Международныйуниверситет природы, общества и человека «Дубна»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по теориивероятностей
на тему:
Зависимостьвысоты дерева от среднегодовой температуры
Руководители:
ассистент
Дубна
Содержание/>ВведениеПостановка задачиТеоретическая частьИсходные данные и их обработкаМетод наименьших квадратовВыводСписок используемой литературы
Введение
Деревьяделятся по виду листьев на хвойные и широколиственные.
Хвойные отличаются обычно жёсткими вечнозелёными игловидными или чешуйчатыми листьями,называемыми хвоей или иглами, образуют шишки или можжевеловых ягод. К этой группе относятся,например, сосны, ели, пихты,лиственницы, кипарисы, секвойи.
Широколиственные деревья имеют широкие и плоские листья — у которых толщина значительноменьше длины и ширины, обычно опадающие раз в год. Широколиственные (или простолиственные) деревья обычно цветут и плодоносят. К этой группе относятся клёны, буки, ясени, эвкалипты и т. д.
Кромеклассификации по виду листьев, деревья делятся по сроку жизни листьев — налистопадные и вечнозелёные.
Листопадные деревья имеют чёткую сменулиственного покрова: все листья на дереве теряют зелёную окраску и опадают,некоторое время (зимой) дерево стоит без листьев, потом (весной) из почек вырастаютновые листья.
Вечнозелёные деревья не имеют чёткой сменылиственного покрова: листва находится на дереве в любой момент года, и смена листьев происходитпостепенно, в течение всей жизни дерева.
Кромебиологической классификации деревья делятся и по другим признакам: например, плодовые деревья (плоды которых используются человеком впищу), ценные (древесина которых используется дляпромышленных целей), корабельные (используемые в кораблестроении), тропические (ареал обитания которых проходит недалекоот экватора), северные (ареал обитания которых проходит далеко от экватора) и т.д.
Высотадерева, расстояние от корневой шейки до конца вершины. Деревья выше 20 метров условно называют деревьями первой величины, от 10 метров до 20 второй величины и до 10 метров – третьей величины.
Методыизмерения деревьев
Теневой Метод- стенд рядом с деревом или объектом, который будет измерен. Для лучшихрезультатов, сделайте этот метод в яркий, солнечный день. Если небо являетсяпасмурным, может быть трудно сказать точно, где наконечник тени.
Мера длинаВашей тени. Используйте рулетку или критерий (правитель метра), чтобы измеритьВашу тень от Ваших ног до наконечника Вашей тени. Если у Вас нет кого-то, чтобыпомочь Вам, Вы можете отметить конец тени, бросая скалу на это, в то время какВы стоите. Или еще лучше, помещают скала где-нибудь в основание, и затемположение самостоятельно, таким образом наконечник Вашей тени в скале; тогдамера от того, где Вы стоите скале.
Мера длинатени дерева. Используйте свою ленту измерения, чтобы определить длину тенидерева от основы дерева к наконечнику тени. Это работает лучше всего, еслиоснование все время по тени — справедливо уровень; если дерево будет нанаклоне, например, то Ваше измерение не будет очень точно. Вы хотите сделатьэто как можно быстрее после измерения Вашей тени, так как положение солнца внебе (и следовательно теневая длина) медленно но постоянно изменяется.Если уВас есть помощник, Вы можете держать один конец имеющей размеры ленты, в товремя как он или она измеряет тень дерева, и затем Вы можете немедленноизмерить свою тень.
Вычисляютвысоту дерева при использовании пропорции длины Вашей тени к Вашей высоте. Таккак Вы знаете длину тени дерева, и Вы также знаете, что определенная высота(Ваша высота) производит определенную теневую длину (длина Вашей тени), Выможете определить высоту дерева с небольшой математикой. Умножьте длину тенидерева Вашей высотой, и затем разделите получающееся число на длину Вашей тени.Например, если Вы — 5 футов высокие (1.5 метра), Ваша тень составляет 8 футов (2.4 метра) долго, и тень дерева составляет 100 футов (30.48 метра) долго, высота дерева (100 x 5) / 8
МетодКарандаша: Требует Помощника — Стенд достаточно далеко от дерева, таким образом,Вы можете рассмотреть целую верхушку дерева к основанию — не двигая Вашейголовой. Для самого точного измерения Вы должны стоять так, чтобы Вы были начасти основания, которое является об уровне с основанием в основе дерева. Вашвзгляд дерева должен быть настолько свободным насколько возможно.
