Клеточные пространства

Содержание
Введение
1. Основные определения
1.1Терминологические замечания
1.2 Комментарии к определению клеточного пространства
2. Клеточные разбиения классических пространств
2.1 Сферы и шары
2.2 Проективные пространства
2.3 Многообразия Грассмана
2.4 Многообразия флагов
2.5 Классические поверхности
3. Гомотопические свойства клеточных пространств
3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий
3.2 Следствия из теоремы Борсука
3.3 Теорема о клеточной аппроксимации
3.4 Доказательство леммы о свободной точке
3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации
Заключение
Список использованных источников
Введение
В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип — структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа — комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.
Одна из важнейших из комбинаторных структур — клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.
Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.
1. Основные определения
Клеточное пространство — это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения /> попарно непересекающихся множеств /> («клеток») таким образом, что для каждой клетки /> существует отображение q-мерного шара /> в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке />), сужение которого на внутренность Int/> шара />представляет собой гомеоморфизм Int/>≈/>. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.
(С) Граница />= />−/>/> клетки />содержится в объединении конечного числа клеток /> с r
(W) Множество F />К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки />замкнуто пересечение F/>/>.
(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)
1.1Терминологические замечания
1. Термин «клеточное пространство» не является абсолютно общепринятым: говорят также «клеточное разбиение» или «клеточный комплекс» или "CW-комплекс". Выражение «клеточное разбиение» мы будем употреблять как синоним выражения «разбиение пространства на клетки»; термин же «комплекс» будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.
2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closure finite" и "weak topology".
Клеточное подпространство клеточного пространства K — это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства — его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности />n (по определению, размерность клетки />равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства />или />X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.
Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.
1.2 Комментарии к определению клеточного пространства
1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета />на клетки />,/> и (/>) — />делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности />, то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).
Рис.1
/>
2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D2 на внутренность Int D2 и отдельные точки граничной окружности />удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F />Int D 2 = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).
3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство />│α=1,2,…/>копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками />, />равно/>, если />, и равно />, если/>. Разбиение построенного пространства на множества />и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки />составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.
Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется «клеточным ослаблением топологии».
2. Клеточные разбиения классических пространств
2.1 Сферы и шары
При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы />. Первое состоит из двух клеток: точки /> (любой, скажем, (1,0,… ..., 0)) и множества /> (рис.2а). Характеристическое отображение />, отвечающее второй клетке, — это обычное «сворачивание» сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле />, где/> (рис.3).
/>
Рис.2
/>
Рис.3
Другое каноническое клеточное разбиение сферы />состоит из 2n +2 клеток />: клетка /> состоит из точек />, у которых /> и /> (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.
Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы /> получаются из единственного возможного разбиения сферы /> (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае — обыкновенную надстройку.
Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы />: ее можно разбить на 3n+1 — 1 клеток как границу (n+1) — мерного куба, на /> клеток — как границу (n+1) — мерного симплекса и т.п. .--PAGE_BREAK--
Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы />.
Клеточное разбиение шара /> можно получить из любого клеточного разбиения сферы /> путем присоединения одной клетки Int/> с характеристическим отображением id: />/>/>. Наиболее экономное клеточное разбиение шара /> состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара />.
2.2 Проективные пространства
При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы /> клетки/> — клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) — клеточное разбиение пространства R/>, по одной клетке /> в каждой размерности q≤n. Это же разбиение можно описать так:
/>R/>│/>.
Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений
/>R/>R/>R/>R/>,
и мы полагаем eq = R/> — R/>. Характеристическим отображением для eq служит композиция канонической проекции Dq/>R/> и включения R/>/>R/>. При n=/> наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R/>, содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С/> на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства H/>на клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР2 на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств С/>и H/>, содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С/> разбивается на клетки
/> С/>│/>
с характеристическими отображениями
/>/>/>C/> С/>.
2.3 Многообразия Грассмана
Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.
Пусть /> — произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ≤ n — k. Обозначим через e (/>) подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств /> пространства R/>, удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем />=0):
/>R/> при m ≤ k — m/>;
codim /> (/>R/>) =о при />;
/>R/> при m ≤ k + s + 1
(мы считаем, что Ra/>R/> при a ). Приведем другое, более простое описание множества e (/>). Напомним, что диаграмма Юнга набора /> — это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины />).
Число клеток диаграммы Юнга равно />. Можно считать, что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k/> (n — k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора/> и расположим ее, как показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции/>, и множество e (/>) задается условием dim (/>R/>) = /> (m). Ввиду наличия такого простого описания, множество e (/>) обозначают иногда через е (/>), где /> — обозначение для диаграммы Юнга набора (/>). Еще раз заметим, что размерность клетки е (/>) равна числу клеток диаграммы/>.
