Застосування подвійних інтегралів
Содержание
1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійнийінтеграл у полярних координатах
2. Застосування подвійнихінтегралів до задач геометрії
3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
1. Заміна змінних у подвійному інтегралі.Подвійний інтеграл у полярних координатах
Нехай функція /> неперервна в деякійзамкненій і обмеженій області />, тоді існує інтеграл
/>.
Припустимо, що за допомогоюформул
/> (1)
ми переходимо в інтегралі/> до нових змінних/> та />. Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити /> та />:
/>. (2)
Згідно з формулами (2),кожній точці /> ставиться у відповідність деяка точка/> на координатній площині з прямокутними координатами/> і />.
Нехай множина всіх точок/> утворює обмеженузамкнену область />. Формули (1) називаються формуламиперетворення координат, а формули (2) — формулами оберненого перетворення.
Справедлива така теорема.
Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область /> в замкнену обмежену область /> і є взаємно однозначним, і якщо функції(1) мають в області /> неперервні частинні похідніпершого порядку і відмінний від нуля визначник
/>, (3)
а функція /> неперервна в області/>, то справедливатака формула заміни змінних
/>. (4)
Функціональний визначникназивається визначником Якобі або якобіаном.
Таким чином, виконуючизаміну змінних в інтегралі /> за формулами (1), ми маємо елементплощі /> в координатах/> замінити елементомплощі /> в координатах/> і стару областьінтегрування /> замінити відповідною їй областю />.
Розглянемо заміну декартовихкоординат /> полярними /> за відомими формулами/>. Оскільки
/>.
То формула (3) набираєвигляду
/> (4)
де область /> задана в декартовійсистемі координат />, а /> - відповідна їй область в полярнійсистемі координат.
У багатьох випадках формулу(4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границіобласті /> міститьсуму />, оскількиця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:
/>.
Якщо область /> (рис.1, а)обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути /> та /> /> і кривими /> та /> />, то полярні координатиобласті /> змінюютьсяв межах />,/> (рис.1, б).Тому формулу (4) можна записати у вигляді
/> (5)
/>
Рисунок 1 — Область: а)/>; б) />
подвійний інтеграл полярна координата
Якщо область /> охоплює початоккоординат, тобто точка /> є внутрішньою точкою області />, то
/> (6)
де /> - полярне рівняння межіобласті />.
Приклади
1. Обчислити інтеграл/>, якщо область/> - паралелограм,
обмежений прямими /> (рис.1, а).
Розв’язання
Безпосереднє обчисленняцього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі /> так і в напрямі осі /> область /> потрібно спочаткурозбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.
Виконаємо таку замінузмінних: />,тоді прямі /> та/> в системі/> переходятьв прямі /> та/> у системі/> (рис.1, б),а прямі /> та/> відповіднов прямі /> та/>.
Таким чином, область /> (паралелограм)переходить у системі /> в прямокутник />.
/>
Рисунок 2 — Область: а)/>; б) />
Далі маємо
/>
/>
За формулою (3)
/>
2. У подвійному інтегралі />, де /> - круг, обмежений колом/>, перейти дополярних координат з полюсом в точці />, і обчислити отриманий інтеграл.
Розв’язання
Область /> зображена на рис.2.
Рівняння, які пов’язують /> і полярні координати /> з полюсом у точці/>, мають вигляд/>, причомувидно, що кут /> змінюється в межах від /> до />.
/>
Рисунок 3 — Область />
Підставивши вирази для /> і /> в рівняння кола, отримаємо/>, звідки /> або />. Ці дві криві наплощині /> при/> обмежуютьобласть />, якає прообразом області /> при відображенні. Якобіан /> відображення дорівнює/>. Підінтегральнафункція /> унових змінних дорівнює />. За формулою (3) маємо
/>.
Одержаний подвійний інтеграл за областю /> зводимо до повторного:
/>
і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулуНьютона — Лейбніца:
/>2. Застосування подвійних інтегралівдо задач геометрії
1. Площа плоскої фігури.Якщо в площині /> заданафігура, що має формуобмеженої замкненої області />, то площа /> цієї фігури знаходиться, як відомо,за формулою:
/>.
