Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП />,ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ />-ПОДГРУПП, ИНДЕКСЫ КОТОРЫХ НЕ ДЕЛЯТСЯ НА НЕКОТОРОЕПРОСТОЕ ЧИСЛО
Исполнитель:
Студенткагруппы М-53 Вакрилова Л.М.
Научныйруководитель:
докторф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Содержание
Переченьусловных обозначений
Введение
1 Описание />-формаций Шеметкова
2 Описание />-формаций Шеметкова
3 Критерий принадлежности групп,факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям
Заключение
Список использованныхисточников
Перечень условных обозначений
Рассматриваютсятолько конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
/> --- множество всех натуральныхчисел;
/> --- множество всех простых чисел;
/> --- некоторое множество простыхчисел, т. е. />;
/>
— дополнение к /> во множестве всех простых чисел; вчастности, />;
примарноечисло — любое число вида />.
Буквами/> обозначаются простые числа.
Пусть/> --- группа. Тогда:
/> --- порядок группы />;
/>
— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/> --- коммутант группы />, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторамивсех элементов группы />;
/> --- подгруппа Фиттинга группы />, т. е. произведение всех нормальныхнильпотентных подгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/> --- подгруппа Фраттини группы />, т. е. пересечение всех максимальныхподгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/> --- />-холловаподгруппа группы />;
/> --- силовская />-подгруппа группы />;
/> --- дополнение к силовской />-подгруппе в группе />,т. е. />-холлова подгруппа группы />;
/> --- нильпотентная длина группы />;
/> --- />-длинагруппы />;
/> --- минимальное число порождающихэлементов группы />;
/> --- цоколь группы />, т. е. подгруппа, порожденная всемиминимальными нормальными подгруппами группы />;
/> --- циклическая группа порядка />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то :
/> --- /> являетсяподгруппой группы />;
/> --- /> являетсясобственной подгруппой группы />;
/> --- /> являетсянормальной подгруппой группы />;
/>
— ядро подгруппы /> в группе />, т. е. пересечение всех подгрупп,сопряженных с /> в />;
/> --- нормальное замыкание подгруппы/> в группе />,т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с /> подгруппамигруппы />;
/> --- индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/> --- нормализатор подгруппы /> в группе />;
/> --- централизатор подгруппы /> в группе />;
/> --- взаимный коммутант подгрупп /> и />;
/> --- подгруппа, порожденнаяподгруппами /> и />.
Минимальнаянормальная подгруппа группы /> --- неединичнаянормальная подгруппа группы />, не содержащаясобственных неединичных нормальных подгрупп группы />;
/> --- /> являетсямаксимальной подгруппой группы />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то:
/> --- прямое произведение подгрупп /> и />;
/> --- полупрямое произведениенормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/> --- /> и/> изоморфны;
/> --- регулярное сплетение подгрупп /> и />.
Подгруппы/> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальнав />;
/>-нильпотентной, если />-холлова подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существуетнормальный ряд, факторы которого либо />-группы,либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ееглавный фактор является либо />-группой, либоциклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой,если существует номер /> такой, что />; сверхразрешимой, если она обладает главнымрядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическаягруппа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальнуюподгруппу.
/>-замкнутая группа — группа,обладающая нормальной холловской />-подгруппой.
/>-специальная группа — группа,обладающая нильпотентной нормальной холловской />-подгруппой.
/>-разложимая группа — группа,являющаяся одновременно />-специальной и />-замкнутой.
ГруппаШмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которойнильпотентны.
Добавлениемк подгруппе /> группы /> называетсятакая подгруппа /> из />, что
/>.
Цепь--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Рядподгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая черезединицу.
Рядподгрупп
/> называется:
субнормальным,если /> для любого />;
нормальным,если /> для любого />;
главным,если /> является минимальной нормальнойподгруппой в /> для всех />.
Классгрупп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой /> и все ей изоморфные группы.
/>-группа — группа, принадлежащаяклассу групп />.
