. Введение.
Алгебраические уравнения с одним неизвестным исвязанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важныхв школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку длятаких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения черезего коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
(α) Линейное уравнение ax+b=0,где а≠0, то x=-b/a– единственный корень;
(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0,где a,b,c– действительные числа, a≠0,то x=-b±√b∙b-4ac/2a;при этом число корней зависит от величины D= b2– 4ac, называемой дискриминантомквадратного уравнения, а именно:
При D>0– два действительных корня, D=0– один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D
Из уравнений более высоких степеней в школьном курсеалгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например,биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решенияпроизвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулыизвестны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираютсяна теорию комплексных чисел.
Цель данного реферата состоит в том, чтобыознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием– понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно егоприменение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, прирешении кубичных уравнений.
II. Об истории возникновения комплексныхчисел и их роли в процессе развития математики.
Комплексные числа возникли в математике в начале XVIвека в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, иуравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (-Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввелив рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2+1=0,а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)2+b2=0.Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде(а+bi) (символ iдля обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIIIв.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любогоквадратного уравнения (включая случай D
МатематикиXVIв. и следующих поколений вплоть до начала XIXвекаотносились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Онисчитали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными»,«возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа«изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символомпотустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотряна подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи.Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение вматематике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теориюалгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один изтрудных вопросов для математиков XVII-XVIIIвеков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ойстепени, т.е. уравнения вида a0∙xn+a1∙xn-1+…+an-1∙x+an=0.Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел –действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Еслиограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их небольше, чем n. А если считатьдопустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопросполучается исчерпывающий:любое алгебраическое уравнение степени n(n≥1) имеетровно nкорней(действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз,какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n≥5общее алгебраическое уравнение степени nнеразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни черезкоэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральнойстепени.
После того как в XIXв появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощьюточек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г,Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям дляних многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики,электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. Сэтого времени существование «мнимых», или комплексных чисел сталообщепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числадействительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось вважнейший раздел современной математики – теорию функций комплексногопеременного (ТФКП).
III/Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основныепонятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построилв XIX в (1835 г) ирландский математикВильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченныепары z=(x,y)действительных чисел, для которых следующим образом определены операциисложения и умножения:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2); (1)
(x1,y1)∙(x2,y2)=(x1∙x2– yiy2,xiy2+ x2y1). (2)
Действительные числа xи y называются при этом действительнойи мнимой частями комплексного числа z=(x,y)и обозначаются символами Rezи Imz соответственно (real– действительный, imanginerum– мнимый).
Два комплексных числа z1=(x1,y1)и z2=(x2,y2) называются равными только в том случае, когда x1=x2и y1=y2.Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y)может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительнымичислами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначаетсясимволом i, т.е. (0,1)=i,причем i2=-1,равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чиселимеют следующие свойства:
а) z1+z2=z2+z1(переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1z2=z2z1
в) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3(сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1(z2z3)=(z1z2)z3
д) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3(распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1и z2=x2+iy2определяют, причем однозначно, их разность z1-z2и частное z1/z2как решения соответствующих уравнений z+z2=z1и zz2=z1(при z2≠0).Отсюда следует, что разность и частное от деления z1на z2вычисляются по формулам:
z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22)+ i((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах,а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2),где число (-z2)называется противоположным z2;деление – как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1),где z2-1– число, обратное для z2(z2≠0).Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций надкомплексными числами приводит к следующим выводам:
— множество комплексных чисел (С) являетсярасширением множества Rдействительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай,среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся средидействительных);
— комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам,которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессевычислений) i2=-1.
2. Геометрическое изображение комплексныхчисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» длякомплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова системакоординат 0xy, то всякомукомплексному числу z=x+iyможет быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х, у) с абсциссой «х» иординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х, у)(или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числаназывается комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.
Число r=√x2+y2,равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию отначала координат до изображающей это число точки, называется модулемкомплексного числа z=x+iyи обозначается символом |z|.
Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительнымнаправлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy≠0,называется его аргументом.
/>
Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0),имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга нацелые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz(для числа z=0 аргумент не определяется,не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной φнекоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) досовпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающейчисло z (при этом φ >0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ
Значение Argzпри условии 0≤Argz
Между алгебраическими х, у и геометрическими r,φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемаяформулами x=rcosφ,y=rsinφ,следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ).Последнее выражение, т.е. z=r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cosφ+isinφ)удобнее записывать короче, с помощью символа eiφ=cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) эторавенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное числоможет быть записано в показательной форме z=reiφ (8)
3. Операциясопряжения и ее свойства.
Для данного комплексного числа z=x+iyчисло x-iy(отличающееся от z лишь знаком примнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z.Переход от числа z к числу zназывается сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z.Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе.Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричнымиотносительно действительной оси (рис.2).
/>
Отсюда следует, что |z|=|z|,argz=-argz.Кроме того,
/> z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2+y2=|z|2,
а также: z1+z2=z1+z2;z1z2=z1z2;(z1/z2)=z1/z2;P(z)=P(z),где Р (z) – любой многочлен сдействительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)),где P и Q–многочлены с действительными коэффициентами.
4. Извлечениекорней.
Извлечение корня изкомплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощьюпо данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показателькорня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильнорешению уравнения zn=aдлянахождения z. В множествекомплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем инеоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня.В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти поформуле:
√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2± i(√|a|-α)/2)),где знак «+» в скобках берется при β>0, «-» — при β
5. Геометрическийсмысл алгебраических операций.
Пусть даны двакомплексных числа z1и z2.В результате сложения этих чисел получается число z3,изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилупараллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3.
/>Рис.3
Разность (z1-z2)данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как суммувектора 0А, изображающего число z1и вектора 0D=--0В, противоположноговектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA.Таким образом, разности (z1-z2)данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.
Для иллюстрацииостальных алгебраических действий над комплексными числами более удобнатригонометрическая форма.
Умножение. Пусть даныдва комплексных числа z1=r1(cosφ1+isinφ1)и z2=r2(cosφ2+isinφ2).Перемножая их получим z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, ааргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.
Деление. Если требуетсяразделить z1на z2,то выполняем следующие преобразования: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2-isinφ2))/(r2(cosφ2+isinφ2)r2(cosφ2-isinφ2))=(r1/r2)(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)),т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументывычитаются.
Возведение в степень.Умножая число z=r(cosφ+isinφ)само на себя «n» раз, получаемсогласно правилу умножения zn=rn(cosφ+isinφ)n=rn(cosnφ+isinnφ).Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n»в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n»(на показатель степени). В частном случае, если r=1,то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n=cosnφ+isinnφ(9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).
Извлечение корня. Пустьа=reiφ,z=ρeiσ.Решаем уравнение zn=aдля вычисления n√a:ρneinσ=reiφ.Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π,получаем: ρn=r,nσ-φ=2πK,или ρ=n√r;σK+1=(φ+2πK)/n(причем К=0,1,2…n-1). Такимобразом, zk=n√r(cosφ+isinφ)=n√r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n)) (10), где n√r, — арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1;т.е. корень степени n в множествекомплексных чисел имеет “n”различных значений zk(исключение представляет z=0.В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).
Заметим также, чторазность между аргументами соседних чисел zk+1иzk постоянна и равна 2π/n:σk+1-σk=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n.Отсюда следует, что все значения n√aрасполагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольникас центром в начале координат.
IV.Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ойстепеней.
1. ФормулаКардано.
Рассмотрим приведенноеалгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ейстепени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). Спомощью замены x=y-a/3это уравнение примет вид y3+py+q=0 (11’), где p и q– новые коэффициенты, зависящие от a,b,c.Пусть у0– какой либо корень уравнения (11’). Представим его в видеу0=α+β, где α и β – неизвестные пока числа, иподставим в уравнение. Получим α3+β3+( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выборчисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные)удовлетворяют системе уравнений
/> α+β=у0;
αβ=-р/3,а значит, существуют.
