Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по теории вероятностей иматематической статистике
на тему:/>«Зависимость потребления бензина от количества автомобилей »Дубна, 2003
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ДИАГРАММА РАССЕИВАНИЯ
ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ Y=AX+B, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI)В СРЕДНЕМКВАДРАТИЧНОМ
ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ Y=PX2+QX+R, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯОТ ТОЧЕК (XI;YI) В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОД О ЗАВИСИМОСТИ XI И YI
ВЫВОД
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
/>/>/>Введение
В данной работе исследуетсязависимость потребления бензина в городе от количества автомобилей с помощьюметодов математической статистики.
Бензин – смесь легких углеводородов с tкип 30-205 °C; прозрачная жидкость, плотность 0,70-0,78 г/см3.Получают главным образом перегонкой или крекингом нефти. Топливо длякарбюраторных авто- и авиадвигателей; экстрагент и растворитель для жиров,смол, каучуков.
Автомобиль – транспортная безрельсовая машинаглавным образом на колесном ходу, приводимая в движение собственным двигателем(внутреннего сгорания, электрическим или паровым). Различают автомобилипассажирские (легковые и автобусы), грузовые, специальные (пожарные, санитарныеи др.) и гоночные. Скорость легковых автомобилей до 300 км/ч, гоночных до 1020 км/ч (1993), грузоподъемность грузовых автомобилей до 180 т.
Обычно в любой областинауки при изучении двух величин проводятся эксперименты, и задача состоит втом, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.
Если мы рассматриваемслабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точнымописаниям, связь между величинами X и Y изначальнокорреляционная. Это связано, что Y зависит не только от X, но иот других параметров.
В этом случае, задачасостоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной спомощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом была быблизка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.
Обычно вид самой функцииугадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического икорреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого ииспользуется метод наименьших квадратов.
Постановка задачи
Даны выборки />
/> – количество автомобилей, /> – потребление бензина.
Задача состоит в изучениихарактера зависимости />
1. Изобразить точки (/>) на плоскости (намиллиметровой бумаге и в виде точечного графика на компьютере)
2. Методом наименьшихквадратов определить числа /> такие,что прямая /> наименее уклоняется отточек (/>) в среднемквадратичном.
3. Методом наименьшихквадратов определить числа /> такие,что парабола/> наименее уклоняется отточек (/>) в среднемквадратичном.
4. Сравнить между собойрезультаты пунктов 2. и 3.
5. С помощью сравнениястатистик />
/>
где /> /> объем выборки, ответить навопросы:
1) Подтвердилась лигипотеза о том, что зависимость между /> и/> близка к линейной ?
2) Подтвердилась лигипотеза о том, что зависимость между />и/>
близка к квадратичной?
3) Какая из двух кривых — прямая или парабола — меньше отклоняется от точек выборки (/>) ?
/>/>/>Диаграмма рассеивания
Даны выборки /> и />, которые можно интерпретироватьследующим образом: />— потреблениебензина, /> — количество автомобилей.Задача состоит в изучении характера зависимости между /> и />. Исходные выборки представлены втаблице:X Y X Y X Y X Y 8,64558 116,76 22,2483 112,8 35,3723 113,328 48,6586 125,396 9,30954 115,72 22,38 114,03 35,8685 119,397 49,2468 126,783 9,54538 109,996 22,743 114,952 36,0494 124,624 49,0515 125,652 9,91695 126,634 23,0127 117,027 36,5302 118,734 49,7645 119,88 10,3459 112,28 23,9216 110,664 36,7256 126,531 50,6983 129,604 11,1794 115,564 24,7213 120,474 37,2568 125,601 50,4538 125,877 12,0403 116,048 25,2151 120,749 38,6184 121,974 51,7368 124,935 12,4383 114,524 25,5633 125,365 38,669 123,196 52,3859 121,572 12,8887 114,716 26,5224 117,494 39,2617 119,925 52,932 127,416 13,3673 107,328 26,654 112,982 40,1783 122,293 53,1557 123,507 13,5643 114,422 26,7975 112,34 40,239 120,465 54,0261 128,29 14,4435 118,925 27,6272 127,172 41,1804 122,419 54,4972 136,727 14,4909 123,297 28,2653 121,229 40,8874 127,014 54,3892 125,732 15,3408 119,606 28,6799 119,246 42,0704 133,402 55,475 124,107 15,5866 116,443 28,9424 113,728 42,7372 136,142 55,7691 128,79 16,9966 119,384 29,8652 124,189 42,8423 123,36 55,912 139,417 17,4323 116,428 30,2303 131,775 43,6994 128,363 56,6281 127,151 17,2341 123,058 30,6092 113,164 44,4041 118,225 57,6097 130,697 17,7988 116,349 31,6162 122,517 45,0372 126,604 57,3441 142,839 18,5831 116,665 32,1788 117,256 45,1258 127,831 58,699 134,079 19,4722 118,844 32,7243 114,794 45,4427 122,39 59,0407 130,316 19,8208 123,205 32,7933 130,624 46,3461 129,182 59,3109 129,148 20,6594 109,789 33,1236 133,529 46,5863 127,344 59,8175 135,398 20,8651 118,634 34,0453 123,582 47,3429 124,694 60,3217 131,061 21,0348 110,347 34,9061 135,169 47,7225 117,103 61,2562 126,388
Изобразим эти точки ввиде точечного графика с соответствующими координатами (/>, />); для этого надо найти размахвыборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим /> и />, затем размах выборки по X, которая вычисляется по формуле /> и в результате равна52,61062. Аналогично /> и />, а размах выборки поYполучим равный 35,511. Глядя на размахвыборок по X и по Y, выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её.
