Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
/>(5.1)
де Pi(x), i=/>1,2,…, n, f(x)– задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1)має єдиний розв’язок
y=y(x), який задовільняє початковим умовам />.
Цей розв’язок визначений і nраз неперервно диференційований на (a,b).
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1)не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при />стоїть />, то точки, в яких />=0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1)називають однорідним
/>(5.2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
/>(5.3)
Властивості оператора L:
L (xy)=k *L (y), k = const;
L (/>)=L (/>) + L (/>);
L/>.
Використовуючи оператор Lдиференціального рівняння (5.1)і (5.2)перепишемо у вигляді L(y) = f(x)/>, L(y) = 0/>.
Означення 5.1.Функція y = y (x)називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) /> f (x)(для диференціального рівняння (5.2)
L (y(x)) /> ).
Лінійне диференціальне рівняння (5.1)залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної />.
Лінійне диференціальне рівняння (5.1)залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції />. (5.4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння />(5.5)
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.
Означення 5.2Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x)дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х(w(x)– дійсна частина, v(x)– уявна частина).
Приклад 5.1.Показати справедливість формул />, />. (5.6)
Формули (5.6)доводяться виходячи з розкладу відповідних множників bраз.
Похідна n-го порядку від z (x)дорівнює />. (5.7)
Приведемо формули для обчислення похідної:
а) />; (5.8)
Дійсно />
б) Для дійсного к і будь-якого />справедлива формула
/>; (5.9)
в) Використовуючи (5.9)можна показати />, (5.10)
де /> — поліноми степеня n;
г) При будь-якому />(дійсному або комплексному) справедлива формула --PAGE_BREAK--
/>. (5.11)
Формула (5.11)доводиться шляхом представлення />і використання формули (5.8).
Означення 5.3.Комплексна функція y (x) = />(x) + i/>(x) (5.12)називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо
L (y(x)) />0, a
Комплексний розв’язок (5.12)утворює два дійсних розв’язки />(x), />(x).
Дійсно L (y(x)) = L (/>(x) + i/>(x)) = L(/>(x)) + iL(/>(x)) = 0.
Звідки L(/>(x)) = 0, L(/>(x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).
а) Якщо />(x)– розв’язок, тобто L(/>) />, то y=c/>(x), де с – довільна константа, теж розв’язок диференціального рівняння (5.5)
L(с/>) = сL(/>) = 0.
б) Якщо />(x), />(x)— розв’язки диференціального рівняння (5.5), то
у= />(x)+/>(x)теж розв’язок. Дійсно L(/>+/>) = L(/>)+L(/>) = 0.
в) Якщо />(x), />(x),…, />) — розв’язки диференціального рівняння (5.5),то їх лінійна комбінація також являється розв’язком
L/>= 0.
Приклад 5.2.Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.
/>, />=cos(x), />=sin(x)— розв’язки, тоді y = c/>cos(x)+c/>sin(x)— розв’язок .
3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n– го порядку.
Означення 5.4.Функції />(x), />(x),…, />називаються лінійно незалежними на (a,b), якщо між не існує співвідношення виду
/>/>(x) + />/>(x) +… + />/>/>0, a
де />,…, /> — постійні числа не рівні нулю одночасно. В противному випадку функції />(x), />(x),…, />називають лінійно залежними на (a,b).
Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b)зводиться до того, щоб відношення функцій />, />не було постійним на (a,b).
Зауваження 5.1.Якщо одна із функцій на (a,b)тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні. продолжение
--PAGE_BREAK--
Приклад 5.3.Функції />=1, />=x,…, />-лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) />. Дійсно співвідношення
/>+/>x+ … +/>x/>=0 , в якому не всі />дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x, так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1)– го коренів.
Приклад 5.4.Функції />, /> — лінійно незалежні, так як співвідношення />, де />не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з />=/>.
Приклад 5.5.Функції />=sin/>x, />=cos/>x, />=1– лінійно залежні на />, так як для будь-якого х справджується співвідношення
sin/>x + cos/>x – 1 = 0 .
Розглянемо необхідні умовилінійної залежності n— функцій .
Теорема 5.1. Якщо функції />(x), />(x),…, />— лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x)тотожньо дорівнює нулю на (a,b). Тут
W(x) = />(5.14)
Доведення.Згідно умови теореми
/>/>(x) + />/>(x) +… + />/>/>0, aодночасно рівні нулю. Нехай />, тоді
/>(5.15)
Диференціюємо (5.15)(n-1)-раз і підставляємо в (5.14)
W(x) =/>(5.16)
Розкладаючи визначник (5.16)на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже
W(x) />0 , a
Нехай кожна з функцій />(x), />(x),…, />— розв’язок диференціального рівняння (5.5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих
розв’язків даються теоремою 5.1.і слідуючою теоремою .