Формация--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если/> --- класс групп, то:
/> --- множество всех простыхделителей порядков всех групп из />;
/> --- множество всех тех простыхчисел />, для которых />;
/> --- формация, порожденная классом />;
/> --- насыщенная формация,порожденная классом />;
/> --- класс всех групп />, представимых в виде
/>
где/>, />;
/>;
/> --- класс всех минимальных не />-групп, т. е. групп не принадлежащих />, но все собственные подгруппы которыхпринадлежат />;
/> --- класс всех />-групп из />;
/> --- класс всех конечных групп;
/> --- класс всех разрешимых конечныхгрупп;
/> --- класс всех />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех нильпотентныхгрупп;
/> --- класс всех разрешимых групп снильпотентной длиной />.
Если/> и /> --- классыгрупп, то:
/>.
Если/> --- класс групп и /> ---группа, то:
/> --- пересечение всех нормальныхподгрупп /> из /> таких,что />;
/> --- произведение всех нормальных />-подгрупп группы />.
Если/> и /> --- формации,то:
/> --- произведение формаций;
/> --- пересечение всех />-абнормальных максимальных подгрупп группы />.
Если/> --- насыщенная формация, то:
/> --- существенная характеристикаформации />.
/>-абнормальной называетсямаксимальная подгруппа /> группы />, если />,где /> --- некоторая непустая формация.
/>-гиперцентральной подгруппой в /> называется разрешимая нормальная подгруппа /> группы />,если /> обладает субнормальным рядом /> таким, что
(1)каждый фактор /> является главным фактором группы />;
(2)если порядок фактора /> есть степень простогочисла />, то />.
/> --- />-гиперцентргруппы />,
Введение
Известно,что любая конечная группа вида />, где /> и /> --- />-замкнутые подгруппы и индексы />, /> не делятся нанекоторое простое число />, является />-замкнутой.
Вработе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида />, где /> и/> --- />-нильпотентныеподгруппы и индексы />, /> неделятся на некоторое простое число />, является />-нильпотентной группой.
Всвязи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.
Проблема.Классифицировать наследственные насыщенные формации />,содержащие любую группу />, где /> и /> принадлежат /> и /> содержитнекоторую силовскую подгруппу группы />.
Вданной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга /> данная проблема решена полностью.
1. Описание />-формацийШеметкова
Важнуюроль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова,т. е. такие формации />, у которых любаяминимальная не />-группа является либогруппой Шмидта, либо группой простого порядка.
Впервыенаследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе[22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственныенасыщенные формации Шеметкова.
Определение.Формация /> называется />-формациейШеметкова, если любая минимальная не />-группа — либогруппа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной />-силовской подгруппой.
Приведемпример />-формаций Шеметкова.
1.1Пример.Если /> --- формация всех />-нильпотентных групп, то /> --- />-формацияШеметкова.
Пусть/> --- произвольная минимальная не />-группа. Известно, что группа /> является разрешимой. Покажем, что /> является группой Шмидта с нормальной />-силовской подгруппой. Так как /> не />-нильпотентнаягруппа, то />. Пусть />.Согласно теореме 2.2.5, />, где /> --- единственная минимальная нормальнаяподгруппа, /> --- примарная />-группа, />,где /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />. Покажем, что />. Действительно, если />,то из того факта, что /> />-нильпотентна,а значит и /> так же />-нильпотентна,следует, что /> />-нильпотентна,что невозможно. Известно, что формацию /> можнопредставить в виде />. Согласно лемме 2.2.20, />. Очевидно, что любая минимальная не />-группа есть группа простого порядка />. Итак, /> ---группа Шмидта. Пусть />. Выше показано, что /> --- группа Шмидта с нормальной />-силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы2.2.2 и леммы 4.1.1, /> является группой Шмидта снормальной />-силовской подгруппой. А этозначит, что /> --- />-формацияШеметкова.
1.2Лемма[14-A, 21-A]. Пусть />, />,/> --- непустые формации. Тогда />.
Доказательство.Пусть /> --- произвольная группа из />. Тогда />.Отсюда следует, что /> и />.А это значит, что />.
Пусть/> --- произвольная группа из />. Отсюда следует, что /> и/>. Тогда /> и/>. Итак, />.А это значит, что />. Лемма доказана.
Пусть/> --- насыщенная формация, а /> --- ее максимальный внутренний локальныйэкран, /> --- характеристика формации />. Обозначим через /> ---множество простых чисел из /> таких, что />, где /> ---простое число из />.
1.3Лемма.Пусть /> --- насыщенная формация, /> --- ее максимальный внутренний локальныйэкран. Тогда
/>
Доказательство.Известно, что для любой насыщенной формации /> справедливоследующее равенство
/>
Отсюдаследует, что
/>
Полемме 5.1.2,
/>
Леммадоказана.
