ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРААГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Комплексныечисла
(избранныезадачи)
ВЫПУСКНАЯКВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
поспециальности 050201.65 математика
(сдополнительной специальностью 050202.65 информатика)
Выполнила:студентка 5 курса
физико-математического
факультета
Научныйруководитель:
ВОРОНЕЖ –2008
Содержание
1. Введение……………………………………………………...…………..…
2. Комплексные числа(избранные задачи)
2.1. Комплексные числав алгебраической форме….……...……….….
2.2. Геометрическаяинтерпретация комплексных чисел…………..…
2.3. Тригонометрическаяформа комплексных чисел
2.4. Приложение теориикомплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………
2.5. Комплексные числаи параметры………...……………………...….
3. Заключение…………………………………………………….................
4. Список литературы………………………….…………………...............
1.Введение
Впрограмме математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множествнатуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестведействительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения приотрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запасдействительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный кореньиз отрицательного числа имеет смысл.
Выбортемы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы,заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся очисловых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так игеометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени ио решение задач с параметрами.
В даннойдипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первойчасти основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач скомплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения,вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраическойформе, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагаетсяправило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретациюкомплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числамив тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня изкомплексного числа.
Четвертаячасть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа ипараметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущихчастях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплекснойплоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В частиупражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, гдекомплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностьюрешения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений(неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических спараметром.
Особенностью изложения материала каждой части являетсяпервоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применениепри решении задач.
В конце дипломной работыпредставлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточноподробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решениянекоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения.Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:
1. Гордиенко Н.А.,Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения:Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных ипрактических занятий.
2. Шклярский Д.О., ЧенцовН.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметикаи алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике итеории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются отстандартных школьных задач.
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме
Решениемногих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений,т.е. уравнений вида
/>,
где a0, a1, …, anдействительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений являетсяодним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней неимеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим такимуравнением является уравнение
/>.
Для тогочтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множестводействительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
/>.
Обозначимэтот корень через />. Такимобразом, по определению
/>, или />,
следовательно,/>.
Символ /> называется мнимой единицей. Сего помощью и с помощью пары действительных чисел /> и /> составляетсявыражение вида
/>.
Полученноевыражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали какдействительную, так и мнимую части.
Итак,комплексными числами называются выражения вида
/>,
где /> и /> – действительные числа, а /> – некоторый символ, удовлетворяющий условию />. Число /> называется действительной частью комплексного числа/>, а число /> – его мнимой частью. Для их обозначенияиспользуются символы
/>, />.
Комплексныечисла вида /> являютсядействительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержитв себе множество действительных чисел.
Комплексныечисла вида /> называются чистомнимыми. Два комплексных числа вида /> и /> называютсяравными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
/>, />.
Алгебраическаязапись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычнымправилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел /> и /> называется комплексное число /> вида
/>.
Произведением двух комплексных чисел /> и /> называется комплексное число /> вида
/>.
1. Коммутативный(переместительный) закон сложения:
/>.
2. Ассоциативный(сочетательный) закон сложения:
/>.
3. Коммутативныйзакон умножения:
/>.
4. Ассоциативныйзакон умножения:
/>.
5. Дистрибутивный(распределительный) закон умножения относительно сложения:
/>.
6. />.
7. />.
8. />.
9. Любомукомплексному числу /> соответствуетпротивоположное комплексное число /> такое, что />.
10. Всякомукомплексному числу /> отличномуот нуля, соответствует обратное комплексное число /> такое, что />.
Степенимнимой единицы.
/> />
Еслинатуральный показатель степени m приделении на 4 дает в остатке r,т.е. если />, где n – натуральное число, то
/>;
при этом />
Комплексноечисло /> называетсясопряженным комплексному числу />, если
/>.
Свойстваоперации сопряжения.
1. />
2. Для любогодействительного числа aсправедливо равенство />
3. Для любогодействительного числа bсправедливо равенство />
4. />
5. />
Следствие из5. />
6. />
7. Сумма ипроизведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительнымичислами.
/>
/>
Следствие из7. />
Модулемкомплексного числа /> называетсядействительное число вида
/>.
8. Теорема осопряженном корне.
Если число /> является корнем уравнения
/> (1)
сдействительным коэффициентами a0, a1, …, an, то число /> такжеявляется корнем уравнения (1).
Извлечениеквадратного корня из комплексного числа />. Пусть
/>,
где x и y – действительные числа. Возводя обе части этого равенства вквадрат, получаем
/>.
Чторавносильно системе
/>
Решая этусистему, получаем:
/>; />.
Такимобразом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется поформуле
/>.
В скобкахперед мнимой единицей берется знак плюс, если />, и знак минус, если />.
Задача 1.Найдите комплексные корни уравнения />, если:
а) />; б) />; в) />.
Решение
а) />.
Так как />, то это уравнение можно записатьв виде /> или />. Отсюда, раскладывая левую часть намножители, получаем />,откуда />, />.
б) />.
Учитывая, что/>, преобразуем это уравнение:/>, />, />,/>, откуда />, />.
в) />.
Преобразуем />, />, />, откуда />, />.
Ответ: а) />; б) />; в) />.
Задача 2. Найдите x и y, для которых />.
Решение
Получим и решим системудвух уравнений:
/>
/>
Ответ: />.
Задача 3. Решитеуравнение /> относительнодействительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравненияможно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его квиду />, получаем уравнениеравносильное данному: />. Таккак два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны ихдействительные и мнимые части, приходим к системе:
/> /> /> />
Ответ: />.
Задача 4. При какихдействительных значениях x и y комплексные числа /> и /> будут противоположными?
Решение
Комплексные числа /> и /> будут противоположными, если выполняются условия:
/> /> /> />
Ответ: />; />.
Задача 5. При какихдействительных значениях x и y комплексные числа /> и /> будут равными?
Решение
Комплексные числа /> и /> будут равными, если выполняются условия:
/>/>/>/>
Ответ: />; />.
Задача 6. Решитеуравнение /> относительнодействительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравненияможно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его квиду />, получаем уравнениеравносильное данному: />. Таккак два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны ихдействительные и мнимые части, приходим к системе:
/> /> /> />
Ответ: />.
Задача 7. Решите вомножестве комплексных чисел уравнение />.
Решение
Так как />, тогда корни находятся по формуле
/> (/>).
Отсюда, />, />.
Ответ: />.