/>
рис.1. Диаграммарассеивания
По формуле /> где />
можно найти коэффициенткорреляции:
/>/>/>/>/>
Он не равен нулю,следовательно, зависимость между X и Y существует.
Построение прямой y=ax+b,наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi)в/>среднем квадратичном
Для построения прямой y= ax + b, наименее отклоняющейся от точек /> всреднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных /> принимает минимальноезначение. Данная функция имеет вид:
/>.
Зная, что необходимымусловием минимума функции является равенство нулю ее первых частныхпроизводных, имеем следующую систему для нахождения значений />:
/>, />
Данная система может бытьпредставлена в виде:
/>,
где />
В результате получим что:
/>
Докажем теперь, что вточке /> функция /> имеетминимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменныхявляется следующее неравенство:
/>/>.
Для доказательства введемследующие обозначения:
/>
Составим дискриминант />.Тогда, если />, то функция имеет в точкеэкстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что этиусловия выполняются: />= />, С=200>0.
То есть точка /> действительно являетсяточкой минимума.
Следовательно, функция /> при данных значениях /> имеет следующий график:
/>/>/>/>
рис.2. График уравнениялинейной регрессии/>
Построение кривой y=px2+qx+r,/>наименее отклоняющейся отточек (Xi;Yi) в среднем квадратичном
Для построения кривой />, наименее отклоняющейся от точек /> в среднем квадратичном, необходимометодом наименьших квадратов определить числа />, /> и /> такие, что функция трех переменных /> принимает минимальноезначение. Данная функция имеет вид:
/>
Аналогично нахождению значений /> дляпрямой /> составляем систему трех линейных уравнений, котораяявляется необходимым условием минимума функции:
/>/>/>
Данная система являетсясистемой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера изная, что:
/>
/>
составляем определители,состоящие из коэффициентов при /> истолбца свободных членов.
Значения /> находим делениемсоответствующих определителей.
/>= />/>= />/>= />
Докажем теперь, что вточке /> функция /> имеет минимум. Достаточнымусловием существования минимума функции трех переменных является следующеенеравенство:
d/>./>/>
Получаем следующееуравнение:
/>
Воспользуемся критериемСильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что ониположительные.
/>=/>/>/>=/>
Найдем миноры первого,второго и третьего порядков для этого определителя:
/>
Так как все минорыположительны, то по критерию Сильвестра d/>,и функция /> имеет минимум в точке />.
Таким образом, парабола /> имеет следующий график:
/>
/>/>/>рис.3. График уравнения параболической регрессии/>
Анализ полученных результатов и вывод о зависимости Xiи Yi
/>
рис.4. Сравнение линейнойи параболической регрессий
Для сравнения полученных результатов построения кривых /> и /> определим значения статистик:
/>
Поскольку /> и />, можно говорить о том, чтозависимость между /> и /> близка и к линейной, и к квадратичной. При этомпарабола /> меньше отклоняется от точек /> и />, чем прямая />
/>/>/>Вывод
Зависимость потреблениябензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однаковидно, что разница между значениями статистик /> небольшая.Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки /> и /> к прямой />.Выявлениезависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится дляпонимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу,поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.
/>/>/>Список литературы
1. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа 1998.
2. Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике— М.: Высшая школа 1998.
3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Наука 1979.
4. Мазный Г.Л.,Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике.— Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.