/>/>/>/>/>/>/>/>/>Федеральное агентство по образованию
/>/>/>/>/>/>/>/>/>Государственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования
Пермскийгосударственный педагогический университет
/>/>/>/>/>/>/>/>/>Кафедра математического анализа
Курсоваяработа
Интегрированиеи дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
Пермь2010
Оглавление
Введение
1. Регулярностьинтегралов, зависящих от параметра
2. Интеграл коши накривой
3. Интеграл коши наобласти
3.1 Аналитическаязависимость от параметра
3.2 Существованиепроизводных всех порядков у аналитической функции
3.3 Вывод формулы Коши
3.2 Следствия из формулыКоши
Заключение
Список литературы
Введение
Понятие «интеграл»непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики,занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальнымисчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.
Так как цельюмоей прошлой курсовой работы являлось изучение некоторых аспектов темы, таких какинтегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.
Цель данной курсовойработы является изучение новых аспектов по теме «интегралы, зависящие от параметров»и накопление материалов для следующих работ по данной тематике.
В данной курсовойработе я рассмотрел интегралы Коши по кривой /> иинтегралы Коши по плоскости />, также быларассмотрена аналитическая функция, аналитическая зависимость от параметра.
Для достиженияцели необходимо решить следующие задачи:
· Найти и изучить литературу по данной теме
· Накопить и систематизировать полученную информацию по теме
· Изучить основные понятия.
Объектом исследованияявляются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.
В работе использованыследующие методы исследования:
1. Анализ научной литературы по теме «интегралы, зависящие от параметров»
2. Синтез полученных знаний
3. Обобщение полученных знаний
Работа насчитывает26 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического спискаиспользуемой литературы и содержащего 10 наименований, вспомогательные указатели,а также содержит 2 иллюстрации.
1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра
Рассмотрим интеграл
/>.(1)
Теорема 1.[7, c. 111] Пусть выполнены условия:
1) /> - конечная кусочно-гладкаякривая;
2) функция /> непрерывна по /> при />, где /> - область в комплексной плоскости;
3) при каждомфиксированном /> функция /> регулярна по /> в области />.
Тогда интеграл(1) есть регулярная в области />функция.
Доказательство. В силу условий 1, 2 функция/> непрерывна в области />. Возьмем произвольную точку/> и построим круг />, который содержит точку /> и лежит внутри />. Применим теорему Морера. Пусть/> - замкнутая кривая, лежащаяв круге />. Тогда
/>,(2)
так как порядокинтегрирования можно переставить, а интеграл по /> равеннулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция /> регулярна в круге />; следовательно, /> регулярна в области />.
Следствие 1.Пусть /> - неограниченная кусочно-гладкаякривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:
4) интеграл (1)сходится равномерно по />, где /> - любая замкнутая подобластьобласти />.
Тогда функция/> регулярна в области />.
Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены,но функция /> может имеет особенности в концахкривой />. Если функция /> непрерывна по /> при />, /> не принадлежит концам /> и выполнено условие 4, то функция/> регулярна в области />.
Доказательствоследствий1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлятьв силу равномерной сходимости интеграла (1).
Теорема 2.[7, c.112] Пусть выполнены условиятеоремы 1. Тогда
/>.(3)
Доказательство. Пусть /> - круг />, лежащий в области /> и /> - его граница. Тогда при /> имеем
/>
Перестановка порядкаинтегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечностикривых />.
Замечание. Теорема 2 остается в силе,если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по/>, где /> - любая замкнутая подобластьобласти />.Аналитическиесвойства интегральных преобразований.
Наиболее употребляемымив математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа,Фурье и Меллинга.
Пусть функция/> определена на полуоси />. Ее преобразованием Лапласаназывается функция
/>.(4)
Теорема 3.[7, c.113] Пусть функция /> непрерывна при /> и удовлетворяет оценке
/>(5)
Тогда ее преобразованиеЛапласа /> есть функция, регулярная вполуплоскости />.