Задача 8. Решитеуравнение />.
Решение
Перепишем уравнение ввиде />.
Полагая />, получим уравнение />, которое имеет корень />. Поэтому левую часть этого уравненияможно представить в виде произведения двучлена /> и квадратного трехчлена.
Для нахождениякоэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера: 1 1 2 – 4 1 1 2 4
Итак, получаем уравнение />.
Квадратный трехчлен /> имеет корни /> и />.
Следовательно, исходноеуравнение имеет корни: />, />, />.
Ответ: />; />.
Задача 9. Решитеуравнение />.
Решение
Корни данного уравнениянаходятся по формулам
/>, />,
где /> и /> – числа, удовлетворяющие условию />. Отсюда />. Пусть />, тогда />, т. е. />. Два комплексных числа равны, следовательно, равныих действительные и мнимые части:
/>
Находим два решения этойсистемы: />, />. Таким образом,
решениями исходногоуравнения являются числа />,и
/>, т. е. />, />.
Ответ: />; />.
Задача 10. Произведитедействия с комплексными числами в алгебраической форме:
а) />; б) />; в) />.
Решение
а) />
б) />
в)
/>
Ответ: а) />; б) />; в) />.
Задача 11. Произведитеследующие действия над комплексными числами:
а) />; б) />; в) />; г) />.
Решение
а) />;
б) />;
в) />;
г) />.
Ответ: а) />; б) />; в) />; г) />.
Задача 12. Запишитекомплексное число /> в виде />.
Решение
Имеем
/>
Ответ: />.
Задача 13. Найдитезначение функции /> при />.
Решение
Подставим значение x в функцию:
/>.
Вычислим второеслагаемое:
/>.
Вычислим первоеслагаемое:
/>.
Таким образом, />.
Ответ: />.
Задача 14. Вычислите /> ; />; />;/>.
Решение
С помощью формулы: /> />
Легко получаем:
/>;
/>;
/>;
/> .
Ответ: />; />; />;/>.
Задача 15. Выполнитеуказанные действия: />.
Решение
Вычислим значение дроби />.
Следовательно, />
Ответ: />.
Задача 16.Решите уравнение />.
Решение
По формуле />, находим:
/>.
Заметим, чтонайденные в этой задаче корни являются сопряженными: />и />.Найдем сумму и произведение этих корней: />, />.Число 4 – это второй коэффициент уравнения />, взятый с противоположным знаком, а число 13 –свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Онасправедлива для любого квадратного уравнения: если /> и /> –корни уравнения />, где />, />.
Ответ: />.
Задача 17.Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами,имеющий корень />.
Решение
Второй корень/> уравнения является числом,сопряженным с данным корнем />,то есть />. По теореме Виетанаходим
/>; />,
где число 2 –это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 –свободный член. Таким образом, получаем уравнение
/>.
Ответ: />.
Задача 18.Даны числа />; />. Найдите:
а)/>; б) />.
Решение
а) />, тогда
/>
б) />, тогда
/>Ответ: а) />; б) />.
Задача 19. Зная, чтокорнем уравнения /> являетсячисло />, найдите все корниданного уравнения.
Решение
Поскольку всекоэффициенты данного уравнения – действительные числа, то на основании теоремыо сопряженном корне, делаем вывод, что число /> также является корнем данного уравнения.
Пусть /> – неизвестный корень уравнения />, тогда />, где
/>, получаем />.
Разделим обе частипоследнего равенства на />,получим />.
Следовательно, />.
Ответ: />; />.
Задача 20. Найдите всекомплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть /> – искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число />, сопряженное числу />, равно />.
По условию задачи имеем: />, т.е. />.
Преобразовав этоуравнение, получим: />.
Два комплексных числаравны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные имнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системеуравнений с действительными переменными x и y:
/>
Возможны два случая:
1) />. Тогда система равносильна системе: />, которая
имеет следующие решения: /> />; />/>.
2) />. Тогда система равносильна системе />, которая имеет два решения: /> и />.
Итак, искомых чиселчетыре: />; />; />, из них два числа /> и /> –действительные, а два других /> и/> – комплексно сопряженные.
Ответ: />; />; />.
Задача 21. Известно, что />, />. Найдите:
а) />; б) />.
Решение
а) />,
б) />.
Ответ: а) />; б) />.
Задача 22. При какихдействительных значениях x и y комплексные числа /> и /> будут сопряженными?
Решение
Комплексные числа /> и /> будут ком-
плексно сопряженными,если выполняются условия:
/> /> /> />
Ответ: />; />.
Задача 23. Докажитетождество />.
Решение
Пусть />, />, />.Тогда />, />,/>, />,/>,/>.
Отсюда легко следуетдоказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, чтоесли число /> является чистомнимым, то />.
Решение
По условию />, где b – действительное число, тогда />, />,/>.
Тождество доказано.
Задача 25. Пусть />. Докажите, что />.
Решение
Поскольку />, то
/>
/>
/>
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение/>.
Решение
Пусть />. Тогда данное уравнение запишется в виде />, откуда />. Комплексное число равно нулю, тогда итолько тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому длянахождения неизвестных x и y получим систему:
/>
Из второго уравнения этойсистемы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде /> или />. Отсюда находим /> или />. Таким образом, числа />, />,/> являются решениями данногоуравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение />. Отсюда следует, что x=0, и тем самым />.
Ответ: />; />; />.
Задача 27. Решить системууравнений:
/>
Решение
Полагая />, имеем
/>
/>
следовательно, /> и />.
После преобразованийданная система принимает вид
/>
Решение полученнойсистемы является пары /> и />. Таким образом, исходная системаимеет два решения /> и />.
Ответ: />; />.
Задача 28. Докажите, чтоесли />, то />.
Решение
Предположим, чтосуществует такое комплексное число />, />,для которого выполнено неравенство />. Тогда />, или />.
Поскольку
/>
/>
/>
/>
/> />
то /> и />– действительные числа. Поэтому из последнегонеравенства получим неравенство: />.
Следовательно, />.
Полученное противоречиедоказывает утверждение.
Задача 29. Решитеуравнение />.
Решение
По формулам корнейквадратного уравнения имеем: />.
Извлекая кореньквадратный из числа />,получаем />.
Следовательно, />;
/>.
Ответ: />; />.
Задача 30. Извлекитеквадратный корень из комплексного числа />.
Решение
Пусть />, где />.
По формуле />
/>
/>
Таким образом />.
Ответ: />.
