РаботаСкворцова Александра Петровича,
учителя,ветерана педагогического труда
Доказательствоутверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Содержание
Общее утверждение
Утверждение 1
Доказательство Части первой«Утверждения 1»
Доказательство Части второй«Утверждения 1»
Пример
Примечание
«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)
Утверждение 2
Доказательство Части первой«Утверждения 2»
Доказательство Части второй«Утверждения 2»
Примечание
Окончательный «Вывод» о Великойтеореме Ферма
Утверждение 3
Доказательство Части первой«Утверждения 3»
Доказательство Части второй«Утверждения 3»
Примечание
Общий вывод
Литература
Доказательствонижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В даннойработе рассматриваются уравнения />, частнымислучаями которых являются уравнения Ферма />,где а – чётное число, /> и/> - целые числа, />, />,/> - =натуральные числа.
Метод, используемый вэтой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения /> и его общего решения,чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.
Этот метод позволяет:
1. Судить овозможности существования целых решений уравнения Ферма для />, т.е. о возможностисуществования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий»не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).
2. Судить оботсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения />, где/> - натуральное число, а– чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательствоэтого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).
3. Судить овозможности существования частного решения уравнения /> при/>(илиb = ±1, илиc = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». Итакие решения следующие:
а) b = ±1; c = ±3; a = 2.
б) b = />3; c = ±1; a = -2 («Пример»на стр. 33).
4. Судить онеразрешимости в целых числах уравнения />,гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теориичисел (доказательство этого в данной работе приведено).
5. Судить онеразрешимости в целых числах и уравнения Ферма />.Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе этоутверждение является следствием более общего утверждения).
6. Судить онеразрешимости в целых числах уравнения Ферма />,где/> - натуральноечисло. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе этоутверждение является следствием более общего утверждения).
**********
Так как данное доказательство«Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, тодумаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.
И последнее. Я думаю, чтоспециалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частныеслучаи уравнения />),подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такиепримеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительнымподтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного«Общего Утверждения».
≥
ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаемкоторого является Великая теорема Ферма
1. Уравнение /> (/>,/> - натуральные числа) неимеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение»из данного утверждения: среди этих чисел />,/> и /> может быть либо />, либо />.
***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕУТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая
для показателя q:
1) /> при/> - натуральном;
2) /> при/> - натуральном, а для этогодостаточно рассмотреть случай />.
Утверждение 1, частнымслучаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя/>
Часть 1
Уравнение /> (/>,/> - натуральные числа, где /> при /> - натуральном) не имеетрешений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Часть 2
Возможны случаи: либо />, либо />.
**********
Последнее утверждение(либо />, либо />) в дальнейшем будемназывать «исключением» из общего правила.
*********
Часть первая(Утверждения 1)
Уравнение /> (/>,/> - натуральные числа, где /> при /> - натуральном) не имеетрешений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Доказательство
Понятно, чтодоказательство достаточно рассмотреть для /> -простого.
Докажем данное «Утверждение1» методом от противного. Предположим, что уравнение /> разрешимо в отличных отнуля попарно взаимно простых целых числах />,/> и />. И если в концедоказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа />, />и /> не являются попарновзаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение1» справедливо.
Из уравнения (1) следует:
/> (2),
где /> - четное целое число, т.к./>и /> — нечетные;
/>≠ 0, т.к. /> и /> - взаимно простые нечетныецелые числа, не равные нулю;
/> — нечетное целое число при />и /> — нечетных,/> - простом.
********
Примечание
То, что /> - нечетное числопри />и /> — нечетных, хорошо известныйфакт в теории чисел.
Для подтверждения данногофакта достаточно использовать разложение бинома
Ньютона />, />, />, … и тогда получим для />:
/> - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетномучислу.
Для />:
/> - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетномучислу.
Для степени /> - простой можнодоказать, что при />и /> нечетных
(3) /> - сумма нечетных />слагаемых, равная нечетномучислу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. –1988. — №10. – С. 23).
*******
Пусть /> (4),
где /> — нечетное число(на основании (3)).
Тогда уравнение (2)примет вид:
/> (5),
где /> - четное число, котороеможно представить в виде
/> (6),
где /> - целое число (при />= 0 а = 0, чтопротиворечит нашему допущению),
/> (4) – нечетное число.
Тогда из соотношения (5)с учетом (6) получаем:
/>, т.е. /> (7),где /> - целое число (/>), /> - натуральное число.
Сумму же нечетных чисел /> и /> обозначим через />, т.е.
/> (8),
где /> - целое число (/>, т.к. /> и /> - взаимно простые нечетныецелые числа, не равные нулю).
Из (7) и (8) определим />и />:
/> => /> =>/>
Откуда (11) /> — нечетное число при/> — нечетном и /> - четном, т.к. />, причем (12) /> (явно) при />.
********
Вывод:
На основании (8) и (11)имеем: (13) /> - нечетноечисло;
из соотношений (7) и (12)имеем: (14) /> (явно)при />.