Доказательство. Воспользуемся следствием1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть />. Тогда
/>.
Так как />сходится, то по признаку Вейерштрассаинтеграл (4) сходится равномерно по /> при /> и функция /> регулярна в этой полуплоскости.В силу произвольности /> функция /> регулярна при />.
ПреобразованиемФурье функции /> определенной на действительнойоси, называется функция
/>(6)
Теорема 4.[7, c.113] Пусть функция /> непрерывна при /> и удовлетворяет оценкам
/>, (7)
где />. Тогда ее преобразование Фурье/> есть функция, регулярная вполосе />.
Доказательство. Разобьем интеграл (6) надва интеграла:
/>.
В силу условия(7) и теоремы 3 функция /> регулярнав полуплоскости />, а функция /> - в полуплоскости />, что и доказывает теорему.
В частности, еслифункция /> финитна, т.е. /> при />, и непрерывна при />, то ее преобразование Фурьеявляется целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае
/>.
ПреобразованиемМеллина функции />, определенной наполуоси />, называется функция
/>(8)
Здесь />.
Теорема 5.[7, c.114] Пусть функция /> непрерывна при /> и удовлетворяет оценкам:
/>, (9)
где />. Тогда ее преобразование Меллинаявляется функцией, регулярной в полосе />.
Доказательство. Разобьем интеграл (8) надва интеграла
/>.
Пусть />, /> и />; тогда
/>.
Так как /> сходится при />, то, по признаку Вейерштрасса,интеграл /> сходится равномерно по /> при />. В силу следствия 2 функция/> регулярна в полуплоскости />.
Далее, при />, /> и /> имеем
/>
Из сходимостиинтеграла /> и следствия 1 вытекает, чтофункция /> регулярна в полуплоскости />.
ПреобразованияФурье и Меллина связаны следующим соотношением:
/>, (10)
где /> - преобразование Меллина, а/> — преобразование Фурье функции/>. Действительно, делая заменупеременной />, получаем
/>
(мы предполагаем,что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы(10).
В частности, спомощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.
2. Интеграл коши на кривой
/>(11)
Интеграл называетсяинтегралом типа Коши. Исследуем его аналитические свойства в предположении, чтофункция /> непрерывна на кривой />.
1. Пусть /> - конечная кривая. Тогда дополнениек /> состоит из конечного или бесконечногочисла областей. В каждой из этих областей интеграл типа Коши является регулярнойфункцией в силу теоремы 1.Однако эти регулярные функции, вообще говоря,различны, т.е. не являются аналитическими продолжениями друг друга. Например,
/>
Покажем, что функция,представленная интегралом (11) регулярна в бесконечно удаленной точке. Делая замену/> и полагая />, получаем
/>.
Так как /> - конечная кривая, то знаменатель/> при достаточно малых /> и функция /> регулярна в точке /> в силу теоремы 1.
2. Пусть /> - бесконечная кривая. Ограничимся,для простоты случаем, когда /> - вещественнаяось; тогда
/>(12)
Пусть функция/> удовлетворяет оценке
/>(13)
Покажем, что тогдаформула (12) определяет две функции />, которыерегулярны в полуплоскостях />, /> соответственно. Воспользуемсяследствием 1.Рассмотрим случай />.Пусть /> лежит в полуполосе />: />, где />, />. При вещественных /> и при /> имеем />, если />. Следовательно,
/>
Поскольку интеграл/> сходится, то по признаку Вейерштрассаинтеграл /> сходится равномерно по />. В силу следствия 1 функция/> регулярна при />; так как /> можно выбрать сколь угоднобольшим, а /> - сколь угодно малым, то интеграл(12) представляет функцию />, регулярнуюв верхней полуплоскости. Аналогично доказывается, что интеграл (12) представляетфункцию />, регулярную в нижней полуплоскости.