Задача 31. Решитеуравнение: />.
Решение
Имеем />, />, />
/>.
Получаем />
Извлечем квадратныйкорень из комплексного числа /> поформулам:
/>; />;/>
Так как />, /> Тогда />
/> />
Итак, />, тогда />
Где /> и />
Можно сделать проверку потеореме Виета:
/> и />.
Ответ: />; />.
Задача 32.
Пусть />, />. При каких действительных значениях a и b выполняется условие />?
Решение
Находим
/>
/>.
Используя условиеравенства двух комплексных чисел, получаем систему
/> />/>
Ответ: />.
2. 2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем наплоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу /> точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами ивсеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу /> соответствует одна точкаплоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскостис координатами (a; b) соответствует единственноекомплексное число /> (см. рис.1).
/>
Рис. 1
Такимобразом, z одновременно обозначают икомплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексноечисло />называется комплекснойкоординатой точки (a; b).
Поскольку приуказанном соответствии действительные числа /> изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа/>, называется мнимой осью.Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплекснойплоскостью.
Комплексноечисло /> может такжеизображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку(a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
/>,
модулькомплексного числа равен длине вектора />.
Задача 33. Изобразите накомплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
/> /> /> />
Решение
Даннымкомплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
/> />
/> />
Покажем их.
/>
Рис.2
Задача 34. Найдитекомплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны /> и /> соответственно.
Решение
Обозначим серединуотрезка AB через O1. Тогда
/>.
Учитывая, что комплекснаякоордината вектора равна />,получим />.
Ответ: />.
Задача 35. Изобразитеграфически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняютсяданные условия:
а) />, б) />, в) />, г) />, д) />,
е) />, ж) />, з) />, и) />, к) />.
Решение
а) />. Из равенств /> и />,получаем: />.
Множество точек – прямая /> (рис. 3).
y />
Рис. 3.
б) />. />, />.Следовательно, />.
Множество точек – верхняяотносительно оси OX полуплоскость,включая прямую /> (рис. 4).
/>
Рис. 4.
в) />. Из равенств /> и />,получаем: />.
Множество точек – прямая /> (рис. 5).
/>
Рис. 5.
г) />, />, и />. Следовательно, />.
Множество точек – леваяотносительно прямой /> полуплоскость,включая прямую /> (рис. 6).
/>
Рис. 6.
д) />. />, поэтому />.
Множество точек – прямая />. (рис. 7).
/>
Рис. 7.
е) Если />, то условия /> и /> означают,что /> и />. Множество точек – часть плоскости,ограниченная снизу прямой />,справа />, исключая указанныепрямые (рис. 8).
/>
Рис. 8.
ж) Если />, то />, и условие /> означает, что />, т.е. />. Множество точек – прямая /> (рис. 9).
/>
Рис. 9.
з) Если />, то при условие, что сумма /> отлична от нуля, имеем />, поэтому />. Следовательно, />, откуда получаем уравнение:
/>, или />.
Преобразуем его
/>.
Таким образом, множествоточек – это окружность с центром в точке O/>радиуса />, у которой «выколота» точка /> (рис. 10).
/>
Рис. 10.
и) />; по условию />, следовательно, />.
Множество точек –окружность с центром в начале координат /> радиуса 1.
к) По условию />, поэтому />, т.е. />, />,/>, />. Последнее условие означает, что либо />, либо />. В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку />. Учитывая, что />, т.е. что действительная частькомплексного числа /> неотрицательна.
Приходим к выводу:искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке />.
Задача 36. Изобразите наплоскости XOY множество, всех точек />, удовлетворяющих условию:
а) />; б) />; в) />; г) />; д) />
Решение
а) />. Для каждого /> число /> равно расстоянию между точкой /> и точкой />. Поэтому заданному условию /> удовлетворяют те и только те точки, которые лежатна окружности радиуса 1 с центром в точке /> (рис. 11).
/>
Рис. 11.
б) />. Для каждого /> число /> равно расстоянию между точкой /> и началом координат. Поэтому условию /> удовлетворяют те и только теточки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическимиокружностями с центром в начале координат и радиусами /> и /> соответственно(рис. 12).
/>
Рис. 12.
в) />. Из определения главного аргументакомплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющихданному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол /> с положительным направлением оси Ох.
/>
Рис. 13.
г) />. Пусть />. Тогда данное соотношение перепишется в виде /> или />.
Отсюда находим: />, т.е. />.
Таким образом, />, и, следовательно, исходномусоотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых />. Такие точки заполняют всюверхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрическихсоображений, учитывая, что ось OXесть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки /> и />,восстановленный из его середины.
/>
Рис. 14.
д) /> Искомое множество точек естьпересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке/>, и второго квадранта (рис.15).
/>
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, чторасстояние между точками /> и /> равно />.
Решение
Так как />, а это и
есть, как известно изгеометрии, формула расстояния между двумя точками /> /> и/> />.
Задача 38. Докажите, чтоесли точка /> не совпадает сточкой />, то равенство /> задает уравнение прямой,перпендикулярной отрезку, соединяющему точки /> и />,и проходящей через его середину.
Решение
Все точки />, удовлетворяющие равенству />, равноудалены от точек /> и /> и поэтому, как это известно из геометрии, лежат напрямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки /> и />,и проходящей через его середину. Обратно, все точки /> этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству />, следовательно, это равенствоявляется уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, гдена плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам />, для которых />.
Решение
Представим выражение /> в виде разности двух комплексныхчисел: />. Тогда становитсяясно, что равенство /> являетсяуравнением окружности с центром в точке /> и радиусом 2.
Неравенству /> удовлетворяют внутренние точки указанногокруга вместе с точками, лежащими на окружности />, тогда неравенству /> соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическомупервому.
Так как нас интересуютточки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: />, поэтому искомая область является пересечением двухнайденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешнейограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точкивнутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
/>
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, гдена плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам,удовлетворяющим условию: />.
Решение
Равенство /> является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B(0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств />, />, следует равенство />, а значит, />, т.е. />.
Поэтому этому равенствуудовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенствострогое (рис. 17).
/>
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите наплоскости комплексные числа />,удовлетворяющие условию: />.
Решение
/>. Следовательно, />. Таким образом, />, />,то
/>, />,/>.
Этим числам соответствуюттри точки: A (/>), B (/>) и C (/>). Они расположены на единичнойокружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
/>
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите наплоскости комплексные числа />,удовлетворяющие условию: />.