Теорема 5.2.Якщо функції />(x), />(x),…, />— суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5),всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків Wне дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .
Доведення. Припустимо протилежне, що в точці />(a,b)/>. Складемо систему рівнянь
/>(5.17)
Так як визначник системи (5.17)/>, то вона має ненульовий розв’язок
/>. Розглянемо функцію y=/>, (5.18)
яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).
Система (5.17)показує, що в точці />розв’язок (5.18)перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку. В силу теореми існування і єдиності це значить, що має місце тотожність y (x) =/>, a дорівнюють нулю. Останнє означає, що розв’язки />(x), />(x),…, />— лінійно залежні на (a,b).Це протиріччя і доводить теорему. продолжение
--PAGE_BREAK--
З теорем 5.1. і 5.2. випливає: для того, щоб nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)були лінійно незалежними на (a,b)необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Виявляється, для вияснення лінійної незалежності nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)достатньо переконатися, що W (x)не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b). Це випливає з наступних властивостей вронскіана від nрозв’язків диференціального рівняння (5.5):
а)Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці />(a,b)і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними, то />на (a,b).
Дійсно, якщо />, то по теоремі 5.2.функції />(x), />(x),…, />-лінійно залежні на (a,b).Тоді, по теоремі 5.1./>на (a,b);
б)якщо вронскіан nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)відмінний від нуля в одній точці />(a,b), то />на (a,b).
Дійсно, якби W (x)дорівнював в одній точці з (a,b)нулю, то згідно а)/>на (a,b), в тому числі і в точці />(a,b), що протирічить умові.
Звідси випливає, якщо nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)лінійно незалежні на (a,b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому />(a,b) .
4. Формула Остроградського – Ліувілля.
Ця формула має вигляд />(5.19)
Доведення .Розглянемо вронскіан W(x)= />іобчислимо його похідну
/>/>/>+ />+ />.
Перших (n-1)-визначників рівні нулю, так як всі вони мають по дві однакових стрічки. Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на />і складемо всі nстрічок. В силу диференціального рівняння (5.5)маємо />/>=/>,
Звідки маємо формулу (5.19).
5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.
Означення 5.5.Сукупність nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)визначених і лінійно незалежних на (a,b)називається фундаментальною системою розв’язків .
З попереднього випливає, для того, щоб система nрозв’язків диференціального рівняння (5.5)була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо, щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5). Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .
Теорема 5.3.(про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5)являються неперервними на (a,b), то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.
Доведення .Візьмемо точку />(a,b)і побудуємо, використовуючи метод Пікара, розв’язки :
/>з початковими умовами />;
/>— // — />;
… — // — ...…… ....
/>— // — />.
Очевидно, що />, отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .
Теорема доведена.
З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.
Побудована система розв’язків називається нормованоюв точці />.
Для будь-якого диференціального рівняння (5.5)існує тільки одна фундаментальна система розв’язків, нормована по моменту />.
6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків. продолжение
--PAGE_BREAK--
Теорема 5.4.Якщо />(x), />(x),…, />— фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5), то формула
y =/>, (5.20)де />, />,…, /> — довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5)в області a
/>, />,…, />(5.21), тобто в області визначення
диференціального рівняння (5.5).
Доведення.Якщо />(x), />(x),…, />— розв’язки диференціального рівняння (5.5), то лінійна комбінація (5.20)теж розв’язок.
Систему />(5.22)можна розв’язати відносно />, />,…, />
в області (5.21), так як />. Згідно визначення (5.20)– загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5).
Теорема доведена.
Для знаходження частинного розв’язку такого, що />(5.23)
необхідно все підставити в (5.22)і визначити />, i=1,2,…,n.
Тоді /> — частинний розв’язок, якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці />, то />, тобто
/>(5.24)загальний розв’язок в формі Коші .
Зауважимо, що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5)є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 5.1.Диференціальне рівняння (5.5)не може мати більше ніж nлінійно незалежних частинних розв’язків.
Дійсно, нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок. Розглянемо nперших. Якщо вони лінійно залежні, то і всі будуть лінійно залежні, так як
/>, a не дорівнють нулю. Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок, в тому числі і />виражається через />, />,…, />, тобто />=/>. Так, що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5.5)по системі лінійно незалежних функцій />(x), />(x),…, />, які nраз неперервно диференційовані на (a,b) ,вронскіан яких />, />(a,b)необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)
/>= 0
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5), то можна понизати порядок його на одиницю заміною
/>, або />(5.25)
Тоді />
і диференціального рівняння (5.5)запишемо у вигляді
/>
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків, то диференціальне рівняння (5.5)можна понизити на к одиниць .