1.4Теорема [14-A,21-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)/> --- />-формацияШеметкова;
2)/>, где /> и/>.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщеннуюформацию можно представить в виде
/>
где/> --- максимальный внутренний локальный экранформации />. Покажем, что если /> --- />-формацияШеметкова, то
/>
Действительно,очевидно, что
/>
Покажемобратное включение. Пусть /> --- группанаименьшего порядка из
/>
Таккак /> --- наследственная формация, то />.
Таккак /> --- насыщенная формация, то />. Нетрудно показать, что /> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу /> и />.Согласно условию, /> либо группа простогопорядка, либо группа Шмидта с нормальной />-силовскойподгруппой.
Пусть/>. Так как />,то />. Отсюда следует, что />.Противоречие.
Пусть/> --- группа Шмидта и />,где />. Очевидно, что />.Тогда из /> следует, что />. А это значит, что />.Так как />, то />.Но тогда />. Так как /> ---полный экран, то />. Так как /> --- внутренний экран, то />. Получили противоречие.
Покажем,что из 2) следует 1).
Пусть/>. Согласно условию, /> ---разрешимая группа. Пусть />. Очевидно, что /> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу />, причем /> ---/>-группа и />.Согласно теореме 2.2.5, />, где />, /> --- полныйлокальный экран формации />. Согласно лемме2.2.20, />. А это значит, что />, где />.Отсюда нетрудно заметить, что /> --- группаШмидта. Согласно лемме 2.2.21, /> --- либо группаШмидта с нормальной />-силовской подгруппой,либо группа простого порядка. Теорема доказана.
1.5Теорема [14-A,21-A]. Пусть /> --- наследственная насыщенная />-формация Шеметкова. Тогда /> содержит любую />-разрешимуюгруппу />, где /> и/> --- />-подгруппыи индексы />, /> неделятся на />.
Доказательство.Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что /> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу />, причем /> и/>. Так как /> ---/>-разрешимая группа, то либо /> --- />-группа,либо />-группа. Если /> --- />-группа,то из того, что /> следует, что />. Противоречие.
Пусть/> --- />-группа.Согласно условию, /> и />.Так как /> и />,то />. Отсюда следует, что />.Аналогичным образом получаем, что />. Отсюда и группа/>. А это значит, что />.Получили противоречие. Теорема доказана.
Вработе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формацияШеметкова /> замкнута относительно произведения/>-субнормальных />-подгрупп.Для наследственных насыщенных />-формацийШеметкова справедлива следующая теорема.
1.6Теорема [14-A,21-A]. Пусть /> --- наследственная насыщенная />-формация Шеметкова. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-подгруппы,индексы />, /> неделятся на /> и либо />,либо /> />-субнормальныв />.
Доказательство.Пусть /> --- наследственная насыщенная />-формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме5.1.4, она имеет следующее строение:
/>
где/> --- некоторое множество простых чисел,содержащее простое число />.
Пусть/> --- группа наименьшего порядка, непринадлежащая />, такая, что />, где /> и/> --- />-подгруппы,индексы />, /> неделятся на /> и /> />-субнормальна в />.
Нетруднопоказать, что /> имеет единственную минимальнуюнормальную подгруппу />.
Таккак /> --- насыщенная формация, то />.
Пусть/> --- абелева группа и /> ---/>-группа. Если />,то из того факта, что />, следует, что />. Противоречие.
Если/> --- />-группа,то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что />.Противоречие.
Пусть/> --- неабелева группа. В этом случае
/>
z\ неабелевых простых групп и />.
Рассмотримподгруппу />. Так как /> ---собственная />-субнормальная подгруппа группы /> и />, то нетруднопоказать, что />. Рассмотрим подгруппу />. По тождеству Дедекинда
/>
Очевидно,что /> --- />-субнормальнаяподгруппа />. Так как /> ---наследственная формация и />, то />. Очевидно, что индексы />, /> не делятся на />. Тогда по индукции, />.Если />, то />.Получили противоречие. Значит, />. Так как /> --- нормальная подгруппа из />, то /> ---нормальная подгруппа из />. Но тогда
/>
где/> --- изоморфные неабелевы простые группы, />. Так как /> и/> --- наследственная формация, то />. Отсюда нетрудно показать, что />. Если /> делитсяна />, то из того, что />,/> следует, что /> ---нормальная подгруппа группы />. Противоречие.Если /> --- />-группа,то ясно, что />. Противоречие. Теорема доказана.