Решение
/>, значит, /> и />.
Получили две точки: B (/>) и C (/>) (рис. 19).
/>
Рис. 19.
Задача 43. Изобразитемножество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: />.
Решение
Данное неравенстворавносильно выполнению двух условий: /> и />.Если />, где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: />, />, />,/>, />. Искомая область лежит вне круга с центром в точке(-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
/>
Рис. 20.
Задача 44. Изобразитемножество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: />.
Решение
Данное неравенстворавносильно выполнению двух условий:
/> и />.Если положить />, то получаемследующие неравенства:
/>.
Преобразуем его
/>,
/>, />,
Получаем />.
Искомая область – круг сцентром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1)(рис. 21).
/>
Рис. 21.
Задача 45. Изобразитемножество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: />.
Решение
Положим />.
Тогда />, />.
Неравенство /> при /> равносильно неравенству /> или />. Последнее неравенство задает круг с центром вточке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения /> точка (0; 0) не принадлежитзаданному множеству (рис. 22).
/>
Рис. 22
Задача 46. Изобразите накомплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: />.
Решение
Представим число />как />. Тогда
/>;
/>.
По условию, />, откуда
/>; />;
/>.
Левая часть двойногонеравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(–0,5; 0,5) и радиусом 1. праваячасть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданноемножество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.
/>
Рис.23.
Задача 47. Из всех чисел />, удовлетворяющих условию />, найдите такие, что /> принимает наименьшее значение.
Решение
I способ.
Пусть />. Тогда />.
Уравнение /> задает на комплексной плоскостиокружность с центром в точке O(0;0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина /> представляет собой сумму расстояний отточки, соответствующей комплексному числу />, до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность сцентром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам,для которых величина /> принимаетнаименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение /> равнодлине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, всилу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
y />
Рис. 24.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением />. Решим систему
/>
Так как />, то перейдем к системе
/>
Уравнение /> имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системыявляются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Qсоответствуют числа /> и />.
II способ. Пусть />. Тогда />(см. I способ);
/>.
/>Найдем пары (x; y), для которыхдостигается минимум функции /> приусловии />. Поскольку функция /> принимает не отрицательноезначения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции φможно рассматривать минимум функции
/>.
Преобразуем последнеевыражение к виду
/>,
так как />, то />,
откуда />.
Произведем замену /> и найдем значение t, для которых достигается минимумфункции /> или />, или после замены /> – те значения p, при которых минимально выражение />.
Исследуем функцию /> с помощью производной. Имеем />; />, если />, т.е. если />, а />. Последнее равенство выполняется при />.
Нетрудно убедиться в том,что если />, то />, т.е. /> убывает, а если />, то />, т.е. /> возрастает. При /> функция /> принимает наименьшее значение.
Значению /> соответствует />, при />. Отсюда, учитывая соотношение />, находим />, /> или/>, /> и получаем окончательный ответ.
Ответ: /> и />.
Замечание. Конечно, IIспособ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности,если бы на отрезке AB не нашлось ниодной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способомбыло бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразитемножество точек /> комплекснойплоскости, удовлетворяющих условию: />.
Решение
Представим />в виде />и преобразуем заданную дробь:
/>.
Мнимая часть дроби равна />.
Неравенство /> равносильно системе
/>
Неравенство /> перепишем в виде />. Это соотношение задает круг сцентром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако еекоординаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множествоизображено на рис. 25.
/>
Рис. 25.
Задача 49. Средикомплексных чисел />, удовлетворяющихусловию: />, найдите число снаименьшим модулем.
Решение
Воспользуемсягеометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексныхчисел /> и w величина /> равна расстоянию между точками комплекснойплоскости, соответствующими числами /> и w. Точки,соответствующие числам />, длякоторых выполняется равенство />,равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно,образуют прямую />. Средиточек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Онасоответствует числу /> – числус наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Ответ: />.
Задача 50. Пусть M – множество точек /> комплексной плоскости таких, что />; K – множество точек /> комплексной плоскости вида />, где />. Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение
I способ.
Пусть />; тогда />, откуда
/>. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, естьокружность с центром в точке O1 (0;/>) и радиусом 0,5.
По условию, />, т.е. />. Полагая />, имеем /> и />.
Множество K точек комплексной плоскости,удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (–/>; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26)является длина отрезка PNлинии центров, т.е. />.
/>
Рис. 26.
Ответ: 1.
Замечание. Геометрическоеобоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно,возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1соответственно (рис. 27), что />,/>. Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняетсянеравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенствасумму радиусов, получаем P1N1 > PN.
/>
Рис. 27.
II способ.
Запишем неравенства />. Таким образом, />. Это значит, что расстояние от точекфигуры M до точки O1 (0; />)постоянно и равно 0,5. фигура M –окружность с центром в точке O1 ирадиусом 0,5. Условие /> означает,что множество K получено поворотом точек множества M на угол /> вокруг начала координат, т.е. представляет собойокружность с центром в точке O2 (–/>; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшиерассуждения такие же, как при решении I способом.
Задача 51. Найдитенаибольший модуль комплексного числа />, удовлетворяющего условию />.
Решение
Так как />, а />. Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом />.
Поскольку OA= 5, />, имеем />. Среди точек круга существует точка />, для которой />. Это точка пересечения границы круга и продолженияотрезка OA.
Ответ: 6.
Задача 52. Решите системууравнений
/>
Решение
Так как />, то />. Это множество – серединный перпендикуляр к отрезкуAB, где A (0; 2), B (0;4) – точки, соответствующие числам />и />.Уравнение этого перпендикуляра есть />. Из второго уравнения системы имеем />. Пусть />, тогда />. Так как /> для каждой из искомых точек, то />; />. корнями этого уравнения являются числа 2 и – 4.системе уравнений удовлетворяют 2 числа: /> и />.
Ответ: />; />.
Задача 53. Изобразите накомплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию />.
Решение
Пусть />, тогда /> и, значит,
/>, />.Исходное неравенство перепишется так: />. Последнее неравенство можно заменить системой двухусловий: /> и />, или /> и />.
Искомое множествоизображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая />) принадлежит ему за исключением точки (0;0).
/>
Рис. 28.
Задача 53. Множествоточек комплексной плоскости определяется условие />. В каких пределах изменяется />.
Решение
Множество точек, заданноеусловием />, определяется накомплексной плоскости круг с центром в точке /> и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством />.