Сделали,чтобы друг стоял около дерева.
Держаткарандаш или маленькое, прямо придерживаются (такие как палка краски илиправитель) в одной руке и протягивают Вашу руку так, чтобы карандаш был нарасстоянии вытянутой руки перед Вами (между Вами и деревом).
Близко одинглаз и регулирует карандаш или вниз так, чтобы Вы могли увидеть самую верхушкудерева наверху карандаша. Это является самым легким, если Вы поворачиваетекарандаш так, чтобы обостренный пункт указал прямо. Наконечник карандаша должентаким образом только покрыть верхушку дерева в Вашем луче обзора, поскольку Высмотрите на дерево «через» карандаш.
Продвиньтесвой большой палец или вниз карандаш так, чтобы наконечник Вашего ногтябольшого пальца руки был союзник основы дерева. Держа карандаш в положении так,чтобы наконечник был союзник вершины дерева (как в шаге 3), двиньте своимбольшим пальцем к сути в карандаш, который покрывает пункт (снова, поскольку Выпросматриваете карандаш одним глазом), где дерево встречает основание.
Вращают Вашуруку так, чтобы карандаш был горизонтален (параллельный основанию). Держитесвою руку проведенной прямо, и удостоверьтесь, что Ваш ноготь большого пальцаруки все еще союзник основы дерева.
Сделали,чтобы Ваш друг двинулся так, чтобы Вы могли увидеть его или её ноги «через»пункт Вашего карандаша. Таким образом, ноги Вашего друга должны быть союзникнаконечника карандаша. Он или она, возможно, должен двинуться назад, боком, илипо диагонали. С тех пор, в зависимости от высоты дерева, Вы, возможно, должныбыть на некотором расстоянии от Вашего друга, рассмотреть сигналы рукииспользования (рукой, которая не держит карандаш), чтобы сказать ему или ейидти дальше, приезжайте ближе, или двиньтесь налево или право.
Мерарасстояние между Вашим другом и деревом. Сделайте, чтобы Ваш друг остался вместе или отметил пятно с палкой или скалой. Тогда используйте имеющую размерыленту, чтобы измерить прямолинейное расстояние между тем пятном и основойдерева. Если у Вас нет имеющей размеры ленты, Вы можете измерить расстояниешагами, хотя это не будет столь точно. Расстояние между Вашим другом и деревом- высота дерева./>Постановка задачи
На основании имеющихся данных провести статистическийанализ совокупности заданных чисел. В ходе работы использовать точечные иинтервальные оценки параметров генеральной совокупности, а также различныеграфические представления данных: диаграмму, гистограммы, полигоны, регрессии.Подсчитать некоторые наиболее важные оценки по выборке и корреляционнойтаблице. На основании этого разработать метод оценки общей характеристикигенеральной совокупности, проверить статистические гипотезы, согласоватьисходные данные с теорией./> Теоретическая часть
Приведем основныеопределения и понятия из курса теории вероятностей и математической статистики,которые будут задействованы и использованы в данной работе.
Математическаястатистика — наука о математических методах систематизации ииспользовании статистических данных для научных и практических выводов. Вомногих своих разделах математическая статистика опирается на теориювероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых наосновании ограниченного статистического материала (выборки).
Генеральнойсовокупностью называют совокупность объектов, из которыхпроизводится выборка.
Длятого, чтобы по данным выборки можно было судить об изучаемом признакегенеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно егопредставляли, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). Всилу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной,если её осуществлять случайно: каждый объект выборки отобран случайно изгенеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попастьв выборку.
