МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЗАКАРПАТСЬКИЙДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТІНФОРМАТИКИ
Кафедрапрограмного забезпечення автоматизованих систем та фізико-математичнихдисциплін
Реєстраційний№______ Дата ________________
КУРСОВАРОБОТА
Звищої математики
Тема:Знаходження оберненої матриці за формулою
Рекомендованадо захисту“____” ____________2007р.
Робота захищена“____” ____________2007р.
з оцінкою_______________________
Підписи членів комісії
Виконав студент
ІІ — го курсу
денної форми навчання
Дюркі Андрій Євгенович
Науковий керівник
проф. Поляк С.С.
Ужгород- 2007
ЗМІСТ
Вступ
1.Загальні поняття проматриці
2.Обернена матриця
3.Висновки
4.Список літератури
5.Програмна реалізація
Вступ
Теорія обернених матрицьта їх знаходження за формулою на даниймомент є актуальною, адже вона використовується в багатьох сферахекономіко-математичного програмування сучасного світу.
Матриці використовуютьсяз метою виявлення оптимального способу дій при розв’язанні задач керуваннясистемами, зокрема – економічними. Предметом дослідження процесу знаходженняобернених матриць за допомогою формулиє задачі пошуку оптимальних управлінських рішень, що математично зводяться дозадач знаходження умовного рішення функції багатьох змінних.
Оскільки математичніметоди не можуть застосовуватися безпосередньо до досліджуваного об'єкта (фірмиабо організації), необхідною є побудова адекватної цьому об’єкту математичноїматриці. Під математичною матрицею об'єкта розуміється деяка штучна система, щоспрощено відбиває структуру й основні закономірності розвитку реального об'єктатак, що її вивчення подає інформацію про стан і поведінку самого досліджуваногооб'єкта. Простими словами за допомогою матричного методу аналізу існуєможливість встановити реальне економічне становище досліджуваного об’єкта, а задопомогою оберненої матриці можна винайти можливість покращення йоготеперішнього стану.
Метою курсової роботи євивчення матеріалу по оберненим матрицям на основі якого складається написанняпрограми обчислення оберненої матриці до заданої.
Розкриваючи сутністьтематики даного курсового дослідження виникає перелік певних завдань, виконанняяких обов’язкове для його реалізації. До них відносяться:
- визначенняпоняття матриць та обернених матриць;
- висвітлення формули для знаходження обернених матриць;
- відображенняприкладів застосування формули доматриць.
Структура курсової роботискладається з двох розділів. У першому розділі розглянуто загальні поняттяматриць і можливі дії над ними. У другому розділі розкрито поняття оберненоїматриці, знаходження оберненої матриці доданої задопомогою формули. Данукурсову роботу завершено написанням програми на мові Pascal для обчислення оберненої матриці для заданої.
При виконанні курсовоїроботи були використані навчальні посібники з теорії математичногопрограмування та періодичні видання економіко-математичного напрямку.
Загальніпоняття про матриці
Поняття матриці, є одниміз найважливіших понять не лише в алгебрі, а й в усій сучасній математиці.Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон, Д. Келі іДж.Сільвестра в середині XIXст.Основи теорії матриць створені К.Веєрштрасом і Г.Фробеніусом в другійполовині XIX ст. і поч. XX ст.
Основні означення
Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2,… m; j= 1,2, ..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді
/>
називається матрицею.
Коротко матрицю позначають так:
А=(аij) або Аmxn
де aij — елементи матриці, причому індекс i в елементі aij означаєномер рядка, j— номер стовпця, на перетині якихстоїть даний елемент.
Рядок чисел аі1 аі2…аinназивають і-им рядком, а стовпець чисел
а1j
a2 j
/>
amj— j-им стовпцем матриці Аm?n.
Добуток числа рядків m на числостовпців n називають розміром матриці і позначають m?n. Якщо хочуть вказати розмір m?n матриці А, то пишуть Аm?n. Матриці позначають прописнимилітерами латинського алфавіту А, В, С і т.д.
Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців,називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриціназивається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називаєтьсяматрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем.Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij)називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідніелементи: аij = bij. Нульовою називається матриця,у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.
Вквадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ. Квадратна матрицяназивається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходятьсяна головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої коженелемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною іпозначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
/>
Будь-якій квадратній матриці
A = />
можнапоставити у відповідність певне число, яке називається визначником(детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням
/>/>а11, а12,… а1n
det A = /> = а21,а22,… а2n
...................
аm1, аm2,… аmn
або />.
Алгебраїчним доповненням /> елемента/> називається число, рівне />.
Доповнюючим мінором />елемента /> матриці /> називається визначникматриці n-1-го порядку, отриманий з матрицівикреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
/>/>/>Дії над матрицями
Сумою матриць Аm?n=(aij) та Вm?n=(bij) однакової розмірностіназивають таку матрицю Сm?n=(сij) тієї ж розмірності, що сij=aij+bijдля всіх і=1,…,m та j=1,…,n. Дія утворення суми матрицьназивається їх додаванням. Вона є комутативною (/>А,В [A+B=B+A] ) і асоціативною (/>A,B,C[(A+B)+C]= [А+(В+С)] ).
Нулем є матриця О=(0) (всі елементицієї матриці є нулями), причому (/>А [А+О=О+А] ). />Аіснує така матриця /> , що А+/>=/>+А=О. (Якщо А=(aij), то />=(-aij). Матрицю /> називають протилежною доматриці А і позначають –А ).
Добутком матриці Аm?n=(aij) на число kназивають таку матрицю Dm?n= (dij) тієї ж розмірності, що йматриця Аm?n, елементи dijякої дорівнюють dij=kaijдля всіх і=1,…,m та j=1,…,n. Дія утворення добутку матриці начисло називається множенням матриці на це число. Для позначення добутку матриціна число вживають запис Dm?n=kАm?n. Множення матриці на число має таківластивості :
1. (/> k,s, />А />(ks)A=k(sA )/>)
2. (/> A,B, />k />k(A+B)=kA+kB/>)
3. (/>k,s, />А />(k+s)A=kA+sA/>)
На множину всіх m?n– матриць відносно операційдодаванняі множення їх на число можна дивитися як на m?n-вимірний векторний простір.
Нехай Аm?n=(aij), Вn?s=(bij) – дві матриці розмінностейвідповідно m?nта n?s. Добутком матриці Аm?nна матрицюВn?sназивається така матриця Сm?s=(cij), що
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj=/>airbrj.
Бачимо, добуток матриці А наматрицю В визначено тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців матриці Адорівнює кількості рядків матриці В.
В результаті множення матриці А наматрицю В одержуємо матрицю С з таким числом рядків, як матриця А,і з таким числом стовпців, як і матриця В.
Для квадратних матриць однаковогопорядку визначені обидва добутки АВта ВА, які є матрицямитого ж порядку, що й матриці А та В. При цьомуАВ може недорівнювати ВА. Дія утворення добутку матриці А на матрицю В називаєтьсямноженням матриці А на матрицю В. Множення матриць маєтакі властивості:
1. (/>А, В,C, для яких мають зміст добутки АВ таВС, [( АВ)С=А(ВС)] ),
2. (/>А, В,C, для яких мають зміст сума В+Сі добуток АВ (а, отже, AC), [A(B+C)=AB+AC]); аналогічно, (/>A,B,C, для яких мають зміст сума A+B і добуток AC (а, отже, BC), [(A+B)C=AC+BC]),
3. увипадку, коли розглядувані матриці є квадратними матрицями n-го порядку, матриця Еn?n= />, задовольняє умову:
(/>Аn?n[Аn?n·Еn?n=Еn?n·Аn?n= Аn?n])
Обернена матриця
Як відомо, для кожного числа а≠існуєобернене число, тобто таке число а-1, що а∙а-1= а-1∙а = 1.