Пример 1. [7, c.119] Пусть функция /> непрерывна на полуоси /> и удовлетворяет оценке />. Тогда интеграл типа Кошипредставляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по полуоси />.
3. Если функция/> регулярная на контуре интегрирования/>, то интеграл типа Коши допускаетаналитическое продолжение через точки контура. Прием, который при этом используется,заключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования.
Пример 2. [7, c.119] Пусть
/>.
Функция /> регулярна в круге />. Покажем, что функцию /> можно аналитически продолжитьна всю комплексную плоскость />. Положимпри />
/>.
Функция /> регулярна в круге />. Покажем, что
/>.
тем самым нашеутверждение будет доказано. Подынтегральная функция /> регулярнав кольце />, если />, так как функция /> регулярна при всех />.
Следовательно,в силу интегральной теоремы Коши интегралы по окружностям /> и /> от функции /> равны при /> что и требовалось доказать.
Этот пример допускаетследующее обобщение. Рассмотрим интеграл /> типакоши (11), где /> - простая замкнутаякривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в области />, лежащей внутри />.
Пусть функция/> регулярна в замкнутой области/>, ограниченной кривыми /> и />, где /> - простая замкнутая кривая,и /> лежит внутри />. Тогда формула
/>
дает аналитическоепродолжение функции /> в область />, лежащую внутри />. Действительно, функция /> регулярна в области />, если />, так что в силу интегральнойтеоремы Коши
/>.
Интеграл в левойчасти этой формулы задает функцию, регулярную в />,а интеграл в правой части равен />. Следовательно,/> />, и наше утверждение доказано.
Аналогичный методприменим к интегралам вида (12).
Теорема 6. [7, c.120] Пусть функция /> регулярна в полосе /> и удовлетворяет условию
/>.
Тогда интеграл(2) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость /> и это продолжение /> дается формулой
/>
3. Интеграл коши на области 3.1 Аналитическая зависимость от параметра
Аналитическаязависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральнаяфункция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования />и фиксированного значенияпеременной />. Тем самым интеграл Коши является интегралом,зависящим от параметра/>. Естественно поставить вопрос об общих свойствахинтегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функциядвух комплексных переменных />, однозначно определенная для значений комплекснойпеременной /> из области /> и для значения комплекснойпеременной />, принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривойС. Взаимное расположение области /> и кривой />может быть совершенно произвольно.Пусть функция двух комплексных переменных /> удовлетворяют следующим условиям:
a) Функция/> при любом значении /> является аналитической функцией/> в области />.
b) Функция/> и ее производная /> являются непрерывными функциямипо совокупности переменных /> при произвольном изменении /> в области /> и /> на кривой />;
Условие (/>) означает, что действительнаяи мнимая части функции /> непрерывны по совокупности переменных />.
Очевидно, чтопри сделанных предположениях интеграл от функции /> по кривой /> существует при любом /> и является функцией комплекснойпеременной />
/>(14)
Естественно поставитьвопрос о свойствах функции />. Оказывается, что при сделанных предположенияхотносительно функции /> функция /> является аналитической функциейкомплексной переменной /> в области />, причем производную функции/> можно вычислять при помощи дифференцированияпод знаком интеграла.
Для того чтобыдоказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл
/>.
Так как, по предположению,функции /> и /> обладают частными производнымипо /> и />, непрерывными по совокупностипеременных, то частные производные функции /> по переменным />, /> существуют и их можно вычислитьпри помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):
/>
/>
Сами функции /> и /> являются непрерывными функциямипеременных />, /> в области /> . На основании аналогичныхсвойств функции /> и используя условия Коши-Римана для функции/>, получим
/>(15)
Таким образом,для /> выполнены условия Коши-Римана (частные производныефункции /> и />непрерывны и связаны соотношениями(15)), что и доказывает аналитичность /> в области />.