Пусть />, тогда />, />,/>. Задача сводиться копределению границ, в которых может изменяться соотношение /> при условии />. Вопрос может быть сформулирован так: при какихзначениях /> система
/>
имеет хотя бы однорешение?
Последняя системаравносильна следующей:
/> или />
Эта система имеет решениятогда, когда имеет решение квадратное неравенство />. Так как коэффициент при /> положителен, то оно имеет решения, еслидискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем
/> .
/> при />.
Ответ: />.
2.3.Тригонометрическая форма комплексных чисел
Пусть вектор /> задается на комплекснойплоскости числом />.
Обозначимчерез φ угол между положительной полуосью Ox и вектором /> (уголφ считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, иотрицательным в противном случае).
/>
Рис. 29
Обозначимдлину вектора /> через r. Тогда />. Обозначим также
/>.
Тогда
/>.
Записьотличного от нуля комплексного числа z в виде
/> (2)
называетсятригонометрической формой комплексного числа z. Число rназывается модулем комплексного числа z, а число φ называется аргументом этого комплексного числа иобозначается Arg z.
Тригонометрическаяформа записи комплексного числа – (формула Эйлера) – показательная форма записикомплексного числа:
/>.
Укомплексного числа z имеетсябесконечно много аргументов: если φ0 – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти поформуле
/>.
Длякомплексного числа /> аргументи тригонометрическая форма не определяются.
Такимобразом, аргументом отличного от нуля комплексного числа /> является любое решение системы уравнений:
/> (3)
Значениеφ аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам />, называется главным и обозначается arg z.
Аргументы Arg z и arg z связаныравенством
/>, (4)
где />
Формула /> (5), является следствием системы(3), поэтому все аргументы комплексного числа /> удовлетворяют равенству (5), но не все решенияφ уравнения (5) являются аргументами числа z.
Главноезначение аргумента отличного от нуля комплексного числа /> находиться по формулам:
/>
Формулыумножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеютследующий вид:
/>. (6)
/>. (7)
Привозведении в натуральную степень комплексного числа используется формулаМуавра:
/>. (8)
Приизвлечении корня из комплексного числа используется формула:
/>, (9)
где k=0, 1, 2, …, n-1.
Задача 54. Вычислите />, где />.
Решение
Представимрешение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: />.
Если />, то />.
Тогда />, />. Поэтому />, тогда /> и />, где />.
Ответ: />, при />.
Задача 55. Запишитекомплексные числа в тригонометрической форме:
а) />; б) />; в) />; г) />; д) />; е) />; ж) />.
Решение
Так кактригонометрическая форма комплексного числа имеет вид />, тогда:
а) В комплексном числе />: />/>.
Тогда />
/>,
Поэтому />
б) />, где />, />
в) />, где />, />
г) />, где />, />
д) />, где />, />
е) />.
ж) />, а />, то />.
Поэтому />
Ответ: />; />4; />; />;/>; />; />.
Задача 56. Найдитетригонометрическую форму комплексного числа
/>.
Решение
Пусть />, />.
Тогда />, />, />.
Поскольку /> и />, />,то />, а
/>.
Следовательно, />, поэтому
/>, где />.
Ответ: />, где />.
Задача 57. Используятригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: />.
Решение.
Представим числа /> и /> в тригонометрической форме.
1) />, где /> тогда />
Находим значение главногоаргумента />:
/>
Подставим значения /> и /> в выражение />, получим />
2) />, где /> /> тогда/>
/> Тогда />
3) Найдем частное
/>
/>
Далее, применяя формулу (9)получим:
/>
Полагая k=0, 1, 2, получим три различныхзначения искомого корня:
Если />, то />
если />, то />
если />, то />.
Ответ: />: />
/>: />
/>: />.
Задача 58. Пусть />, />, />,/> – различные комплексныечисла и />. Докажите, что
а) число /> является действительным положительным числом;
б) имеет место равенство:
/>.
Решение
а) Представим данныекомплексные числа в тригонометрической форме:
/>, />,/>, />, так как />.
Предположим, что />. Тогда />
/>
/>
/> />/>
/>
/>.
Последнее выражениеявляется положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа изинтервала />.
б) Имеем
/>,
так как число /> вещественно и положительно.Действительно, если a и b – комплексные числа и /> вещественно и больше нуля, то />.
Кроме того,
/>
/> следовательно, нужное равенство доказано.
Задача 59. Запишите валгебраической форме число />.
Решение
Представим число /> в тригонометрической форме, азатем найдем его алгебраическую форму. Имеем />. Для /> получаем систему:
/>
Отсюда следует равенство:/>.
Применяя формулу Муавра: />,
получаем
/>
/>
Найденатригонометрическая форма заданного числа.
Запишем теперь это числов алгебраической форме:
/>.
Ответ: />.
Задача 60. Найдите сумму />, />,
/>.
Решение
Рассмотрим сумму
/>.
Применяя формулу Муавра,найдем
/>.
Эта сумма представляетсобой сумму n членов геометрической прогрессии сознаменателем /> и первымчленом />.
Применяя формулу длясуммы членов такой прогрессии, имеем
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Выделяя мнимую часть впоследнем выражении, находим />
/>
Итак, />.
Выделяя действительнуючасть, получаем также следующую формулу: />, />,/>.
Ответ: />.
Задача 61. Найдите сумму:
а) />; б) />.
Решение
По формуле Ньютона длявозведения в степень имеем
/>
/>
По формуле Муавранаходим:
/>.
Приравнивая вещественныеи мнимые части полученных выражений для />, имеем:
/> и />.
Эти формулы в компактномвиде можно записать так:
/>,
/>, где /> - целая часть числа a.
Ответ: />; />.
Задача 62. Найдите все />, для которых />.
Решение
Поскольку/>, то, применяя формулу
/>, /> Для извлечения корней, получаем />, />
Следовательно,/>, />,
/>, />.
Точки,соответствующие числам />, расположеныв вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке (0;0)(рис. 30).
/>
Рис. 30.
Ответ: />, />,
/>, />.
Задача63. Решите уравнение />, />.
Решение
Поусловию />; поэтому данноеуравнение не имеет корня />,и, значит, оно равносильно уравнению/>.
Для тогочтобы число z было корнем данного уравнения, нужно,чтобы число /> было корнем п-йстепени из числа 1.
Отсюдазаключаем, что исходное уравнение имеет /> корней />, определенных из равенств
/>, />
Таким образом, />
/>,
т. е. />, />
Ответ: />.