Этодополнительнаяинформация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах />,которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразитьсумму квадратов чисел cи />. Учитывая соотношения (9)и (10), получим:
/>/>/>
Таким образом, получилиследующее уравнение:
/> (15),
где /> — целые числа,которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выраженычерез другие целые числа/> следующимобразом:
(16) /> - нечетное числопри /> - нечетном;
(17) /> - нечетное числопри /> - нечетном;
(18) /> - нечетное числопри /> — нечетном;
(19) /> - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях(Случаях) нас не будут интересовать
t=0 иr=0 (при t=0 /> и />-четные из (16) и (17), при r=0 />= 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), чтопротиворечит нашему допущению).
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15)следующий:
(20) />,
целыми решениями которого (это известный факт втеории чисел) являются:
(21) />;
(22) />;
(23) />;
(24) />, где /> - целые числа.
То, что (21), …, (24) являютсярешениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение(20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правыечасти уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К,
и рассмотрим случай,когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняется Условие 1.
Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
/>
Случай «+».
(16+) />= С — нечетноечисло при /> - нечетном;
(17+) />= В — нечетноечисло при /> - нечетном;
(18+) />=N — нечетноечисло при /> — нечетном;
(19+) /> = К — четноечисло.
Казалось бы, все впорядке: четность /> в (16+),…, (19+) совпадает при />-нечетномс нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, унас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (очетности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие изпредположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим,существуют попарно взаимно простые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись ихвыражениями (16+) и (17+):
/>,
т.е. /> пропорционально 4, откудаследует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), />!
Т.е., вопреки «Выводу», вСлучае «+» /> является ненечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в (16+) и (17+))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения1» доказана. На самом деле у уравнения (15) /> естьеще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15)являются следующие выражения />n, />:
Случаи «+» и «-».
(16±) />;
(17±) />;
(18±) />;
(19±) />.
Мы рассмотрели случай,когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) />;
(17-) />;
(18-) />;
(19-) />.
Случай, когда перед темиже скобками стоят только «минусы»(Случай «-»), аналогичен вышерассмотренномуСлучаю «+».
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откудаследует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», ив этом Случае «-» /> являетсяне нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в (16-)и (17-))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод.Следовательно, уравнение (1) вданном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимнопростых /> отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметричнодля с и b (для уравнения(15) они равнозначны), тосиbмогут обмениваться не только знаками«+» и «-», но исвоими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />».Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и«-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с =B
b =С
n = N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(16´±) c />=±В
(17´±) b />=±С
(18±) />=±N
(19±) />=±К
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откудаследует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», ив этих«Новых» случаях «+» и «-» /> являетсяне нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в ((16´±)и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях(2) и (1) числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и«-») с нашим предположением осуществовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимнопростых /> отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новыесвойства />», когда передС, В,N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом во2-ой части данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15) симметрично и для nи для /> (для уравнения 15 они равнозначны),которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожимсвойством nи />». А это означает, что нам придетсярассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и«-», в которых nи/> меняютсясвоимивыражениями (NиК )).
Условие 3
c = C
b = B
n = К
/>N
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с =± С = ± (/>)
(17±) b= ± В =± (/>)
(18´±) n= ± К = ± (/>)
(19´±) /> =± N= ± (/>)
Согласно одному из Выводов(формула (14)) /> (явно)при />. Но это возможно, глядя на(19´±) /> =±N=±(/>) только при t- четном, при которых в (16±) и (17±)cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и«-») с нашим предположением осуществовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14«похожих» случаях, гдеопять же /> =± N= ±( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (ипри этом не затрагивая «новые свойства />»(пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придемк противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
********
Пояснение(почему не надо в Условии 3 затрагивать «новыесвойства />»).
Запишем Условия (1, …,3).
Условие 1 Условие 2 Условие3 Условие 2+3
с = С с =B c = C c =B
b = B b =С b = B=> b = C
n = N n = N n = К n = К
/> /> /> />
Если теперь поменятьобозначения между собойвУсловии 2+3 снаb,аbнаc
в верхних двух строчках иn на />,а/> на nвнижних двух строчках, товернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения1»нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c =Bb = B с = С
b = C=> с = С => b = B
n = К /> n = N
/> n = N/>
Вывод.
1. Таким образом, ввышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) /> (/>,/> - натуральные числа, где /> при /> - натуральном) не имеетрешений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
2. 1-я часть «Утверждения1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения1)
Возможны случаи: либо />, либо />.
(Об «Исключении» изобщего правила)
Доказательство
Условие 1(продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й частиУтверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14случаев, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоятразные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоятразные знаки и числоих равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, nи/>) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, Nи К) в каждом (по n= 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы ужерассмотрели — это 2 случая: Случаи «-» и«+» соответственно):
/>/>/>/>
********
Случай 1.
/> (16)
/> (17′)
/> (18)
/> (19)
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность />:
/>/>/> => />.
Выразим из (25) и (26) />:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19) с учетом (29)выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадаютс (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)и (18), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующихдействиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),получим значение для b:
/>, т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (35), получим /> => />.