2. Описание />-формацийШеметкова
Введемследующее определение.
Определение.Формация /> называется />-формациейШеметкова, если любая минимальная не />-группа — либогруппа Шмидта с ненормальной циклической />-силовскойподгруппой, либо группа простого порядка.
Приведемпример />-формаций Шеметкова.
2.1Пример.В классе конечных разрешимых групп формация всех />-замкнутыхгрупп /> является />-формациейШеметкова.
Действительно.Пусть /> --- произвольная минимальная не />-группа. Так как /> не/>-замкнута, то />.Пусть />. Согласно теореме 2.2.5, />, где /> ---единственная минимальная нормальная подгруппа из />,/> --- />-группа,/>, где /> ---максимальный внутренний локальный экран формации />.Покажем, что />. Действительно, в противномслучае, из того факта, что /> />-замкнута и /> />-замкнута, следует, что /> />-замкнута.Получаем противоречие. Известно, что формацию /> можнопредставить в виде />. Согласно лемме 2.2.20,формация /> имеет максимальный внутреннийлокальный экран такой, что />. Очевидно, чтолюбая минимальная не />-группа есть группапростого порядка />. Итак, /> --- группа Шмидта с ненормальной циклическойподгруппой простого порядка />. Пусть />. Выше показано, что /> ---группа Шмидта с ненормальной циклической />-силовскойподгруппой. Согласно лемме 3.1.1, /> --- группаШмидта с ненормальной циклической />-силовскойподгруппой. Итак, /> --- />-формация Шеметкова.
2.2Теорема [14-A,21-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)/> --- />-формацияШеметкова;
2)/>, где /> и/>.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Ясно,что формация /> является формацией Шеметкова.Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:
/>
где/> --- максимальный внутренний локальный экран />. Вначале докажем, что />, где /> ---любое простое число из />. Предположим, что это нетак. Тогда найдется простое число />, но />. Обозначим через /> группупростого порядка />. Очевидно, что /> и />. Так как />, то существует точный неприводимый />-модуль />,где /> --- поле из /> элементов.Пусть />. Покажем, что />. Так как /> точен,то />. Так как />,то, очевидно, что />. Пусть /> --- произвольная максимальная подгруппа из />. Так как /> и/>, то нетрудно заметить, что />. Итак, />.Так как />, то это невозможно ввиду того, что/> --- />-формацияШеметкова. Итак, /> для любого /> из />.Отсюда, в частности, следует, что />. Учитываяданные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:
/>
Используялемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:
/>
где/> --- некоторое множество простых чисел,содержащее число />.
Покажем,что из 2) следует 1).
Действительно,что /> --- произвольная минимальная не />-группа. Согласно условию, /> разрешима. Пусть />.Согласно теореме 2.2.5, />, где /> --- единственная минимальная нормальнаяподгруппа, /> --- />-группаи />, где /> ---максимальный внутренний локальный экран формации />.Если />, то из того факта, что />, следует, что />.Получили противоречие. Тогда />. Согласно лемме2.2.20, насыщенная формация /> имеет полныйлокальный экран /> такой, что />. Очевидно, что />.Так как />, то очевидно, что />. Итак, любая минимальная не />-группа /> с/> либо группа простого порядка, либо группаШмидта с ненормальной />-силовской подгруппой.Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда />.Итак, /> --- />-формацияШеметкова. Теорема доказана.
2.3Лемма[14-A, 21-A]. Пусть /> --- наследственнаянасыщенная />-формация Шеметкова. Формация /> содержит любую разрешимую группу />, где /> и/> --- />-подгруппыи индексы />, /> неделятся на />, только в том случае, когда /> --- формация />-замкнутыхгрупп.