Задача 64. Решите вомножестве комплексных чисел уравнение />.
Решение
Так как число /> не является корнем данногоуравнения, то при /> данноеуравнение равносильно уравнению
/>, т. е. уравнению />.
Все корни этого уравненияполучаются из формулы (см. задачу 62):
/>
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Ответ:
/>; />;/>; />; />.
Задача 65. Изобразите накомплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: />. (2-й способ решения задачи 45)
Решение
Пусть />.
Тогда />.
Комплексным числам,имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружностис центром в начале координат, поэтому неравенству /> удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченногоокружностями с общим центром в начале координат и радиусами /> и /> (рис. 31). Пусть некоторая точка комплекснойплоскости соответствует числу w0.Число />, имеет модуль, в /> раз меньший модуля w0, аргумент, на /> больший аргумента w0. С геометрической точки зренияточку, соответствующую w1,можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат икоэффициентом />, а такжеповорот относительно начала координат на угол /> против часовой стрелки. В результате примененияэтих двух преобразований к точкам кольца (рис. 31) последнее перейдет в кольцо,ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 32).
/>
Рис. 31.
/>
Рис. 32.
Преобразование /> реализуется с помощьюпараллельного переноса на вектор />. Перенося кольцо с центром в точке /> на указанный вектор, получим кольцотакого же размера с центром в точке /> (рис. 22).
Предложенный способ,использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менееудобен в описании, но весьма изящен и эффективен.
Задача 66. Найдите />, если />.
Решение
Пусть />, тогда /> и />. Исходное равенство примет вид />. Из условия равенства двух комплексныхчисел получим />, />, откуда />, />.Таким образом, />.
Запишем число z в тригонометрической форме:
/>, где />, />.Согласно формуле Муавра, находим />.
Ответ: – 64.
Задача 67. Длякомплексного числа /> найдитевсе комплексные числа />,такие, что />, а />.
Решение
Представим число /> в тригонометрической форме:
/>. Отсюда />, />.Для числа /> получим />, /> может быть равен /> либо />.
В первом случае />, во втором
/>.
Ответ: />, />.
Задача 68. Найдите суммутаких чисел />, что />. Укажите одно из таких чисел.
Решение
Заметим, что уже из самойформулировки задачи можно понять, что сумма корней уравнения можно найти безвычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения /> есть коэффициент при />, взятый с противоположным знаком(обобщенная теорема Виета), т.е. />.
Приведем и другоевозможное обоснование. Пусть /> –корень уравнения. Тогда /> такжеявляется его корнем, поскольку />, и сумма всех корней равна нулю.
Допустимо и такоерешение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрическойформе, получим
/>. Отсюда
/>, где />.
Далее вычисляем суммучетырех корней, которая равна нулю.
Ответ: />; /> –одно из таких чисел.
2.4.Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений
3- и 4-й степени
Рассмотрим решение кубического уравнения
/> (1)
на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение
/>.
Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадратнеизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:
/>,
для чего произведем подстановку:
/>
Получим уравнение:
/>.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим куравнению:
/>,
где />, /> и />
(Замечание.
Переход к приведенному кубическому уравнению можноосуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен /> по степеням двучлена />)
Для корней кубическогоуравнения
/> (2)
имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее былобы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи — Кардано.
Впервые приведенное кубическое уравнение
/>
решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро вконце XV века. Затем в 1535 году те жеформулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения(1) было изложено в книге Джероламо Кардано «Ars Magna» («Великое искусство»).
Формулы Кардано имеют вид:
/>, />
где /> –значения радикала
/>
/>
Практически корни /> находятся проще.
Пусть /> –одно (любое) значение радикала u.Тогда два других значения можно найти следующим образом:
/>; />
где e1 и e2 – значения корня кубического из 1,т.е.
/> />
Если вычислить/>то получим:
/>; />.
Действительно,
/>
Аналогично доказывается равенство />.
Подставляя полученные значения /> и /> вформулу
/>, />
находим практические формулы:
/>/>;
/>;
/>.
В нашем случае:
/>
Таким образом, положим />. Тогда
/>
следовательно,
/>, />, />.
Из последних равенств, учитывая, что /> получаем:
/>, />, />.
Ответ: />; />; />.
Для приведенного кубического уравнения
/> (3)
дискриминант вычисляется по формуле:
/>.
При этом:
а) если />,то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;
б) если />,то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;
в) если />,то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.
Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительнымикоэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари наконкретном примере.
Пример 2. Решите уравнение
/>
Решение.
Оставим в левой части уравнения члены, содержащие />и />:
/>.
Дополним левую часть полученного уравнения до полногоквадрата:
/>,
или
/> (1)
Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:
/>
Откуда с учетом равенства (1) получим:
/> (2)
Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2)обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получилсяполный квадрат).
/>
Дискриминант D равен нулю тогдаи только тогда, когда число r является корнемуравнения:
/>;
/>.
В частности, />, если />.
Подставив значение /> в равенство (2), получим:
/>,
или
/>.
Откуда,
/>,
/>,
/> или />.
Следовательно,
/>; />;
/>; />
Ответ:/>; />; />; />
Задача 69. Решите уравнение />.
Решение
Данное уравнение – приведенное. Здесь />, />. Следовательно,
/>.
Для извлечения кубического корня из комплексного числа />
представим его в тригонометрической форме:
/>,
поэтому />,где />
При /> получаем:
/>.
Значит,
/>,
поэтому />.
Следовательно,
/>, />, />.
Ответ: 2; />;/>.
Задача 70. Решите уравнение />.
Решение
Положив />,получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:
/>.
По формулам Кардано:
/>.
Легко видеть, что />.
Следовательно, число /> является одним из значений кубического
корня из комплексного числа /> (тот же результат получается, если применитьформулу извлечения корня n-йстепени из комплексного числа).
Таким образом, />, />, тогда
/>, />.
Итак, />,
/>,
/>.
Отсюда находим корни квадратного уравнения:
/>,
/>,
/>.
Ответ: />;/>;
/>.
Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характеркорней каждого их них:
а) />;
б) />;
в) />.
Решение.
а) />.
Дискриминант />, т.е. />, то уравнение имеет один действительный и двакомплексно сопряженных корня.
б) />.
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:
/> (б*).Откуда дискриминант />, т.е./>, то уравнение (б*), а,значит, и (б) имеет три различных действительный корня.
в) />.