2. Об'єм тіла. Об'ємциліндричного тіла, твірні якого паралельні осі /> і яке обмежене знизу областю /> площини />, а зверху — поверхнею/>, де функція/> неперервната невід'ємна в області />, знаходиться за формулою (2):
/>
3. Площа поверхні.Якщо поверхня />, задана рівнянням
/> (7)
проектується на площину/> в область/> (рис.3)і функції />,/>, /> неперервні в ційобласті, то площу /> поверхні /> знаходять за формулою
/> (8)
/>
Рисунок 4 — Поверхня />
Виведемо цю формулу. Розіб’ємодовільним способом область /> на /> частин />, які не мають спільних внутрішніхточок і площі яких дорівнюють />. У кожній частині /> візьмемо точку/>; на поверхні/> їй відповідатиметочка />, де/>. Через точку/> проведемодотичну площину /> [3]
/>.
На площині /> виділимо ту їїчастину, яка проектується на площину /> в область />. Позначимо цю частинудотичної площини через />, а її площу — через />. Складемо суму
/>. (9)
Границю /> суми (9), колинайбільший з діаметрів /> областей /> прямує до нуля, назвемо площеюповерхні (7), тобто за означенням покладемо
/>. (10)
Обчислимо цю границю.Оскільки область />, яка має площу />, проектується в область/> з площею />, то />, де /> - кут між площинами/> та/> (рис.3),тому />.
Але гострий кут /> дорівнюєкуту між віссю /> і нормаллю /> до дотичної площини,тобто куту між векторами />та />. Знайдемо за формулою (4)
/>.
Отже,
/>.
Підставляючи значення/> в (10), отримуємо
/>.
Під знаком границі маємоінтегральну суму, складену для неперервної в області /> функції />. Ця функція інтегровна вобласті />, томуграниця у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).
3. Застосування подвійних інтегралів дозадач механіки
1. Маса пластини. Нехайна площині /> маємоматеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області />, в кожній точці якої густинавизначається неперервною функцією />. Маса такої пластини визначаєтьсяза формулою (1.8):
/>.
2. Центр маси пластини.Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині /> має форму області/>, густина пластинив точці />дорівнює/>, де /> - неперервна функціяв області /> Розіб'ємообласть /> начастини />,виберемо в кожній з них довільну точку /> і наближено вважатимемо, що маса /> частини /> дорівнює />, де /> - площа області/>. Коли вважати,що кожна з цих мас зосереджена в точці />, то пластину можна розглядати як системуцих матеріальних точок. Тоді координати /> та /> центра маси пластининаближено визначатимуться рівностями
/>.
Щоб знайти точні значеннякоординат, перейдемо в цих формулах до границі при />. Тоді інтегральні суми перейдуть уподвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами
/>. (11)
Величини
/> (12)
називаються статичнимимоментами пластини відносно осі /> та />.
Враховуючи формули (8),(11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді
/>.
Якщо пластина однорідна,тобто має сталу густину />, то у формулах (1.8), (11) і (12)слід покласти />.
3. Моменти інерціїпластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнюєдобутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системиматеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерціївсіх точок системи.
Нехай матеріальна пластинамає форму області /> у площині />, а неперервна функція/> визначає густинув кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область /> на частини />, площі яких дорівнюють />, і виберемов кожній з цих частин довільну точку />. Замінимо пластину системоюматеріальних точок з масами />. Якщо пластину розглядати як системуцих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі /> та відносно /> наближеновизначатимуться за формулами
/>.
Перейшовши до границів кожній із сум при />, отримуємо точні формули для обчисленнямоментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:
/>. (13)
Знайдемо момент інерції/> пластини відноснопочатку координат.
Враховуючи, що моментінерції матеріальної точки /> з масою /> відносно початкукоординат дорівнює />, аналогічно отримуємо, що
/>. (14)