Оскількив множині квадратних матриць n-го порядку роль одиниці відіграє одиничнаматриця Е, то природно, за аналогією, прийняти таке означення: матриця Аназивається оберненою для квадратної матриці А, якщо А?=А?=Е.Легко зрозуміти,що не для кожної квадратної матриці існує обернена матриця. Питання про існування для даноїматриці А оберненої матриці виявляється складним. Зважаючи на некомутативність множення матриць ми говоритимемо заразпро правуобернену матрицю, тобтопро таку матрицю А-1, що добуток матриці А справа на цю матрицю даєодиничну матрицю
AA-1 = E (1)
Якщо матриця Авироджена, то, якби матриця А-1 існувала, то добуток, що стоїть влівій частині рівності (1), був би виродженою матрицею, тоді як насправдіматриця E, яка стоїть в правійчастині цієї рівності, є невиродженою, оскільки її визначник рівний одиниці. Таким чином, вироджена матриця неможе мати правої оберненої матриці. Такі ж міркуванняпоказують, що вона не має і ліву оберненуматрицю і тому длявиродженої матриці обернена матрицявзагалі не існує.
Отже, з'ясуємо, які умови має задовольняти матриця А, щобдля неї існувала обернена матриця. Нехай
/>
— довільно вибрана матриця n-го порядку.Матриця
/>
в якій елементами i-го рядка (i=1, 2, ..., п) є алгебраїчнідоповнення елементів і-го стовпця матриці А, називається взаємноюматрицею для матриці А.
Теорема 1. ВизначникdetAдорівнює сумідобутків всіх елементів будь-якого його рядка або стовпця на їх алгебраїчнідоповнення.
Теорема 2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця)визначника detAна алгебраїчнедоповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
Беручидо уваги теореми 1, 2 та позначивши через detA визначник матриці A, обчислимо добутки />і />. Дістанемо
/>. (2)
Матриця А=(aіk) називається невиродженою(або неособливою), якщо її визначник відмінний від нуля. Вонаназивається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю. Ізспіввідношень (2) випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємнаїй матриця /> також буденевиродженою, причому det/> дорівнює (n-1)-му степеневі detA.
Переходячи від рівностей (1) до рівності визначників,дістанемо
/>,
звідки, оскільки />, />.
Теорема 3.Для того щоб існувала матриця,обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.
Необхідність. Припустимо, що для матриці Аіснує обернена матриця ?.. ТодіА?=Е. Звідси, за теоремою про множення визначників />, тобто />. Тому />, і, отже,матриця А — невироджена.
Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, яквипливає з рівностей(2), матриця
/>
є оберненою до матриці А.
Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А-1. Доведемо, що длябудь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А-1.Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то
САА-1= (СA)А-1= ЕА-1=А-1,
САА-1= С(AА-1)= CЕ= C,
і отже, С=А-1. Таким чином, для кожноїневиродженої матриці A=(aik) існує, і притомутільки одна, обернена матриця
/> (3)
Співвідношення(3) називають формулою оберненої матриці. Якщоматриця А невироджена, то обернена до неї матриця А-1 такожневироджена. Справді, з рівності АА-1=Е і теореми промноження визначників випливає, що />; тому матрицяА-1також невироджена. Оберненою до матриці А-1, очевидно, єматриця А.
Приклади
1. Для матриці A знайти обернену матрицю.
/>
Рішення. Знаходимо спочаткудетермінант матриці А:
/>
Це означає, що обернена матриця існує і ми її можемо знайтипо формулі />, де Аij (i,j=1,2,3) — алгебраїчнідоповнення до елементів аijпочаткової матриці.
/> />
/> />
/> />
/> />
/>
звідки />.
2. Знайти матрицю, обернену до матриці.
A = />
Знаходимо спочатку визначник матриці A:
/>/> = /> = 1/>(-1)4+1/> = (-1)/>/> =
= (-1)/>1/>(-1)3+1/>= -1 />0. Отже обернена матриця існує.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
A11=(-1)1+1/>= 2 A21=(-1)2+1/>= -1
A31=(-1)3+1/>= -1 A41=(-1)4+1/>= -1
A12=(-1)1+2/>= -1 A22=(-1)2+2/>= 1
A32=(-1)3+2/>= 0 A42=(-1)4+2/>= 0
A13=(-1)1+3/>= -1 A23=(-1)2+3/>= 0
A33=(-1)3+3/>= 1 A43=(-1)4+3/>= 0
A14=(-1)1+4/>= -1 A24=(-1)2+4/>= 0
A34=(-1)3+4/>= 0 A44=(-1)4+4/>= 1
Підставляючи у формулу (3) знайденізначення, одержуємо:
A-1 = />
Перевірка. Одержаний результат можна легкоперевірити.