Лемма. Множество e (/>) гомеоморфно R/>.
Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора (/>), как показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные клетки — произвольные числа и в остальные места — нули. Получится k/>n-матрица, строки которой составляют базис некоторого k-мерного подпространства пространства R/>. Легко понять, что это подпространство принадлежит e (/>) и что всякое подпространство, принадлежащее e (/>), обладает единственным базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e (/>) наборами из /> чисел (числа в заштрихованных клетках).
/>
Рис.4
На самом деле верно больше: множества e (/>) составляют клеточное разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы Int/>/>R/> /> e (/>) до непрерывных отображений />/>G (n, k), отображающих сферу /> в объединение клеток меньших размерностей.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив G (n+1, k+1) клетка e (/>) гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство G (/>,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а пространство G (/>,/>) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.
Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.
2.4 Многообразия флагов
Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).
Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей />пересечений V/>/>R/>. Числа />, однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.
Клетки пространства F (n; />) отвечают наборам /> целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно /> из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k/>=0 и k/>=n). Клетка е [/>], отвечающая набору (/>), состоит из флагов V/>/>V/>, у которых
dim/>{/>
(мы считаем, что V/>=0 и V/> есть все пространство R/>) или, иначе,
dim (V/>/>R/>) = card {р≤ i│kp≤ j }.
Размерность клетки е [/>] равна числу пар (i, j), для которых i>/>.
В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.
Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор />состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если /> = 1, и вправо, если />= 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга />, и легко понять, что е [/>] = е (/>).
Заметим в заключение, что клетки е [/>] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это — орбиты группы нижних треугольных n/>n-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [/>] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству />
2.5 Классические поверхности
Клеточные разбиения поверхностей S2 и RP2 нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из
внутренности многоугольника, одномерные клетки — из его (открытых) ребер, нульмерные клетки — из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.
/>
Рис.5
3. Гомотопические свойства клеточных пространств
3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий
Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х/>Y всякая гомотопия ft: А/>Y, такая, что f />= F│ А, может быть продолжена до гомотопий Ft: Х/>Y, у которой F0= F.
Теорема Борсука. Если X — клеточное пространство и А — его клеточное подпространство, то (X, А) — пара Борсука.
Доказательство. Нам даны отображения Ф: А />I />Y (гомотопия ft) и F: X/> 0 />Y, причем F │/>= Ф│/>. Продолжить гомотопию ft до гомотопий Ft — это значит продолжить отображение F до отображения F’: X/>I />Y, такого, что F’ │/>= Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A/>X/>) />I:
F’ (x, t) ={/>
Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A /> X/>) /> I. Возьмем произвольную (n+ 1) — мерную клетку e/> Х — A. По предположению, F' задано на множестве (/>) />I, так как граница />=/> клетки />содержится в X/> по определению клеточного пространства. Пусть f: D/>/> X — характеристическое отображение, соответствующее клетке />. Нам надо продолжить F' на внутренность «цилиндра» f (D/>) />I с его «стенки» f (S/>) />I и «дна» f (D/>) /> 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение />F’/>f: (S/>I) /> (D/>/> 0) />Y до непрерывного отображения />': D/>/>I />Y.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть />: D/>/>I /> (S/>I) /> (D/>/> 0) — проектирование цилиндра D/>/>I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D/>/>I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S/>I) /> (D/>/> 0). Отображение />' мы определяем как композицию
D/>/>I/> (S/>I) /> (D/>/> 0) />Y.
Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) — мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A />X/>) /> I.
/>
Рис.6
Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X/>I/>Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.
3.2 Следствия из теоремы Борсука
Следствие 1. Пусть X — клеточное пространство и А — его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.
Доказательство. Обозначим через /> проектирование X /> Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: А/>А, такая, что отображение f0: А />А тождественно и f/> (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: Х/>Х, такая, что F0= id/> и Ft│A =ft. B частности F/> (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F/>=q />p, где q: Х/А />X — некоторое непрерывное отображение. По построению, F/> ~F0, т.е. q />p ~ id/>.
Далее, Ft (А) /> А (при любом t), т.е. р />Ft (А) = *. Следовательно, р/>Ft = = qt/> р, где qt: Х/А />Х/А — некоторая гомотопия. При этом q/> = id/> иq/> = р/>q; следовательно, р />q ~ id/>.
Следствие доказано.
Следствие 2. Если X — клеточное пространство и А — его клеточное подпространство, то Х/А ~ X />СА, где СА — конус над А.
Доказательство. Х/А = (X /> СА) /СА ~Х /> СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X /> СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.
Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) — пара Борсука, а во втором случае — предположением, что (X /> СА, СА) — пара Борсука.