Заметим, что
/>(16)
Отсюда следуетвозможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральнойфункции по параметру. При этом, если /> удовлетворяет тем же условиям(/>) и (/>), что и />, то /> также является аналитическойфункцией в области />. 3.2 Существование производных всех порядков у аналитическойфункции
Рассмотренноесвойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристикианалитических функций. Как мы видели, значение функции />, аналитической в некоторойобласти />, ограниченной контуром />, и непрерывной в замкнутойобласти />, во внутренних точках этой области моет бытьвыражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:
/>.(17)
Рассмотрим в области/> некоторую замкнутую подобласть />, расстояние всех точек которойот границы /> области /> больше некоторого положительногочисла />. Функция
/>
является аналитическойфункцией /> в области /> причем ее частная производная/> в этой области является непрерывной функциейсвоих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра,во внутренних точках области /> производная /> может быть представлена ввиде
/>(18)
Интеграл (18)является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функцияобладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (17). Следовательно,/> является аналитической функцией /> в области /> причем для ее производнойсправедлива формула
/>.(19)
Так как для любойвнутренней точки /> области /> может быть построена соответствующаязамкнутая подобласть /> то формулы (18) и (19) справедливы в любойточке />. Имеет место и более общая теорема.
Теорема 7.[6, c.58] Пусть функция /> является аналитической вобласти /> и непрерывной в замкнутойобласти />. Тогда во внутренних точкахобласти /> существует производная любогопорядка функции />, причем для нее имеет местоформула
/>(20)
Для доказательстваэтой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз.Итак, если функция />является аналитической функцией в области />, то в этой области функция/> обладает непрерывными производными всех порядков.Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличаетее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производнуюв некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообщеговоря, не следует существование высших производных.
Рассмотрим рядважных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной.
Теорема8(Морера). [6, c.59]Пусть функция /> является непрерывной в односвязнойобласти /> и интеграл от /> по любому замкнутому контуру,целиком принадлежащему />, равен нулю. Тогда /> является аналитической функциейв области />.
Доказательство. Было доказано, что при условияхтеоремы функция
/>,
где />, /> - произвольные точки области/>, а интеграл берется по любому пути, соединяющемуэти точки в области />, является аналитической в этой области функцией,причем />. Но, как только что было установлено, производнаяаналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывнаяпроизводная функции />, а именно функция />, что и доказывает теорему.
Отметим, что теорема1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Еелегко обобщить и на многосвязные области.
Теорема9(Лиувилля). [6, c.59]Пусть на всей комплексной плоскости функция /> является аналитической, аее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция /> тождественно равна постоянной.
Доказательство. Запишем значение производной/> в произвольной точке />/> поформуле (18):
/>,
причем будем вестипо окружности некоторого радиуса /> с центром в точке />. т.е. />. По условию теоремы существуеттакая константа />, что /> независимо от />. Поэтому
/>.
Так как радиус/> можно выбрать сколь угодно большим, а /> не зависит от />, то />. В силу произвольности выбораточки /> заключаем, что /> на всей комплексной плоскости.Отсюда следует, что />.3.3Вывод формулы Коши
Пусть функция/> является аналитической в односвязнойобласти />, ограниченной контуром />. Возьмем произвольную внутреннююточку /> и построим замкнутый контур/>, целиком лежащий в /> и содержащий точку /> внутри себя. Рассмотрим вспомогательнуюфункцию
/>(21)
Функция />, очевидно, является аналитическойфункцией всюду в области />, за исключением точки />. Поэтому, если мы в области/> возьмем такой замкнутый контур/>, лежащий внутри />, чтобы точка /> попала внутрь области, ограниченнойконтуром />, то функция /> будет аналитической в двухсвязнойобласти />, заключенной между контурами/> и />. Согласно теореме Коши интегралот функции /> по кривой /> равен нулю:
/>
Изменив направлениеинтегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде
/>(22)
Поскольку интеграл,стоящий слева, не зависит от выбора контура /> тоэтим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотренийудобно в качестве контура интегрирования /> выбратьокружность />некоторого радиуса /> с центром в точке /> (Рис. 1). Положив />, имеем.