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем: /> (в*). Отсюда />, />, то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеетодин действительный и два комплексно сопряженных корня.
Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженныхкорня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и двакомплексно сопряженных корня.
Задача 72. Решите уравнения: а) />;
б) />.
Решение.
а) />.Переходяк приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки />, получим уравнение:
/>, где />, />.
Зная, что:
/>;
/>;
/>.
По формулам Кардано:
/> />
Таким образом, получаем />, значит />, />, />, />.
Следовательно, />; />; />.
Откуда, />,/>, />.
б) />.
Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, таккак исходное уравнение само является приведенным, причем />, />.
Таким образом, получаем: />, />.
Тогда />, />, />, />.
Следовательно, />, />.
Ответ: а) />,/>, />;
б) />, />.
Задача 73. Решите уравнения: а) />;
б) />.
Решение.
а) Преобразуем уравнение /> (а) по методу Феррари: />,
/>,
/>. (а*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
/>
Откуда с учетом равенства (а*) находим:
/>,
/>(а**).
Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант
правой части равенства (а**) обратился в нуль.
/>
Дискриминант D равен нулю тогдаи только тогда, когда число r является корнемуравнения:
/>;
/>;
/>.
В частности, />, если />.
Подставив найденное значение />в равенство (а*), получим:
/>, или />.
Откуда, />,
/>,
/> или />.
Следовательно, />; />; />; />.
б) />.
Преобразуем это уравнение по методу Феррари:
/>,
/>,
/>. (б*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
/>
Откуда с учетом равенства (б*) находим:
/>(а**).
Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой частиравенства (а**) обратился в нуль.
/>
Легко видеть, что дискриминант D равен нулю, если />. следовательно, подставив значение /> в равенство (б**), получим:
/>;
/>.
Откуда, />,
/> или />.
Следовательно,
/>; />; />; />.
Ответ:а) />; />.
б) />; 3;1.
2.5.Комплексные числа и параметры
«Параметр (от греч. /> - отмеривающий)величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множествамежду собой.
Например, уравнение />, где а > 0, х/>R, y/>R, задает множество всех концентрическихокружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33).
/>
Рис. 33.
Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то — окружность 2) и т.д.
Интересно и следующее определение параметра «Неизвестныевеличины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».
Пусть, например, нужно решить уравнение
/>. Вряд ли легко мы справимся с этимуравнением, если будем решать относительно x, считаяa параметром.
Лучше сначала считать х параметром и решать квадратноеотносительно а уравнение />,а затем поменять x и a ролями.
Получим /> Остаетсярешить два уравнения />чтотруда уже не составит.
Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексныечисла и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями(неравенствами) с параметром.
Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a:/>. Если ставится задача для каждого действительногозначения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение /> называется уравнением с переменной x и параметром a.
Параметр обычно обозначается первыми буквами латинскогоалфавита: а, b, с, d ...
Переменная, относительно которой решается уравнениепоследними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.
Определение 2. Под областью определения уравнения />с параметром а будем понимать все такие системызначений х и а, при которых /> имеетсмысл.
Иногда область определения уравнения устанавливается довольнолегко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся толькосистемой неравенств, множество решений которой и является областью определенияуравнения.
Определение З. Под решением уравнения /> cпараметром a будем понимать систему значений x и a области определения уравнения, обращающую его в верноечисловое равенство.
Определение 4. Решить уравнение /> с параметром a — это значит, длякаждого действительного значения aнайти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Определение 5. Уравнения /> и />равносильны при фиксированном значении а = а0, еслиуравнения без параметра /> и /> равносильны.
Определение 6. Уравнение /> являетсяследствием уравнения /> при некотором значении a=а0, если множество решений уравнения/> содержится среди множества решений уравнения/>.
Задача 74. Определитесемейство линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями:
а) />; б) />.
Решение
а) />. О.О.У.: />
/>, />
Решаем уравнение (1).
1) Пусть />: /> получим уравнение оси абсцисс, исключая началокоординат.
2) />: />, />. Это семейство концентрических окружностей сцентром в точке /> радиуса />.
б) />.
Пусть />, тогда />. И />.
1) Если />, то полу чаем семейство из двух прямых суравнениями /> и />.
2) Если />, то – семейство равносторонних гипербол суравнениями />, с вершинамив точках />, /> и асимптотами /> и />.
3) Если />, то – семейство равносторонних гипербол суравнениями
/>, с вершинами в точках />, /> и асимптотами /> и />.
Ответ: а) 1. Если />, то – уравнение оси абсцисс, исключая точку />.
2. Если />, то – семейство концентрическихокружностей с центром в точке /> радиуса />.
б) 1. Если />, то – семейство из двух прямых суравнениями /> и />.
2. Если />, то – семейство равносторонних гипербол суравнениями />, с вершинамив точках />, /> и асимптотами /> и />.
3. Если />, то – семейство равносторонних гипербол суравнениями />, с вершинамив точках />, /> и асимптотами /> и />.
Задача 75. При каких значенияхn верно равенство />.
Решение
Тригонометрическимиформами записи комплексных чисел /> и />, являются /> и />.
Возведем в степень n, получим /> и />.
Тогда:
/> />
/>
Ответ: />
Задача 76. При какомзначении d /> уравнением /> задана ось ординат в комплексной плоскости,исключая начало координат?
Решение
О.О.У.: />
Пусть />. Тогда />.
/>.
/>, />.
Если />, то получим уравнение />.
Ответ: />.
Задача 77. Среди всехкомплексных чисел z таких, что />, где />, есть ровно одно число, аргумент которого равен />. Найдите это число.
Решение
Запишем искомое число втригонометрической форме:
/>. Тогда /> и />.
Перейдем к уравнению />, где />. Получаем квадратное уравнение />, где />, />.
/>.
Рассмотрим 2 случая:
1. />: />,
/> />.Тогда /> и />.
2. />:
/> />.
Введем функцию />. Интересует случай, когда одиниз корней квадратного трехчлена больше 0, а другой – меньше 0 (Рис. 34).
/>
Рис. 34.
Достаточно решить системунеравенств: /> /> /> Эта система несовместна, поэтому такой случайневозможен.
Ответ: />.
Задача 78. При какихдействительных значениях aсреди комплексных чисел /> таких,что />, нет ни одного числа,модуль которого равен 2.
Решение
Комплексное число /> с модулем /> запишется так: />.
Тогда />.
Получим уравнение />.
1.Если />, то уравнение действительных решений не имеет.
