Содержание
1) Интеграл по поверхности первого рода
2) Специальные векторные поля
3) Теорема Стокса
4) Потенциальное поле
Литература
векторноепотенциальное поле интеграл
Интеграл по поверхностипервого рода
Физические задачиприводящие к поверхностному интегралу могут быть двух типов:
1) /> не связана снаправлением нормали к поверхности
Например, задачи оботыскании массы или заряда распределенных по поверхности: />
2) /> — зависит от направлениянормали />-задачаоб отыскании потока жидкости в направлении нормали.
Дано: />-непрерывная функция на />
/>-поверхность: />
/>
1) Разобьем поверхностьна n частей />
2) Возьмем точку />/>
3) Вычислим />-плотность
4) />-масса
/>
/>
Следовательно
/>
/>,
где D-проекция /> наплоскость XOY
Пример.
/>,/>
/>
Пример. Определитьмассу, распределенную на поверхности />, плотностью />
Решение.
/>
Специальные векторныеполя.
1 Дивергенция.
2 Соленоидальныеполя. Свойства.
3 />
1. Определениедивергенции
/>
Теорема Остроградского-Гаусса
/>
Пример. />
Найти поток вектора /> направленный вотрицательную сторону оси Ох, через часть параболоида /> отсекаемый плоскостью />
Решение:
/>
/>
/>
Ответ./>
Свойства соленоидальныхполей.
Определение. Векторноеполе, для всех точек которого /> называется соленоидальным вобласти />.Соленоидальное поле свободно от источников.
Свойства соленоидальныхполей.
1. Еслисоленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любуюзамкнутую поверхность этой области равно нулю.
Пусть /> — соленоидальное поле водносвязной области. Тогда поток вектора /> через любую поверхность /> натянутую назаданный контур Г, не зависит от вида этой поверхности, а зависит лишь отконтура.
/>
/> применим теоремуОстроградского-Гаусса.
/>/>
/>
2. Свойствавекторной трубки.
Определение. Векторнойлинией называется линия в каждой точке которой направление касательной к нейсовпадает с направлением поля />.
/>
/> векторной линии />.
Возьмем в поле /> замкнутыйконтур /> ипроведем через его точки векторные линии
Любая другая векторнаялиния проходящая через точки контура />проходит либо внутри трубки либовне трубки.
В случае потокажидкости, векторная трубка -это часть пространства, которую заполняет присвоем перемещении объем жидкости.
Интенсивностьювекторной трубки называется поток поля через поперечноесечение этой трубки.
3. Еслиполе соленоидальное в односвязной области />, то интенсивность векторнойтрубки постоянна вдоль всей трубки.
Доказательство:
/>
/> — боковая поверхность,векторные линии перпендикулярны />. Следовательно /> (нормаль к /> есть нормальполя /> т.е./>) />
/> и /> имеют противоположныенаправления.
/>.
Поток /> через любое поперечноеодно и тоже если /> соленоидальное.
4. Всоленоидальном поле /> векторные линии не могут ниначинаться ни заканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо имеют концы награнице поля, либо имеют бесконечные ветви.
Доказательство:
По свойству 3интенсивность трубки одинакова, хотя поперечное сечение в точке М равно нулю,в т М />.Это невозможно т.к. /> непрерывен в любой точке.
/>/>
Теорема Стокса.
Вихрь. Ротор.
Циркуляция.
1. Теорема Стокса
/>.
С понятием циркуляции тесносвязано понятие ротора или вихря. Локальной характеристикой поля /> связанной сзавихренностью является ротор.
Плоское поле.
/>
Sплощадь внутри />
/>
/> поле скоростей текущейжидкости />
/>
В поле /> поместим колесо слопастями, вдоль />. Частицы жидкости, действуя наэти лопасти создадут вращательный момент, суммарное действие которых приведутколесо во вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля скоростей жидкости/> будет влюбой точке М характеризовать />на касательной /> к окружности />, т.е.скалярное произведение />. Суммирование /> вращательных действиижидкости по всему контуру колесика приведут к понятию циркуляции вектора />=/>
Будет определятьугловую скорость вращения колеса, а знак циркуляции покажет в какую сторонувращается колесико относительно выбранного направления.
Циркуляция любого поля /> определяет еговращательную способность вокруг данного направления и характеризуетзавихренность поля /> в этом направлении.
Чем меньше /> тем большециркуляция, больше завихренность.
/>. Максимум вихря, если />
/>
/>
/>/> — плотность циркуляции />в точке />.
Если /> пространственное поле,то можно говорить о завихренности в направлении />.
/>
/> />/> — завихренности внаправлении />.
Определение: /> в точке /> называетсявектор, проекция которого на каждое направление /> равна пределу отношенияциркуляции векторного поля по контуру /> в плоской области />, перпендикулярной этомунаправлению />,к величине площади S этой области,когда />, аобласть /> стягиваетсяв точке /> т.е.,
/>
/> — контур лежащий вплоскости перпендикулярной к вектору />
/>
Теорема Стокса. />-поверхностно-односвязнаяобласть. />-кусочно- гладкий контур в />, />-кусочно-гладкая поверхностьнатянутая на />.
/>
Следовательноциркуляция вектора /> вдоль /> равна потоку /> — вихря /> через /> в направлении />
Теорема 2.
/>
В частности
/>./>/>
Пример. Найтициркуляцию /> посечению сферы /> плоскостью />.
Решение.
/>
/>
Потенциальное поле.
Свойства.
Потенциал поля.
Восстановлениепотенциала U(M)по />
Потенциальное поле.
Определение. Векторноеполе /> называетсяпотенциальным в области />, если существует скалярное поле /> являетсяполем градиента этого скалярного поля />.
/>;/>/>.
Поле />-называется потенциаломполя />.
Свойства: 1) Если /> потенциальноеполе /> определяетсяоднозначно с точностью до />./>.
2) Если />-потенциальное, т.е. />/>не зависит от путиинтегрирования, а только от начала и конца пути.
3) Чтобы поле /> былопотенциальным, необходимо чтобы /> был полным дифференциалом некоторойфункции />
/>
Если />-потенциальное, то длявычисления криволинейного интеграла /> достаточно найти разность />
4)/>не зависит от путиинтегрирования,
/>
Для того чтобы поле былопотенциальным, необходимо чтобы оно было безвихревым.
Нахождение потенциала /> векторногополя />
/>/>
Пример. />
1) потенциальноели поле?
2) Найти/>
1) />
2) />
/>/>
Пример. Потенциал поляскоростей текущей жидкости />. Вычислить количество жидкости,протекающей за единицу времени через отрезок прямой от О(0;0) до А(1;1).
/>
/>
/>
/>/>
Поток
/>
Доказательство:
/>=/>.
В потенциальном поле циркуляцияпо замкнутому контуру равна нулю.
1. Поток
/>.
Для поля замкнутогопоток равен нулю.
Пример. Вычислить потоки циркуляцию /> вдоль замкнутого контура />
Поток
/>
Циркуляция
/>
IIспособ. Поток в плоском поле
/>
Поток />
Циркуляция />
В плоском поле /> />
Литература.
1. ИльинВ.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд.МГУ,1989г.
2. ВиноградоваИ.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическомуанализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250летию МГУ 2005г.
3. ШиловГ.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд.Лань. 2002г.-880стр.
4. ЛунгуК.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005г.