/>
Последний интегралпреобразуем следующим образом:
/>(23)
Устремим теперь/> к нулю. Так как /> - аналитическая, а следовательно,непрерывная функция в области />, то длялюбого положительного числа /> можно указатьтакое значение />, что /> для />. Отсюда следует, что при /> существует предел
/>
Так как в формуле(23) последнее слагаемое не зависит от /> то
/>, а следовательно /> и согласно (22)
/>(24)
Интеграл, стоящийв правой части, выражает значение аналитической функции /> в некоторой точке /> через ее значения на любомконтуре />, лежащем в области аналитичности функции /> и содержащем точку /> внутри. Этот интеграл и называетсяинтегралом Коши. Формула (24) часто называется формулой Коши.
Замечание 1. В формуле (24) интегрированиепроизводится по замкнутому контуру />, целиком лежащему в областианалитичности функции /> и содержащему внутри точку />. При дополнительном условиинепрерывности /> в замкнутой области /> аналогичная формула имеетместо в силу теоремы 6 (стр. 56) и при интегрировании по границе /> области />.
Замечание 2.Проведенныерассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области />. При этом для вывода основнойформулы (24) следует рассматривать такой замкнутый контур />, который может быть стянутк точке />, все время оставаясь в области />. Тогда легко показать, чтопри условии непрерывности функции /> в замкнутой области /> с кусочно-гладкой границейформула (24) остается справедливой при интегрировании в положительном направлениипо полной границе /> данной многосвязной области.3.2Следствия из формулы Коши
Сделаем ряд замечанийпо поводу формулы (24).
1. Интеграл вида/> по замкнутому контуру /> целиком лежащему в области/> аналитичности функции />, имеет смысл для любого положенияточки /> на комплексной плоскости при условии, чтоэта точка не лежит на контуре />. При этом, если точка /> лежит внутри />, то значение интеграла равно/>; если точка /> лежит вне />, значение интеграла равнонулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюдувнутри />. Итак,
/>(25)
При /> интеграл />в обычном смысле не существует,однако при дополнительных требованиях на поведение функции /> на контуре /> этому интегралу может бытьпридан определенный смысл. Так, если функция /> удовлетворяетна контуре /> условию Гёльдера*
/>
то существуетглавное значение по Коши интеграла />
/>
где /> представляет собой частьконтура />, лежащего вне круга />. При этом
/>
2. Пусть /> - аналитическая функция водносвязной области /> и /> - некоторая внутренняя точкаэтой области. Опишем из этой точки как из центра окружность радиуса />, целиком лежащую в области/>. Тогда по формуле Коши получим
/>
Но на окружности/> />, поэтому
/>(26)
Или
/> (27)
Эта формула носитназвание формулы среднего значения и выражает значение аналитической функции в центреокружности как среднее из ее граничных значений.
3. Принцип максимумамодуля аналитической функции. Пусть функция /> является аналитической вобласти /> и непрерывной в замкнутой области />. Тогда или />, или максимальные значения/> достигаются только на границе области.
Действительнаяфункция двух действительных переменных
/>
по условию являетсянепрерывной в замкнутой области. Поэтому она достигает своего максимального значения/> в какой-либо точке /> данной области. То есть
/> />(28)
Предположим, чтоточка /> — внутренняя точка области />. Построим в области /> круг /> некоторого радиуса /> с центром в точке /> и запишем формулу среднегозначения для /> и />.
Учитывая формулу(28), получим
/>.