При этих условияхуравнение (12) примет вид α3+β3+q=0,а т.к. еще α3β3=-р3/27, тополучаем систему
/> α3+β3=-q;
α3β3=-р3/27,
из которой по теоремеВиета следует, что α3 и β3 являются корнямиуравнения t2+qt-p3/27=0.Отсюда находим: α3=-q/2+√q2/4+p3/27; β3=-q/2-√q2/4+p3/27,где √q2/4+p3/27означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, чтокорни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.
y1.2.3=n√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27,причем для каждого из трех значение первого корня 3√αсоответствующие значения второго корня 3√β нужно братьтак, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формуланазывается формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3√α+3√β,где α=-q/2+√q2/4+p3/27;β=-q/2-√q2/4+p3/27.Подставив в нее вместо р и qих выражения через a,b,cи вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. МетодФеррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенноеуравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r,зависящими от a,b,c,d.Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0,а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть вравносильной форме (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0 (15)
Выберем теперь число αтак, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы егодискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0,или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0.Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, изадача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корнейэтого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов ипоэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степениотносительно «у».
V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованиемкомплексных чисел.
1.Вычислить:ii2i3…i10=?
Решение:ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11∙10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.
2. Каков геометрическийсмысл выражений: а) |z|,б)Argz; в) |z1-z2|,г) Arg(z1/z2)?
Ответ: а) расстояние отначала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на которыйнужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М,изображающего комплексное число z;
в) |z1-z2|-расстояние между точками z1и z2,изображающими комплексные числа z1и z2;
г) Arg(z1/z2)– угол между изображающими векторами 0z1и 0z2.
3. Доказать, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ;sin3φ=3cos2φsinφ-sin3φ.
/>Доказательство:по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3=(cos3φ-3cosφsin2φ)+(3cos2φsinφ-sin3φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ,sin3φ=3cos2φsinφ-sin3φ.
4. Найти действительныерешения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
/>Решение:(3x-5y)+i(x+2y)=4+16i
/>/>3x-5y=4
x+2y=16 x=8;y=4.
Ответ:z=8+4i.
5. Доказать тождество |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)и вычислить его геометрический смысл.
Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2=(z1+z2)(z1+z2)+(z1-z2)(z1-z2)=(z1+z2)(z1+z2)+ +( z1-z2)(z1-z2)=2z1z1+2z2z2=2(|z1|2+|z2|2).
Геометрический смысл:сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторонпараллелограмма.
6. Найти геометрическоеместо точек:
а) |z-z0|=R;б) z=z0+Reit (0≤t
Ответ: Окружностьрадиуса R с центром в z0.
/>в) |z-3i|=|z+2|;
г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
/>д) |z|≤R
π/4≤argz≤5π/4
Решение:
в) точка zдолжна быть удалена на такое же расстояние от точки z1=-2,как и от точки z2=3i,т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ.Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящаячерез точку С (хс; ус), где хс=(-2+0)/2=-1; ус=(3+0)/2=3/2,перпендикулярная отрезку АВ.
/>г) Рассматривая попарнонаправленные равенства |z+i|=|z-3|и |z-3|=|z-1-i|,приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точекпересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а такжеи к АС).
/>д) Верхний полукруг,ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4и окружностью |z|=R, не содержащий (∙)z=0.
7. Доказать тождество:
(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).
Доказательство:
1) (2x-z)2+(2x-z)2=4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x(z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2-
-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re(z2).
2) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).
8. Решить системууравнений
/> (3-i)z1-(4+2i)z2=1+3i;
(4+2i)z1+(2+3i)z2=7.
Решение: Применимправило Крамера:
/>/>∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2=21+23i
(4+2i)+(2+3i)
/>/>∆z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i
7 (2+3i)
/>/>∆z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i
(4+2i) 7
/>/>/>Z1= 21+23i =1; z2= 23-21i =-i(21+23i) =-i
21+23i 21+23i 21+23i
Ответ:z1=1; z2=-i.
9. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1)можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c– целые числа).
Доказательство:заметим,чтоа2+1=|a+i|2,тогдаимеем:(а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.
10.Найтисуммы:
С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ;S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.
Решение: найдем сумму σ=с+iS=(eiφ+e2iφ+…+einφ)и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ;S=Imσ.Последовательно имеем: eiφ+e2iφ+…+einφ=eiφ((1- einφ)/(1-eiφ))= (eiφ(1-einφ) (1- e-iφ))/((1- eiφ)(1- e-iφ))= =(eiφ-1- eiφ(n+1)+einφ)/|1- eiφ|2.
Поскольку|1- eiφ|2=|(1-cosφ)-isinφ|2=(1-cosφ)2+sin2φ=4sin2(φ/2);
Re(eiφ-1- eiφ(n+1)+einφ)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin2(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2и Im(eiφ-1- eiφ(n+1)+ einφ)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))==2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2))= =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/sin(φ/2);
S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2))= =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/sin(φ/2)
11.Найтисумму1+eπcosπ+e2πcos2π+…+enπcosnπ.
Решение: Рассмотримфункцию
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnxи найдем ее значение при х=π.
В свою очередь, принахождении суммы S(x)перейдем к комплексным числам:
σ(z)=1+ex+ix+e2x+i2x+…+enx+inx=1+ex(1+i)+e2x(1+i)+…+enx(1+i)=(1-( ex(1+i))n+1)/(1-ex(1+i))= =1-ex(n+1)(1+i)/(1-ex(1+i))=((1-ex(n+1)(1+i))(1-ex(1-i))/((1-ex(1+i))(1-ex(1-i)))=(1- ex(n+1)(1+i) — ex(1-i)+ex(n+2+ni))/|1- ex(1+i)|2=
=(1-e(n+1)xei(n+1)x-exe-ix+e(n+2)xexni)/(1-2excosx+e2x)
т.к. S(x)=Reσ(z),то получаем формулу:
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx=(1-e(n+1)xcos(n+1)x+e(n+2)xcosnx-excosx)/(1-2excosx+e2x)
Отсюда следует, чтоискомая сумма равна:
S(π)=1+eπcosπ+e2πcos2π+…+enπcosnπ=(1+eπ+eπ(n+2)(-1)n-e(n+1)(-1)n+1)/(1+2eπ+e2π)==((1+eπ)+(-1)neπ(n+1)(eπ+1))/(eπ+1)2=(1+(-1)neπ(n+1))/(1+eπ)
/>12.Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.
Доказательство:
/>Т.к.(z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2=((|z|2-1)+2iy)/|z+1|2;то Re(z-1)(z+1)=0,если только |z|2-1=0 |z|=1.
/>13. Найти все значениякорня 4√1+i√3.Дать геометрическую иллюстрацию.
Решение:
z=4√1+i√3=4√a,где a=1+i√3.
Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3),то zk=4√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ),где К=0,1,2,3.
Получаем:
Z0=4√2(cosπ/12+isinπ/12);z1=4√2(cos7π/12+isin7π/12);
Z2=4√2(cos13π/12+isin13π/12);z4=4√2(cos19π/12+isin19π/12).
14. Представить валгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)6-1/(√3-i)6=z
Решение: преобразуемданное число:
Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))6-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))6= =(1-i√3)6/|1+i√3|12-(√3+i)6/|√3+i|12=z1-z2=(т.к.|z1|=|z2|=2;φ1=-π/3; φ2=π/6, то)=1/26∙26(cos(-π/3)+isin(-π/3))6-1/26∙26(cosπ/6+isinπ/6))6= =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.
VII. Литература.
VIII.
1. КурашА.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
2. МаркушевичА.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.
3. СтройкД.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
4. ЯгломИ.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.
5. Справочникпо элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией ФильчаковаП.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.