Доказательство.Пусть /> --- />-формацияШеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
/>
где/>. Если />,то /> --- формация />-замкнутыхгрупп. Так как индексы />, /> неделятся на />, то /> и/> содержат силовскую />-подгруппугруппы />. По условию, /> и /> />-замкнуты. Отсюда следует, что /> />-замкнута. Пустьмножество /> содержит простое число />. Покажем, что в этом случае утверждениелеммы неверно. Пусть /> --- группа порядка />. Пусть /> ---простое число, отличное от /> и />. Так как />,то существует точный неприводимый />-модуль />, где /> ---поле из /> элементов. Пусть />. Так как /> и/> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый />-модуль />,где /> --- поле из /> элементов.Пусть />. Так как />,то, как и выше, существует точный неприводимый />-модуль/>, где /> ---поле из /> элементов. Пусть />.
Рассмотримследующие две подгруппы: /> и />. Ясно, что />.Подгруппы /> и /> />-замкнуты, причем индексы />, /> не делятся на />. Если бы группа /> былабы />-замкнута, то тогда /> былабы нормальной подгруппой в группе />, что невозможно.Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда />.Лемма доказана.
2.4Лемма[14-A, 21-A]. Пусть /> --- />-разрешимая группа, />,где />, />, индексы />, /> не делятся на />. Тогда />.
Доказательство.Доказательство проведем индукцией по порядку />.Пусть /> --- минимальная нормальнаяподгруппа />. Так как /> ---/>-разрешимая группа, то /> либо />-группа,либо />-группа. Если /> --- />-группа,то />. Согласно индукции, />.Получили противоречие.
Пусть/> --- />-группа.Так как />, /> неделятся на />, то />.Так как /> --- единственная минимальнаянормальная подгруппа группы /> и />, то />.Рассмотрим подгруппу />. Так как />, /> --- />-группа, />,то нетрудно показать, что /> --- />-группа. Так как />,то /> --- />-замкнутаягруппа. Аналогичным образом можно доказать, что /> ---/>-замкнутая группа. Отсюда следует, что /> --- />-замкнутаягруппа. А это значит, что />. Получимпротиворечие. Лемма доказана.3. Критерий принадлежности групп,факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простоечисло, наследственно насыщенным формациям
Вданном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственныхформаций Фиттинга />, содержащих любуюразрешимую группу />, где /> и /> --- />-подгруппы и индексы />,/> не делятся на некоторое фиксированноепростое число />.
3.1Лемма[14-A, 21-A]. Пусть /> --- наследственнаянасыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу />,где /> и /> --- />-подгруппы и индексы />,/> не делятся на некоторое фиксированноепростое число />. Тогда любая разрешимаяминимальная не />-группа /> принадлежит одному из следующих типов:
1)/> --- группа простого порядка />, где />;
2)/> --- группа Шмидта;
3)/>, где />,где /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />, /> ---простое число отличное от />;
4)/>, />, />, где /> ---/>-замкнутая группа, />,где /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />, /> ---простое число отличное от />.
Доказательство.Пусть /> --- произвольная разрешимаяминимальная не />-группа. Если />, то нетрудно показать, что /> --- группа простого порядка />, причем />.
Пусть/>. Покажем, что /> ---бипримарная />-подгруппа. Действительно, если /> --- примарная группа, то из насыщенностиформации /> следует, что />. Противоречие. Пусть />.Так как /> --- разрешимая группа, то нетруднопоказать, что />, где />,индексы />, /> неделятся на />. Согласно условию, />. Получили противоречие. Итак, />.
Пусть/> --- минимальная нормальная подгруппа />. Если /> ---/>-группа, то />.Рассмотрим случай, когда />. Покажем, что вэтом случае /> --- группа Шмидта. Вначаледокажем, что /> --- циклическая группа.Действительно, в противном случае />, где /> и /> --- максимальныеподгруппы />. Тогда />.Так как />, /> неделятся на />, />,то />. Противоречие. Итак, /> ---циклическая группа, />. Пусть />. Покажем, что />.Предположим противное. Пусть />, где />. Пусть /> и/> --- циклические группы соответственнопорядков /> и />.Обозначим через /> регулярное сплетение />. И пусть /> ---база сплетения, т. е. />. Так как некотораяподгруппа группы /> изоморфна />, то />.Очевидно, что подгруппы />, /> принадлежат формации />.
Пусть/>, где />.Обозначим через /> базу сплетения />. Тогда
/>
Легковидеть, что />.
Таккак индексы /> и /> неделятся на />, то />.Но />, и поэтому
/>
Полученноепротиворечие показывает, что />. Итак, доказали,что /> --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, /> --- группа Шмидта. Следовательно, /> --- группа типа 2).