2.Пусть />:
/> />
Решая систему методом«лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.
/>
Рис. 35.
3. />: />,
/>
/> /> />.
Последнее уравнение неимеет корней, если a удовлетворяетсистеме:
/>
/> />
Изобразим графическирешение в данных случаях (рис. 36).
/>
Рис. 36.
Ответ: />.
Задача 79. Для каждогодействительного числа a найдитевсе комплексные числа />,удовлетворяющие равенству: а) />;
б) />.
Решение
а) Пусть />, тогда из исходного уравнения имеем />.
Отсюда получаем системудля нахождения x и y:
/>
из которой следует, что />. Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем />. Корни этого уравнениядействительны тогда и только тогда, когда его дискриминант являетсядействительным числом, т. е. />. Для этих значений a найдем /> /> причем />, то />. Неравенство /> выполняется для всех a из промежутка />. Таким образом, исходное уравнение при /> имеет два корня: />, /> при /> решений не имеется.
б) Перепишем данноеуравнение в виде />. Так как /> и a – действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.
Пусть />, тогда из исходного уравнения находим,что />, т. е. />.
Последнее уравнениеравносильно совокупности двух систем:
/> />
Уравнение /> имеет два корня: /> при любом значении a. Неравенству /> удовлетворяет (при любом значении a) только число />.
Уравнение /> второй системы совокупности имеет действительныерешения только при условии />,т. е. при />. Корнями этогоуравнения при каждом /> являютсячисла />.
Ясно, что при /> оба корня /> и /> меньше нуля, а при /> – больше нуля.
Таким образом, исходноеуравнение:
при /> имеет один корень />;
при /> имеет три корня />, />, />.
Ответ: а) при />, то />, />
б) при />, то />;
при />, то />, />, />.
Задача 80. Для какихдействительных чисел a несуществует комплексных чисел z, длякоторых выполняются равенства />, />?
Решение
Заметим, что /> равняются расстоянию междуточками /> и /> на комплексной плоскости. Прификсированном a точки />, для которых />, лежат на окружности с центром в /> и радиусом 2. (Вообще, множество />, для которых />, есть окружность с центром в /> и радиусом />). Аналогично равенство />. Две окружности не имеют общих точек,если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов.Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: /> или />, т.е. /> или />.
Ответ: /> или />.
Задача 81. При какихдействительных чисел aлюбое комплексное число, удовлетворяющее уравнению />, удовлетворяет одновременно и неравенству />?
Решение
Пусть />. Тогда /> и получим уравнение
/>
Если />, то имеем уравнение окружности с центромв точке /> и
/>. От неравенства /> перейдем к неравенству
/>
Рассмотрим ряд случаев взависимости от значений a.
1. />, т.е. />. Неравенство (2) выполняется при любых парахдействительных значений x и y, в том числе и при решенияхуравнения (1).
2. Пусть />:
/>
Система решений не имеет.
3.Если />, то получим систему
/>
Неравенству системыудовлетворяют все пары значений x и y (/>), кроме /> – не является решением уравнения системы.
4.Аналогично убеждаемся, что условиюзадачи удовлетворяет и />.
5.Остается рассмотреть следующеемножество значений a: />.
В этом случае /> и неравенство (2) задаетмножество точек комплексной плоскости, расположенных вне окружности, заданнойуравнением />. (3) (Рис. 37).
Обозначим радиус этойокружности через r (/>). И достаточно найти такие значения a из рассматриваемого множества, прикоторых окружность, заданная уравнением (1), расположена вне окружности суравнением (3).
Рассмотрим прямоугольныйтреугольник />: />; />; />; />.
/>
Рис. 37.
Получим неравенство />.
/>, />, т.о. />.
Учтем множество значений a, на котором мы решаем систему (рис.38):
/>
Рис. 38.
Таким образом, />.
Ответ: />.
Задача 82. Найдите вседействительные a такие, чтосистема уравнений /> не имеетрешений.
Решение
1. Если />, то решений нет.
2. При />, />.
3. Если />:
Каждое из данныхуравнений задает на комплексной плоскости окружность. Пусть О1 и О2 – центрыэтих окружностей, r1 и r2 – соответствующие радиусы.
Если расстояние между ихцентрами /> удовлетворяютусловиям />, то окружностиимеют хотя бы одну общую точку. тогда получим систему неравенств
/>
Поэтому при /> система решений не имеет.
Ответ: />.
3.Заключение
В представленнойвыпускной квалификационной работе получены следующие результаты.
1) Приведеносистематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.
2) Приведены решениязадач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения,вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраическойформе, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложеноправило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
3) Решены задачи,посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек иливекторов комплексной плоскости;
4) Рассмотрены действиянад комплексными числами в тригонометрической форме.
5) Приведены решениянекоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;
6) Решены некоторыезадачи содержащие комплексные числа и параметры.
Материал, изложенный ввыпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе вкурсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленнымизучением математики или на элективных курсах в школе.
4. Списоклитературы
1. Абрамов А.М.,Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г.Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение,1980.
2. Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров идр. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2000.
3. Алимов Ш.А.,Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробныйучебник 9-10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов И.К.Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.
5. Беляева Э.С.,Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к нимсводимые. Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г.,Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. — М.:Наука, 1971.
7. Вавилов В.В,Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра.Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.
8. Виленкин Н.Я.,Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса:Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучениемматематики.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998.
9. Галицкий М.А.,Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры иматематического анализа. – М.: Просвещение, 1989.
10. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., ФирстовВ.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. –Воронеж: ВГПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра иначала анализа. – М.: Просвещение, 1987.
12. Звавич Л.И. и др. Алгебра и началаанализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник,И.И. Кулагина. – М.: Дрофа, 2000.
13. Карп А.П. Сборник задач по алгебре иначалам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленнымизучением математики.– М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школе. № 3, 1990.
15. Математика в школе. № 6, 1992.
16. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.:Просвещение, 1966.
17. Петраков И.С. Математические кружки в8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1988.
18. Фадеев Д.К., Никулин М.С.,Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука,Главная редакция физико-математической литературы, 1987.
19. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочникпо методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.
20. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс поматематике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.:Просвещение, 1989.
21. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., ЯгломИ.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра.– М.: Физматлит, Лаборатория БазовыхЗнаний, 2001.
22. Энциклопедический словарь юногоматематика. (Составитель Савин А.П.). – М.: Педагогика, 1989.
23. Яглом И.М. Комплексные числа и ихприложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.