3.3 Теорема о клеточной аппроксимации
Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.
Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение («относительный вариант» нашей теоремы).
Теорема. Пусть f — непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X/>Y, что g│A =f│A и, более того, f~g relA.
Поясним запись f~g relA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X />Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h/>: Х/>Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что ht (а) не зависит от t при а /> А. Конечно, из f~ g relА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I/>S/>, f — «наворачивание» отрезка на окружность, g — отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0/>1).
Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность X — А. Ее образ f (ep) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f (/>p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, />/>, dim/>/>= q. Если q≤ р, то нам с клеткой ер делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.
Лемма о свободной точке. Пусть U — открытое подмножество пространства Rp и />: U/> IntDq — такое непрерывное отображение, что множество V = /> (dq) />U, где dq — некоторый замкнутый шарик в IntD/>, компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение />: U/>Int Dq, совпадающее с /> вне    продолжение
--PAGE_BREAK--
V и такое, что его образ не покрывает всего шара dq.
Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение /> автоматически будет гомотопным /> относительно U — V: достаточно взять связывающую /> с /> «прямолинейную» гомотопию, при которой точка /> (u) равномерно движется к /> (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему /> (u) с /> (u).
Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│ /> гомотопно rel (A/>X/>) отображению f’: A />X/>/> е р/>Y, такому, что f’ (ep) задевает те же клетки, что и f (e р), но заведомо f’ (ep) не содержит всю клетку />. В самом деле, пусть h: Dp/>Х, k: Dp/>Y — характеристические отображения, соответствующие клеткам ер, />. Положим U=/>h (f/> (/>) /> ер) и определим отображение />: U/>Int Dq как композицию:
u/>x />y />/> = /> (u)
/>/>/>/>
U e/>/>f/> (/>) />Int Dq Обозначим через dq (замкнутый) концентрический подшар шара Dq. Множество V= />/> (dq) компактно (как замкнутое подмножество шара Dp). Пусть />: U />IntDq — отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию
x />u />/>/>y = f’ (x)
/>/>/>/>
h (U) U Int Dq />/>Y
наh(U). Ясно, что отображение f’ непрерывно (оно совпадает с f на «буферном множестве» h (U — V)) и гомотопно f│/>rel (A/>X/>), и даже rel (A/>X/>/> (e/>-h (V)))) (это вытекает из гомотопности />~ />rel (U — V)). Ясно также, что f' (ep) не покрывает eq.
Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A /> Х/> гомотопию между f│/> и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у0/>/>, не принадлежащую f’ (ер), и подвергаем f'│/> «радиальной гомотопии»: если точка x/>ep не принадлежит f’/> (/>),To f' (x) стоит на месте, а если f' (x) />/>, то f’ (x) движется по отрезку, идущему из точки у0на границу клетки /> (точнее говоря, по k-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке k/> (у0) проходящего через точку k/> (f’ (x)) />k/> (у0) и кончающегося на граничной сфере S/>шара Dq). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения f'│/> (неподвижной вне ер) и — по теореме Борсука — до гомотопии всего отображения f’: Х/>Y. Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A/>Х/>) и обладает тем свойством, что f’’ (ep) задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е р) (и, как и f (ep), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному на A/>Х/>ep, причем гомотопия будет неподвижной на A/>Х/>.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Теперь заметим, что «исправление» отображения f, которое мы проделали для клетки ер, можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X — А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A />Хр и гомотопному f rel (A/>Х/>).
Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,… Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 — 2/>≤t≤ 1 — 2/>. Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого te
3.4 Доказательство леммы о свободной точке
Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда «строгое» определение того или иного понятия (в данном случае />-/>-определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь — доказать лемму надо.
В основе второго доказательства леммы лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R/>, n ≤ q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (q — 1) — мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти q+ 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это — симплексы размерности ≤q. Нульмерная грань — это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство Rmопределяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства — это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.
Барицентрическое подразделение q-мерного симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1)! более мелких q-мерных симплексов. Вершины новых симплексов — это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе — его самого). Множество {х0, х/>,..., xq) этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани />0, />,..., />q можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис.7. (По-другому барицентрическое подразделение q-мерного симплекса /> можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q — 1) — мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса />, строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс /> — его совокупность точек вида />, где /> — вершины, t/>≥ 0 и />t/> = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам (i0, i/>,..., iq) чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек
/>t/>/> с />.
Барицентрическое подразделение триангуляции — это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис.8).