Пусть/> --- />-группаи />. Пусть />.Тогда, согласно теореме 2.2.5, />, где />, />, /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />. Так как />,то /> --- />-группа.Пусть />. Тогда рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---собственная подгруппа />, то />. Так как />,то /> не делится на />.Так как /> --- разрешимая группа, то />. Но тогда в /> существуетмаксимальная подгруппа /> такая, что />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---собственная подгруппа />, то />. Нетрудно заметить, что /> не делится на /> и/>. Теперь, согласно условию, />. Получили противоречие. Итак, доказали, что />, то есть /> ---/>-замкнутая группа. Итак, /> -- группа типа 4).
Пустьтеперь /> --- />-группа.Тогда />. Покажем, что />. Предположим, что />.Пусть />. Тогда в /> найдетсямаксимальная подгруппа /> такая, что />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> и/> --- собственные подгруппы />, то они принадлежат />.Очевидно, что />, /> неделятся на /> и />.Тогда, согласно условию, />. Противоречие.Отсюда следует, что /> --- />-замкнутая, но тогда /> ---/>-замкнута. Тот факт, что /> (/> --- максимальныйвнутренний локальный экран />) следует изтеоремы 2.2.5. Итак, /> --- группа типа 3). Леммадоказана.
3.2Лемма[14-A, 21-A]. Пусть /> --- тотально насыщеннаяформация, содержащая любую разрешимую группу />,где /> и /> --- />-подгруппы и индексы />,/> не делятся на некоторое фиксированноепростое число />. Тогда любая разрешимаяминимальная не />-группа /> принадлежит одному из следующих типов:
1)/> --- группа простого порядка />, где />;
2)/> --- группа Шмидта;
3)/> --- группа Шмидта;
4)/>, где /> и/>, где /> ---группа Шмидта с нормальной />-силовскойподгруппой, /> --- простое число отличное от />.
Доказательство.Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не />-группа/> есть группа типа 1) — 4) из леммы 5.3.1.
Пусть/> --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда />. Пусть /> ---максимальный внутренний локальный экран формации />.Так как /> --- тотально насыщенная формация,то /> --- насыщенная формация. Согласно лемме />. Пусть />.Так как /> --- насыщенная формация, то />, что невозможно. Итак, />. А это значит, что /> ---группа простого порядка />. Но тогданетрудно заметить, что /> --- группа Шмидта.Согласно лемме 2.2.21, /> --- группа Шмидта.
Пусть/> --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда
/>
где/>. Покажем, что /> ---группа Шмидта. Так как /> --- тотально насыщеннаяформация, то /> --- насыщенная формация. В видулеммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что />. Пусть /> ---максимальный внутренний локальный экран формации />.Согласно теореме 2.2.5,
/>
где/>.
Таккак /> --- тотально насыщенная формация, то /> является насыщенной формацией. Как и выше,нетрудно доказать, что />. Отсюда следует, что /> --- группа Шмидта. Лемма доказана.
3.3Теорема [14-A,21-A]. Пусть /> --- наследственная разрешимаяформация Фиттинга, /> --- некотороефиксированное простое число. Тогда и только тогда /> содержитлюбую разрешимую группу />, где /> и /> --- />-подгруппы и индексы />,/> не делятся на некоторое простое число />, когда /> естьпересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:
1)класс всех разрешимых />-замкнутых групп;
2)класс всех разрешимых групп с />-длиной />;
3)класс всех разрешимых групп /> таких, что /> --- />-группа,где /> --- некоторое множество простых чисел,содержащее простое число />.
Доказательство.Необходимость. Согласно результатам работы [33] /> являетсятотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.
Пустьлюбая минимальная не />-группа есть группа типа1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда /> является />-формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 />, где /> ---некоторое множество простых чисел, содержащее простое число />.
Пустьлюбая минимальная не />-группа является группойтипа 1), 3). Тогда /> --- />-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,она имеет следующее строение:
/>
где/> --- некоторое множество простых чисел,содержащее простое число />. Согласно лемме5.2.3, />. А это значит, что />.
Пустьлюбая минимальная не />-группа — группа типа1), 4). Пусть /> --- максимальный внутреннийлокальный экран формации />.
