Реферат по предмету "Математика"


Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигл

--PAGE_BREAK--1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи


Розглянемо систему диференціальних рівнянь
 (1.1)
Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
, (1.2)
де Fk (x,y) — однорідні поліноми від x і y ступеня k.

Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:
F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.

Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:
, (1.4)
де L (x,y) = px+my+n, p, m, n — постійні.

Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:
(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:
(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)

(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)

2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)

(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)

(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)
Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)
Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
a1, (1.9)

a2, (1.10)

a3.  (1.11)
Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) — (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
 (1.12)
Отже, установлена наступна теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) — (1.11), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.


1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи


Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:
y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
 (1.14)
Відповідно до формули (1.4), де L

(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 — постійні для системи (1.1), маємо:
(2a1-m1) (2= 0 (1.151)

(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)

m1= 4b2 (1.153)

n1=8b1 (1.154)

(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)

2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)

(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)

(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)

b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)

p1 (= 0 (1.173)
Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
 (1.19),  (1.20)

 (1.21),  (1.22)
Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2:
 (1.23)

 (1.24)
Отже, установлена наступна теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) — (1.22), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2.


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)


У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями:


 (1.25)


Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.

Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо
 (1.26)
Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).

Одержимо два співвідношення, що зв'язують параметри a, b, d, a2, b1, b2:
.

Нехай і

 (1.27)
З першого рівняння системи (1.27) одержимо

Підставляючи в друге рівняння системи (1.27), знайдемо
.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
 (1.28)

 (1.29)

 (1.30)

, , , ,  (1.31)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) — (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1 (1.32)

a2 (1.33)

a3 (1.34)

s (1.35)

b (1.36)

g (1.37)

d (1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) — (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) — (1.31).

Нехай
 (1.39)
З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
, .
Підставляючи  в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:
 (1.40)
Оскільки , те розглянемо два випадки: , тоді .

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
, ,  (1.41)

, , , ,  (1.42)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) — (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1 (1.43),a2 (1.44)

a3 (1.45), s (1.46)

(=0 (1.47)

g (1.48),

d (1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) — (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) — (1.42).
б)  (1.50), (1.51)
З (1.50) знайдемо :

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) — (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
,   — будь-яке число,  (1.52)

, , , ,  (1.53)
Рівності (1.9) — (1.11) і (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) — (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
(1=0 (1.54), a2 (1.55)

a (1.56)

s (1.57)

b (1.58)

g (1.59)

d (1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) — (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) — (1.53).

    продолжение
--PAGE_BREAK--2. Якісне дослідження побудованих класів систем2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) — (1.31)


Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , , .

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) — (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:
 (2.1)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
 (2.2)

 (2.3)
Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
 (2.4)
З (2.4) одержуємо, що
, , , .
Ординати крапок спокою мають вигляд:
, , , .
Отже, маємо крапки
, , , .
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги , , , .

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

Звідси
,  (2.5)

,
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
= =0.

,

Або

.
Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть
.
Коріння   — дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка   — сідло.

Досліджуємо крапку
.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Згідно

рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:


,

Або

.
Характеристичними числами для крапки  системи (2.1) будуть
,

тобто

, .
Коріння   — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка   — нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка   — стійкий вузол. Досліджуємо крапку .

Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці
:




Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть , тобто , .  Коріння   — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d  — стійкий вузол, якщо d>0, то крапка   — нестійкий вузол.

Досліджуємо крапку
.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:


,

Або


Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть
,

тобто

, .
Коріння   — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка   — сідло.

Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення
 [7]
переводить систему (2.1) у систему:
 (2.6)
де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку . Складемо характеристичне рівняння в крапці.
Одержимо, що

 
Коріння   — дійсні й одного знака. Отже, крапка   — стійкий вузол.

Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7]  Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:
 (2.7)
де .

Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:



Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1.



Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).

Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.


а (d (0)



б                 (d (0)

Мал.1

    продолжение
--PAGE_BREAK--2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) — (1.42)


Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
  
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) — (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
 (2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
 (2.9)

 (2.10)
Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)

1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю

Розглянемо два випадки:

Одержуємо:





З першого рівняння знайдемо y:

і підставляючи y у друге рівняння одержимо:

Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
.
Отже, одержуємо
,

,
Отже, одержуємо крапки
, , ,
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).

2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .


Звідси



 (2.11)




Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , . Коріння   — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка   — сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці :

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , .

Коріння   — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d  — нестійкий вузол, а якщо d>0, то крапка   — стійкий вузол.

3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
.
Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть
,
Коріння   — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d — стійкий вузол, якщо d>0, то крапка   — нестійкий вузол.

4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:



Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , . Коріння   — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже   — сідло. Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7]  переводить систему (2.8) у систему:
 (2.12)
де .

Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:




Отже .
Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.

Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).




 (2.13), . Маємо:



, .
Коріння   — дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) — сідло.

Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:


, .
Коріння   — дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) — стійкий вузол.

Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:
 (2.14)
де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):
,
Коріння   — дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) — нестійкий вузол.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.



Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).

Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.


а (d0)

Мал.2


    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат AlgernonA Essay Research Paper Medical operations are
Реферат Plutonium Essay Research Paper Plutonium Plutonium is
Реферат Міфи та реаліі навколо ОУН-УПА
Реферат по Основам оперативно-розыскной деятельности
Реферат Aids Essay Research Paper AIDS Related Stigma
Реферат Нравственные принципы СМИ
Реферат «продэкспо-2009»
Реферат Гігієна шкіри Перша допомога при обмороженнях і опіках
Реферат Dantes Cacus Essay Research Paper Character review
Реферат Существует ли тринадцатая планета солнечной системы?
Реферат А. Э. Рыбников Генеральный директор зао фб «ммвб», Старший Вице-президент ммвб отметил, что сейчас ощущается повышенный спрос со стороны клиентов на некоторые продукты, которые ранее представлялись менее значимыми с
Реферат Шитцу: стандарт породы
Реферат Ознакомление школьников с некоторыми приемами доврачебной помощи
Реферат Образ Дон-Жуана в творчестве Тирсо де Молины и Жана-Батиста Поклена де Мольера
Реферат Социальные и организационные проблемы военных реформ 20 30 х годов ХХ 2