Оскільки, AA-1 = E, де E –це одинична матриця, то:
A/>A-1 = />/>/> =
/> =
= />
Отже, обернену матрицю знайденовірно.
Висновки
Отже, висвітлившиосновні поняття обернених матриць, можна прийти до висновку, що процесзнаходження обернених матриць за допомогою формули є швидким і простим методоманалізу стану певного об’єкта.
Список використаної літератури
1. Ващук Ф.Г., Поляк С.С. Практикум з вищої математики. — Ужгород, 2005. 6 – 24 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Москва, 1968. 95–99 с.
Додаток
Дану задачу можна реалізувати на мовіпрограмування TurboPascal
Лістінгпрограми
ProgramInversMatrix;
constmax_size=10; {max size matrix }
typematr=array[1..max_size,1..max_size] of real;
label 1;
var
a,invers,tmp_matrix: matr;
size:Integer; {size matrix}
i,j :Integer;
dt: real;
procedurePrintMatr(m:matr;n:integer);
vari,j:integer;
begin
for i:=1 to ndo
begin
for j:=1 to ndo
write(m[i,j]:8:3);
writeln;
end;
end;
Function Pow(x:Integer; y:Integer):Integer;
var
i,z :Integer;
begin
z := 1;
for i:=1 to ydo
z := z * x;
Pow := z;
end;
procedureGetMatr(a:matr; var b:matr; m,i,j:integer);
varki,kj,di,dj:integer;
begin
di:=0;
for ki:=1 tom-1 do
begin
if (ki=i)then di:=1;
dj:=0;
for kj:=1 tom-1 do
begin
if (kj=j)then dj:=1;
b[ki,kj]:=a[ki+di,kj+dj];
end;
end;
end;
FunctionDeterminant(a:matr;n:integer):real;
vari,j,k:longint;
b:matr;
d: real;
begin
d:=0; k:=1;
if (n
begin
writeln('Determinant:Cann''t run. N=',n); halt;
end;
if (n=1)
thend:=a[1,1]
else if (n=2)
thend:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2]
else { n>2}
for i:=1 to ndo
begin
GetMatr(a,b,n,i,1);
{writeln('i=',i,'a[',i,',1]=',a[i,1]);
PrintMatr(b,n-1);}
d:=d+k*a[i,1]*Determinant(b,n-1);
k:=-k;
end;
Determinant:=d;
end;
begin
Write('Entersize matrix [1..10] :');
ReadLn(size);
for i:=1 tosize do
for j:=1 tosize do
begin
Write('a[',i,',',j,']=');
ReadLn(a[i,j]);end;
begin
ifdeterminant(a,size)=0 then
begin write('matryca vyrudzena,obernenoi ne isnue!');
goto 1; end;
end;
WriteLn('================================================');
WriteLn(' Sourcematrix ');
WriteLn;
PrintMatr(a,size);
dt:=Determinant(a,size);
WriteLn('================================================');
writeln('Determinant= ',dt:8:3);
{sozdaemmatrix is dopolneniy}
for i:=1 tosize do
for j:=1 tosize do
begin
GetMatr(a,tmp_matrix,size,j,i);
invers[i,j]:=Pow(-1,i+j)*Determinant(tmp_matrix,size-1)/dt;
end;
WriteLn('================================================');
WriteLn(' Inversematrix ');
WriteLn;
PrintMatr(invers,size);
1:readln;
end.
Контрольніприклади
Приклад 1.
Вхіднідані –
Розмірністьматриці – 3
1 2 3 -2.00 4.00 -1.00
1 1 2→ обернена матриця→ 0.00 -1.00 0.00
1 0 2 1.00 -2.00 1.00
Приклад 2.
Вхіднідані –
Розмірністьматриці – 4
/>оберненаматриця />