Известно,что
/>
Покажем,что для любого простого числа /> из />, отличного от />,/>. Предположим противное. Пусть /> --- группа наименьшего порядка из />. Так как /> ---наследственная формация, то />. Так как /> --- тотально насыщенная формация, то /> --- насыщенная формация. Отсюда нетруднопоказать, что />. Очевидно, что /> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу />, причем />.Так как /> --- полный экран, то />. А значит, /> ---/>-группа, где />.
Согласнолемме 2.2.18, существует точный неприводимый />-модуль/>, где /> ---поле из /> элементов. Пусть />. Покажем, что />.Так как /> точен, то />.Так как />, то очевидно, что />. Пусть /> ---произвольная максимальная подгруппа из />.Если />, то />.Отсюда следует, что />. А значит, />. Пусть />.Тогда />, где /> ---некоторая максимальная подгруппа из />. Так как />, то />.Так как />, то из полноты экрана /> следует, что />.Так как /> --- внутренний экран, то />. Итак, />.Последнее противоречит тому, что /> --- группа типа4) из леммы 5.3.2.
Итак,/> для любого /> из/>. Тогда
/>
Отсюданетрудно заметить, что
/>
Рассмотримнасыщенную формацию />. Так как любаяминимальная не />-группа либо группапростого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической />-силовской подгруппой, то /> --- />-формацияШеметкова. Согласно теореме 5.2.2,
/>
где/> --- некоторое множество простых чисел,содержащее простое число />. Следовательно,
/>
Каки в лемме 5.2.3 можно показать, что />. Итак, /> --- формация из пункта 3).
Нетруднопоказать, что формация />, у которой любаяминимальная не />-группа есть группа одногоиз типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций изпунктов 1), 2), 3) данной теоремы.
Достаточностьследует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.
Заключение
Вглаве 1 получено описание наследственных насыщенных />-формацийШеметкова, теорема 1.4, и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .
Вглаве 2 получено описание наследственных насыщенных />-формацийШеметкова, теорема 2.2 .
Вглаве 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственныхформаций Фиттинга />, замкнутых относительнопроизведения />-подгрупп, индексы которых неделятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. Омаксимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып.5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. Орешетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-тматематики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С.27--54.
3. Васильев, А.Ф. Овлиянии примарных />-субнормальных подгрупп настроение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-вообр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. Олокальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. Опроизведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, №3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. Онекоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. Одвух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994.-- Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В.Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, №1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С.Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечныегруппы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. Опроизведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск:Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.Конечные группы с перестановочными />-субнормальными (/>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; №56).
16. Прокопенко, А.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. Оминимальных не />-группах / В.Н. Семенчук// ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н.Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математикиАН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-тматематики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.Характеризация локальных формаций /> по заданнымсвойствам минимальных не />-групп / В.Н.Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строенияконечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984.-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.Описание разрешимых минимальных не />-групп дляпроизвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимыхминимальных не />-группах / В.Н. Семенчук// Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Рольминимальных не />-групп в теории формаций /В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.Конечные группы с />-абнормальными или />-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук// Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.Разрешимые />-радикальные формации / В.Н.Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Ободной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996.-- № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. Оразрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не />-групп/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.Классификация локальных наследственных формаций критические группы которыхбипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.-- 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАНБеларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.Конечные группы, факторизуемые />-достижимымиподгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-таим. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Ободном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебраформаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. Оминимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.Факторизации />-нильпотентными сомножителями /В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С.135--137.
40. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С.39--41.
41. Чунихин, С.А. Огруппах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938.-- Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. Осуществовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара потеории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А.Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А.Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, №8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. Опроизведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989.-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31,№ 3. — С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches,A. On the lattice of />-subnormal subgroups / A.Ballester-Bolinches, К.Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50.Ballester-Bolinches, A. On />-critical groups/ A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174.-- P. 948--958.
51.Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52.Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A.Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z.-- 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O.The />-normalizers of a finite soluble group / R.Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р.175--202.
55. Carter, R.Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher,T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K.Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966.-- Vol. 91. — P. 198--205.
57. Doerk, K.Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes.-- Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E.On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W.Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80,№ 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. TheTheory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: KluwerAcademic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W.X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. Anote on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3.-- P. 98--105.
63. Hall, P. Onthe Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T.On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P.177--182.
65. Huppert, B.Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Noteon (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951.-- Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin,L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P.90--93.
69. Kegel, O.H.Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echtenthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A.Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno// Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk,V.N. Finite groups with permutable />-subnormal and />-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A.Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson,J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H.Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H.Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H.Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.