Обратимся теперь к нашему отображению />. Прежде всего мы построим в шарике d = dq концентрические шарики d/>, d2, d3, d/> радиусов />/5, 2/>/5, З/>/5,4/>/5, где />-радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в Rpобладает конечной триангуляцией). Применив к этой триангуляции достаточное число
/>
Рис.7 Рис.8
раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса /> триангуляции выполнялось неравенство diam/> (/>) /5. Пусть K1 — объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К,/>-образы которых пересекаются с d4. Тогда d4/>/>/> (K1) />d. Рассмотрим отображение />': К1/>d, совпадающее с /> на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения />│K/> и />’ гомотопны — они соединяются прямолинейной гомотопией />t: K1/>d, />0=/>│K, />1 = />’. Теперь «сошьем» отображения /> и />’ в отображение />: U/>IntDq:
/> (u), если /> (u) />d3,/> (u) = />’ (u), если /> (u) />d2,/>3-5/>(u) (u), если /> (u) />d3-d2.
Здесь /> (u) — расстояние от точки /> (u) до центра шара d. (См. рис.9)    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рис.9
Отображение /> непрерывно, совпадает с /> на U — V и его образ пересекается с d1 по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, т.е. всего шара d1 (а значит, и всего шара d) не покрывает.
Лемма доказана.
3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации
Теорема. Если X — клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности X гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории пространств с отмеченными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).
Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f: Y /> X — клеточное отображение, то так как q-й остов пространства Y есть все Y, а q-й остов пространства X есть точка, то f (Y) — точка.
В частности, если m (Sm, Sq) = />b (Sm, Sq) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).
Оп ределение. Пространство X называется n-связным, если при q ≤ n множество /> (Sq, X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения Sq/> X с q ≤ n гомотопны).
Теорема. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.
Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е0и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство n-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть si — путь, соединяющий вершину е0с вершиной еi. Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути si (рис.10).
/>
Рис.10
Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е/>, е/> (верхние полуокружности и внутренности приклеенных писков). То, что границы клеток е/> лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути si. Ясно, что X есть деформационный ретракт в />: каждый Фприклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность.
Обозначим через Y объединение замыканий клеток еi1. Очевидно, Y стягиваемо; следовательно, /> /Y ~ />~ X. Но у />/Y всего одна вершина.
Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X’, причем X' имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,..., k — 1, где k≤n. В этом случае замыкание каждой k-мерной клетки представ ляет собой k-мерную сферу. Ввиду n-связности X (и, следовательно, X’) включение этой сферы в X' продолжается до непрерывного отображения (k + 1) — мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (k + 1) — м остове пространства X'. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы (k + 1) — мерной сферы) мы приклеиваем к X'. шар Dk+2, и подобным образом мы поступаем для каждой k-мерной клетки пространства X’. Полученное клеточное пространство />’ гомотопически эквивалентно X’ и содержит стягиваемое подпространство Y — объединение замыканий всех вновь приклеенных (k + 1) — мерных клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все k-мерные клетки. Имеем: />’ /Y ~ />’ ~ X’ ~ X, />’ /Y имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,...,k.
Следствие. Если клеточное пространство X п-связно, а клеточное пространство Y n-мерно, то множество /> (Y, X) состоит из одного элемента. Это же верно для />b (Y, X), если X и Y имеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.
Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения k-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1) — мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое n-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (n + 1) — мерных сфер.
Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие n-связной пары. Топологическая пара (X, А) называется n-связной, если всякое отображение (Dn, Sn-1) /> (X, А) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dnв А.
Заключение
В данной курсовой работе был собран и обобщен материал, касающийся вопросов, связанных с важнейшей комбинаторной структурой топологии — клеточной структурой.
Цель курсовой работы — изучение основных понятий клеточной структуры топологии, выяснение ее значимости — была достигнута.
Для достижения цели была проработана литература, рассмотрены определение клеточного пространства, клеточные разбиения классических пространств, а также некоторые теоремы о клеточных пространствах.
Результаты проделанной работы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении разделов топологии, а также для анализа и систематизации курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и других дисциплин.
Список использованных источников
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1983. — 160 с.
Борисович, Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т. Н Фоменко — М.: Высш. школа, 1980. — 295 с.
Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер − М.: Мир, 1972. − 496 с.
Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — М. — Л.: ГОНТИ, 1938. — 400 с.
Куратовский, К. Топология: В 2 т. / К. Куратовский − М.: Мир, 1966, т. I, − 594 с; 1969, т.П. − 624 с.
Рохлин, В.В., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В.В. Рохлин, Д.Б. Фукс − М.: Наука, 1977. − 488 с.
Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер; перевод с англ. Б.М. Пранова; под ред.А.М. Виноградова — М.: Мир, 1971 — 680с.
Стинрод, Н. Чинн У. Первые понятия топологии / Н. Стинрод, У. Чинн − М.: Мир, 1967. − 224 с.
Фоменко, А.Т., Фукс, Д.Б. Курс гомотопической топологии: учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. Физ. — мат. Лит., 1989. — 528 с.