Выборочнойсовокупностью или просто выборкой называют совокупность случайноотобранных объектов.
Репрезентативность— главное свойство выборки, состоящее в близости её характеристик (состава,средних величин и т.д.) к соответствующим характеристикам генеральнойсовокупности, из которой отобрана выборка.
Существуеттесная связь между математической статистикой и теорией вероятностей.
Теориявероятностей — раздел математики, в котором по даннымвероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий,связанных каким-либо образом с первыми. Теория вероятностей изучает такжеслучайные величины и случайные процессы. Одна из основных задач теориивероятностей состоит в выяснении закономерностей, возникающих привзаимодействии случайных факторов.
Объемомсовокупности (выборочной или генеральной) называют числообъектов этой совокупности. В данном случае мы имеем выборку случайныхзначений, объем которой равен n=100.
Наблюдаемыезначения /> называются вариантами,а последовательность вариант в возрастающем порядке — вариационным рядом. Частотой/> называетсячисло, которое показывает, сколько раз встречается данный вариант. Относительнойчастотой w называется отношение частоты /> кобъёму выборки n.
Случайной величиной X называется величина, которая подвлиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения.
Выборкой называется конечная совокупностьрезультатов наблюдений X/>, X/>,…, X/>, представляющих собойнезависимые, одинаково распределенные случайные величины.
Случайные величиныописываются следующими характеристиками.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют суммупроизведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическоеожидание приближенно равно среднему значению случайной величины, т.е. служитхарактеристикой среднего значения случайной величины.
Пусть случайная величина X может принимать толькозначения x1, x2,...,xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2,...,pn. Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины Х определяетсяравенством:
M(X) = x1p1 + x2p2 +…+ xnpn .
Если дискретная случайная величина Х принимает счетноемножество возможных значений, то
/>,
причем математическое ожидание существует, если ряд вправой части сходится абсолютно.
В данном случае М(X )= 9,1947, М(Y) = 30,8216.
Существуют также и другие характеристики случайнойвеличины – это дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Для определения дисперсии случайной величинынеобходимо ввести понятие отклонения случайной величины от ее математическогоожидания.
Пусть Х — случайная величина и М(Х) — ее математическоеожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность (Х — М(Х)).
Отклонением называют разность между случайной величиной и еематематическим ожиданием.
При определении дисперсии используется следующеесвойство отклонения:
/>.
Это приводит к тому, что целесообразно заменитьсуществующие отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так ипоступают. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютнымизначениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что иногдаприводит к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути,т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожиданиеквадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
/>.
В нашем случае />= 30,1964, /> = 269,5502.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называютквадратный корень из дисперсии:
/>.
/>=5,495125, />=16,41798.
Исправленнаядисперсия: />
S(x) = 30,50141, S(y) = 272,2729.
Выборочноеисправленное среднее квадратическое отклонение: />
/>= 5,522808, /> =16,50069.
Частостатистические данные дополняются графиками. Графики являются самой эффективнойформой представления данных с точки зрения их восприятия. Статистическиеграфики представляют собой условные изображения числовых величин и ихсоотношений посредством линий, геометрических фигур, рисунков илигеографических карт-схем. Таким образом, облегчается рассмотрениестатистических данных, они становятся наглядными, выразительными, обозримыми.
Гистограммойчастотназывается ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниямикоторых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны частоте />.
Гистограммойотносительных частотназывается диаграмма, на которой изображены столбцы, при этом ось Х — этоинтервалы, а ось У — это относительная частота встречаемости:
/>.
Полигоном частот называют ломаную,отрезки которой соединяют точки />. Для построения полигона на осиабсцисс откладывают варианты />, а на оси ординат соответствующиеим частоты />.
Полигоном относительных частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки />. Для построения полигона на осиабсцисс откладывают варианты />, а на оси ординат соответствующиеим относительные частоты />.
Эмпирическойфункцией распределения (функцией распределения выборки)называют функцию />, определяющую для каждогозначения /> относительнуючастоту события />. По определению />, где />— число вариант, меньших/>; n —объем выборки. Функция /> обладает теми же свойствами, чтои вероятность.
