КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГОУНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управлениявойсками»
Только для преподавателей
«Утверждаю»
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент СМИРНОВА А.И.
«МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА»
ЛЕКЦИЯ № 2 / 3
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2003г.
Протокол № ___________
Кострома, 2003
Cодержание
Введение
1. Действия над матрицами.
2. Решение систем линейных уравненийметодом Гаусса.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курсвысшей математики, том I,гл.2,§6, 7.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, § 1, 7.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над надматрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Длячастного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислятьопределители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гауссаявляется более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейныхсистем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделахматематики и в прикладных вопросах.
1-ый учебный вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямоугольная таблица из m, nчисел, содержащая m– строк и n– столбцов, вида:
/>
называется матрицей размера m´n
Числа, из которыхсоставлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аij в матрице характеризуются двойныминдексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечениикоторых стоит элемент.
Сокращенно матрицыобозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записыватьтак: />
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строкравно числу столбцов, т.е. m= n, называется квадратной.
Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.
ПРИМЕР.
/>
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будемрассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ееприложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты,например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица –специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записыватьразличные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы частовстречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица размера 1´n, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.
Матрица размера т ´1, состоящая из одного столбца, называется матрицей– столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю.
Рассмотрим квадратнуюматрицу порядка n:
/> побочная диагональ
/>
главная диагональ
Диагональ квадратнойматрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему,называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали стоятэлементы вида а ii).
Диагональ, идущая отправого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональюматрицы.
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1) Квадратная матрица называется диагональной,если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.
/>
2) Диагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице, называется единичной.Обозначается:
/>
3) Квадратнаяматрица называется треугольной, если все элементы, расположенные поодну сторону от главной диагонали, равны нулю:
/> />
верхняя нижняя
треугольная матрица треугольная матрица
Для квадратной матрицы вводитсяпонятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный изэлементов матрицы. Обозначается:
/>
Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ. Неквадратнаяматрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, томатрица называется невырожденной, если определитель равен нулю, томатрица называется вырожденной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Матрица, полученная из данной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной.
Матрицу,транспонированную к А, обозначают АТ.
ПРИМЕР.
/> />
2 /> 3 3 /> 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы одного и того же размераназываются равными, если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим действия над матрицами.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц одинаковогоразмера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммойдвух матриц А = (аij) и В = (bij) одинакового размера называется матрица С = (сij) того же размера, элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. сi j = a i j + bi j
Обозначается сумма матриц А + В.
ПРИМЕР.
/>
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.Чтобы умножить матрицу на число k, надо умножить на это числокаждый элемент матрицы:
еслиА= (аij), то k· A= (k· aij)
ПРИМЕР.
/>
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО
1. Переместительноесвойство: А + В = В + А
2. Сочетательноесвойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С )
3. Распределительное свойство: k·( A+ B) = kA+ kB, где k – число
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Матрицу А назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы Аравно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица Аимеет размер m´n,матрица В имеет размер n´k. Квадратные матрицы согласованы, если они одногопорядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m´nна матрицу В размера n´k называется матрица С размера m´k, элемент которой аij, расположенный в i–ой строке и j– ом столбце, равенсумме произведений элементов i– ой строки матрицы А на соответствующие элементы j– столбца матрицы В, т.е.
cij= ai1 b1 j+ ai2b2 j+……+ ainbnj
Обозначим: С = А · В.
Если /> то
/>
Произведение В ´А не имеет смысла, т.к. матрицы /> не согласованы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´В имеет смысл, то В ´А может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Еслиимеет смысл А ´В и В ´А, то, вообще говоря
А ´ В ¹ В ´А, т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А –квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´Е = Е ´А = А.
Отсюда следует, чтоединичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ. Найти, если можно, А ´В и В ´А.
1. />
Решение: Квадратные матрицы одного итого же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´В и В ´А существуют.
/>
2. />
Решение: Матрицы А и Всогласованы
/>
Матрицы В и Ане согласованы, поэтому В ´А не имеет смысла.
Отметим, что в результатеперемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколькоих имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.
СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1. Сочетательное свойство: А ´( В ´С ) = (А ´В ) ´С
2. Распределительное свойство: (А +В) ´С = А ´С + В ´С
Можно показать, что,если А и В – две квадратные матрицы одного порядка сопределителями ½А ½ и ½В ½, то определитель матрицы С = А ´В равен произведению определителей перемножаемыхматриц, т.е.
½С½ = ½А ½ ½В ½
Отметим следующийлюбопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел неравно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е.произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль — матрице.
Действие«деление» для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матрицвводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться врекомендуемой литературе.
2 – ой учебный вопрос РЕШЕНИЕСИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМГАУССА
Метод Гаусса (или метод последовательного исключениянеизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых числонеизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.
Система т линейных уравнений с п неизвестнымиимеет вид:
/>
x1, x2, …, xn – неизвестные.
aij — коэффициенты при неизвестных.
bi — свободные члены (или правые части)
Система линейныхуравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной,если она не имеет решения.
Совместная системаназывается определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной,если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системыназываются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Кэлементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1. перемена местами двух любыхуравнений;
2. умножение обеих частей любого изуравнений на произвольное число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного изуравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любоедействительное число.
Элементарныепреобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Элементарныепреобразования системы используются в методе Гаусса.
Для простоты рассмотримметод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае,когда существует единственное решение:
Дана система:
/> ( 1 )
1-ый шаг методаГаусса.
На первом шаге исключимнеизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого.Пусть коэффициент />. Назовем еговедущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получимуравнение:
/> (2 )
где />
Исключим х1из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21и а31).
Система примет вид:
/> ( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентахпервой преобразованной системы.
2-ой шаг методаГаусса.
На втором шаге исключимнеизвестное х2из третьего уравнения системы (3). Пустькоэффициент />. Выберем его за ведущийэлемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
/> ( 4 )
где />
Из третьего уравнениясистемы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на />Получимуравнение:
/>
Предполагая, что />находим
/>
В результате преобразованийсистема приняла вид:
/> (5)
Система вида (5)называется треугольной.
Процесс приведениясистемы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходомметода Гаусса.
Нахождение неизвестныхиз треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденноезначение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) инаходят х2. Затем х2 и х3 подставляютв первое уравнение и находят х1.
В общем случае длясистемы т линейных уравнений с п неизвестными проводятсяаналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных извсех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называниеметода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений неимеет.
В случае совместнойсистемы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода,система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена илик треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
/>
Такая система имеетединственное решение, которое находится в результате проведения обратного ходаметода гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
/>
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобынайти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хk+1, …, xk переносят в правую часть. Этинеизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Изполученной треугольной системы находим х1, …, xk,которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можноузнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ иявляется более экономичным (по числу действий), чем другие методы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментомдля записи различных математических преобразований и широко используется внаучно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейныесистемы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартныхпрограмм для ЭВМ.
доцент Смирнова А.И.