Следовательно,
/>(29)
Из этого соотношенияв силу непрерывности функции /> на контуре интегрирования и неравенства (28)следует, что
/>.(30)
Действительно,по (28) функция /> не может быть больше /> ни в одной точке контураинтегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке /> контура интегрирования функция/> строго меньше />, то из непрерывности />следует, что /> строго меньше /> и в некоторой окрестноститочки />, т. е. можно указать отрезок /> интегрирования, на котором
/>.
Тогда
/>
что противоречит(29). Итак, соотношение (30) действительно имеет место. Это означает, что на окружностирадиуса /> с центром в точке /> функция /> имеет постоянное значение,равное своему максимальному значению в области />. То же будет иметь местои на любой окружности меньшего
радиуса с центромв точке />, а следовательно, и во всем круге />. Теперь легко показать, чтоэто же значение функция /> имеет и в любой другой внутренней точке /> области />. Для этого соединим точки/> и /> кривой />, целиком лежащей в области/> и отстоящей от ее границы не меньше чем нанекоторое положительное число />. Возьмем точку />, являющуюся последней общейточкой кривой /> и круга /> (Рис. 2). Поскольку />, то, повторяя проведенныевыше рассуждения, покажем, что внутри круга /> с центром в точке /> радиуса /> модуль функции /> принимает постоянное значение,равное максимальному значению />. Взяв на кривой /> точку />, являющуюся последней общейточкой кривой /> и круга />, и продолжая данный процесс,мы в результате конечного числа шагов получим, что внутри круга />, которому принадлежит точка/>, имеет место равенство />, что и доказывает высказанноеутверждение.
Итак, мы показали,что если /> принимает максимальное значение /> в некоторой внутренней точкеобласти, то />во всей области.
Таким образом,если функция /> не является постоянной величиной в области/>, то она не может достигать своего максимальногозначения во внутренних точках />. Но так как функция, непрерывная в замкнутойобласти, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области,то в последнем случае функция /> должна достигать своего максимального значенияв граничных точках.
В качестве последнегозамечания отметим, что если аналитическая в области /> функция /> не равна нулю ни в однойточке этой области и непрерывна в />, то имеет место принцип минимумамодуля этой функции. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотретьфункцию /> и воспользоваться принципом максимума модуляэтой функции.
Заключение
Данная работапосвящена теме «Теория и решение интегралов зависящих от параметра».
В ходе работыбыли выполнены следующие задачи
1. Была подобранаи изучена литература по теме «интегралы, зависящие от параметров»;
2. были изученыинтегралы Коши;
3. была рассмотренааналитическая функция.
В дипломной работебудет обобщен весь теоретический материал собранный и изученный ранее.
интеграл криваяпреобразование формула
/>Список литературы
1) БерманГ.Н. Сборникзадач по курсу математического анализа: учеб.-практ. Пособие/ Г.Н. Берман. – СПб.:Профессия, 2001.
2) Зорич,В.А. Математическийанализ: в 2 т./ В.А. Зорич. – М.: Наука, 1984.
3) Колмогоров,А.Н., Фомин,С.В. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– М.: Наука, 1976.
4) Ляшко,И. И. Боярчук, А. К. Гай, Я. Г. Головач, Г. П. Математический анализ: в 3 т. Т.3.Кратные и криволинейные интегралы/ И.И Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач.– М.: Едиториал УРСС, 2001.
5) Никольский,С.М. Математическийанализ: в 2 т./С.М. Никольский. – М.: Наука, 1973.
6) Свешникова,А. Г., Тихонов,А.Н. Курс высшей математики и Математической физики/ А. Г. Свешникова, А.Н.Тихонов.– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
7) Сидоров,Ю.В., Федорюк, М.В., Шабунин, М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного/Ю.В.Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
8) Соболев,В. И. Лекциипо дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука,1968.
9) Фихтенгольц,Г.М. Курс дифференциальногои интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматгиз,1962.
10) Шерстнев, А. Н. Конспект лекцийпо математическому анализу/ А.Н. Шерстнев. – М., 2003.