Нормальное распределение — приближённая плотностьвероятности.
Плотность нормальногораспределения имеет вид:
/>
а функция распределения
/> ./> Исходные данные и их обработка
Данавыборка (объема n=100),зависимости числа Y от числа X.X Y X Y 15 49,4 8,98 30,5 0,212 5,46 10,6 34,5 17,9 57,2 16,8 53,3 7,68 26,9 2,7 11,6 18 56,5 7,58 25,9 14,9 48 12,3 40,4 13,4 43,3 4,06 16,5 0,358 4 0,244 5,02 0,994 7,23 4,86 17,7 9,78 31,2 9,48 31,4 5 18,3 15,7 50,9 6,68 24,1 13,5 41,8 17,7 57,3 16,6 52,7 1,99 8,87 12,1 38,6 19,7 61,4 15 49,6 7,16 23,9 12,2 41,2 10,8 37,1 8,06 28,1 0,652 6,42 17,6 56,4 9,72 32,4 19,7 62,7 12,6 40,1 9,98 34 4,78 15,9 16,4 50,9 1,36 7,43 17,8 54,7 4,94 17,2 5,42 17,4 12,3 38,8 6,98 22,4 4,64 17,4 5,98 19
Начнем изучение данных Xи Y спостроения диаграммы рассеивания:
Диаграмма рассеивания наглядно показывает тенденциювозрастания Y при возрастании Х.Это объясняется тем, что при увеличении количества рабочих дней, зарплатавозрастает.
/>
Теперь построим корреляционную таблицу.Разобьём значения xна 5 и y на 5 интервалов:y\x 2 6 10 14 18 N(y) P*(y) 7 18 18 0,18 21 1 27 1 29 0,29 35 20 7 27 0,27 49 9 7 16 0,16 63 10 10 0,1 N(x) 19 27 21 16 17 100 P*(x) 0,19 0,27 0,21 0,16 0,17 1
По корреляционной таблице найдём оценки для Х:
выборочное среднее —/>, где />:
/>=9,4;
выборочнуюдисперсию — />:
/>=29,56;
исправленнуюдисперсию — />:
/>=36,95;
среднеквадратичноеотклонение — />:
/>=5,436911;
оценкусреднеквадратичного отклонения — />:
/>=6,078651.
Найдемте же оценки для Y:
выборочноесреднее —/>,где />:
/>= 30,94;
выборочнуюдисперсию — />:
/>= 291,2364;
исправленнуюдисперсию — />:
/>=364,0455;
среднеквадратичноеотклонение — />:
/>=17,06565;
оценкусреднеквадратичного отклонения — />:
/>=19,07998.
и ковариацию икоэффициент кореляции для x, y:
/> , />
/> , /> .
Точечной называют статистическую оценку,которая определяется одним числом />, где /> – результаты n наблюденийнад количественным признаком Х (выборка).
Несмещенной называют точечную оценку />,математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру /> при любом объемевыборки />.
Оценки/>, />, />, />, />, /> — несмещённыеоценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.
Найдемтакже моду и медиану для Х и Y:
Модойдискретной случайной величины называется значение случайной величины, котороеимеет максимальную вероятность:
/>= 15, />= 17,4.
Медиана— это такое значение варьирующего признака, которое приходится на серединуупорядоченного ряда:
/>= 8,47, />= 29,2.
Имея эти данные, можнопостроить гистограмму, полигон частот и функцию распределения для X, так же построим гистограмму,полигон частот и функцию распределения для Y.
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>Метод наименьших квадратов
Обычнов любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты. Из-затого, что почти всегда измерение связано с погрешностями, соответствующие точкиX и Y не ложатся на какую-то функцию и задача состоит в том, чтобы на основанииэкспериментальных точек выявить функциональную зависимость.
Еслимы рассматриваем слабоформализованные системы, которые трудно поддаютсяоднозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначальнокорреляционная. Это связано, в частности, с тем, что связи многопеременные,т.е. Y зависит не только от X, но и от других параметров, причем такая связьчасто носит случайный характер.
В этом случае, имея экспериментальные точки, задача состоитв том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощьюподбора такой функции, которая максимально возможным способом близка кэкспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.
Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит отнекоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоитв нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьшихквадратов.Линейная регрессия
Регрессия называется линейной, так как предполагается, чтомежду X и Y существует линейная зависимость, тоесть />.Нужно провести эту прямую между экспериментальными точками оптимально. Введемнекоторую величину – отклонение. Каждому xсоответствуют два значения y.Пусть /> – экспериментальные точки, а /> – точки,соответсвующие значениям /> на прямой />. Тогда пусть/>– расстояниямежду этимим точками. Отрезки /> – отклонения экспериментальныхточек от теоретических. Отклонения разного знака, поэтому, чтобы полнееохарактеризовать суммарное отклонение, сложим их, возведя каждое в квадрат.Получим некоторую величину />:
/>.
Очевидно, что линия регрессии будет оптимальной, если /> – суммарноеотклонение в квадрате – минимальна. Для того, чтобы /> приняла минимальное значение,необходимо и достаточно, чтобы частные производные по /> и /> были равны нулю, т. е.
/>
Решаясистему, получим :
/>
Решаясистему, получим значения для a и b:
/>
Пользуясьэтими формулами мы сможем легко посчитать a, b и построить график линейнойрегрессии. В нашем случае a=2,9816,а b=3,4066. т.е. искомое уравнение линейной регрессии имеет вид y= 2,9816x + 3,4066.Дляудобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания.
/>/>Параболическая регрессия
Линейныесвязи являются основными, но нередко встречаются и нелинейные связи, хорошоописываемые параболой, гиперболой и т. д.
Уравнениерегрессии в форме параболы второго порядка имеет вид: />.Суммарное отклонение зависит от коэффициентов />,/> и/> этойфункции. Как и в предыдущем исследовании, нам необходимо провести оптимальнуюкривую, т. е. найти минимум функции />.
Известно,что минимум достигается в точках, где частные производные равны нулю. В нашемслучае имеем:
/>;
/>;
/>
Решаясистему, получаем a = 0,0002; b = 2,9769; c = 3,4225;
следовательно,искомое уравнение параболической регрессии имеет вид
математический систематизация квадратический отклонение
y= 0,0002x2 +2,9769x + 3,4225
Построимграфик параболической регрессии:
/>
Сравнимкачество линейной и параболической регрессии по суммарному отклонению вквадрате.
Посчитаемискомое значение отклонений для регрессий
для линейной регрессии />110,4808;
для параболическойрегрессии />110,4797418,
где />, /> – экспериментальные значения, а /> –теоретическое значение функции для />.
Величина/> больше улинейной регрессии, и, следовательно, вместо линейной регрессии в данном случаелучше использовать параболическую.
Теперь мы подтвердили напрактике, что чем больше степень уравнения регрессии, тем точнее график. Этолегко заметить на рисунках. Но трудность вычислений сильно возрастает по меревозрастания степени уравнений. Однако наметилась интересная закономерность, вуравнениях регрессий, по мере возрастания степени уравнений n, коэффициентыперед переменными в этой степени стремятся к нулю. Это позволяет сделать вывод,что построение регрессий высших степеней не дало бы нам ощутимого улучшениярезультата.
Вывод
В курсовой работе былпроведён статистический анализ Зависимость высоты дерева от среднегодовойтемпературы. Были получены основные параметры данной выборки. Также былиприведены различные типы графиков: диаграмма рассеивания, гистограмма, полигончастот и функция распределения. На диаграмме рассеивания наглядно была показанапрямая зависимость зарплаты от количества рабочих дней в год. Нами былиполучены знания о методах исследования математической статистики.
Список используемой литературы
1) Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998.
2) Кабанова Е.И.«Теория вероятностей и математическая статистика».–Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.