Теперь, с учетом(38), можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (15), решениямикоторого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеетследующие решения:
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простые нечетные целыечисла.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные познаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38)и (33), т.е.
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
*******
Случай 3
/> (16)
/> (17′)
/> (18)
/> (19′).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19′),можно получить разность />:
/>/>-/> =>/> (26′).
Выразим из (25) и (26′)/>:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/> (30′), />(31′), а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19´) с учетом(29) выразим />:
/>, т.е. /> (33´).
Т.о., />, />,
где />,
т.е. /> (34´), /> (35´), выражениякоторых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)и (18), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). Впоследующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),получим значение для b:
/>, т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (35´),получим /> => /> (/>).
Теперь, с учетом (/>), можно получитьокончательное выражение для с (из (34´)):
/>, т.е. /> (39´´).
Таким образом, уравнение /> (15), решениямикоторого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеетследующие решения:
/>
/> (39´´),/> (38´´),где /> — взаимно простые нечетные
/>, /> (33´), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные познаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´),(37), (38´´) и (33´), т.е.
/> (39´´´),/> (38´´´),/> (37´), /> (33),
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
*******
Подведем некоторый итог.Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правыечасти уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К
Тогда эти первые 4случая следующие:
1. (16) /> 2.(16´) /> (39´)
(17´) /> (37) (17) /> (37´)
(18) /> (18´)/> (38´)
(19)/> (33)(19´) /> (33´)
3. (16) /> (39´´)4. (16´) /> (39´´´)
(17´) /> (37) (17) /> (37´)
(18) /> (38´´)(18´) /> (38´´´)
(19´) /> (33´) (19)/> (33)
*********
Рассмотрим еще 10случаев.
5. с = С 6. с = — С7. c = C 8. c = — C
b = — B b = B b = — Bb = B
n= — N n = N n = — Nn = N
/> /> /> />
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С
b = B b = -B b = B b = -B
n =- N n = N n = N n =- N
/> /> /> />
13. с = С 14. с = -С
b = B b =- B
n =- N n = N
/> />
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
/> (16)
/> (17´)
/> (18´)
/> (19).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность />:
/>/>/> => />.
Выразим из (25) и (26) />:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />,а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19) с учетом (29) выразим/>:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (33), полностьюсовпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)и (18´), найдем разность />:
/>
т.к. />, т.е. /> (36´).
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующихдействиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),найдем разность (b-n)-n:
/>где />.
Т.к. b + c =2n, то b-2n = b — (b + c) = — c = -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34), получим /> => /> (38´).
Теперь, с учетом(38´), можно получить окончательное выражение для b(из (35)):
/>, т.е./> (41).
Таким образом, уравнение /> (15), решениямикоторого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеетследующие решения:
/> (41), />,где /> — взаимно простые нечетныецелые /> (40),/> (38´), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку срешениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечномитоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´)и (33), т.е.
/> (40´),/> (38),
/> (41´), /> (33´), где /> — взаимно простые целые нечетныечисла.
*******
Случай7
/> (16)
/> (17´)
/> (18´)
/> (19´)
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19´),можно получить разность />:
/>/>/> => /> (26´).
Выразим из (25) и (26´)/>:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/> (30´), /> (31´), а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19´), с учетом(29), выразим />:
/>, т.е. /> (33´).
Т.о., />, />, т.е.
/> (34´),
/> (35´),
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадаютс (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)и (18´), найдем разность />:
/>
т.к. />, т.е. /> (36´).
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующихдействиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),найдем разность (b-n)-n:
/>где />.
Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34´),получим /> => /> (38´´´).
Теперь, с учетом (38´´´),можно получить окончательное выражение для b(из (35´)):
/>, т.е. /> (41´´).
Таким образом, уравнение /> (15), решениямикоторого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечномсчете, имеет следующие решения:
/> (40),/> (38´´´),
/> (41´´), /> (33´), где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку срешениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´),(38´´´) и (33´), т.е.
/> (40´),/> (38´´),
/> />,/> (33), где /> — взаимно простые целые нечетныечисла.
*******
Вывод
Итак, после анализаполученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) />, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеетрешение в следующих целых числах:
а) />; />; />; />;
б) />; />; />; />.
А это в свою очередьозначает, что и уравнение /> привышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решениялибо при />, либо при />.
Случай 9
/> (16)
/> (17)
/> (18´)
/> (19)
Из (16) и (17) имеем:
/>/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность /> другимспособом:
/>/> /> =>/>.
Следовательно,
/>=/>=>2t= 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых />решений.
*********
Случай 10
/> (16´)
/> (17´)
/> (18)
/> (19´),
т.е. по сравнению спредыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, апотому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае9.
Действительно, из(16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и(19´), можно получить разность /> другимспособом:
/>/> - /> =>/>.
Следовательно, -/>=-/>=> 2t= 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16´) и(17´) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых />решений.
********
Случай 11
/> (16)
/> (17)
/> (18)
/> (19´)
Из (16) и (17) имеем:
/>
Учитывая (14) и(19´), можно получить разность /> другимспособом:
/>/> - /> =>/>.
Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
Случай 12
/> (16´)
/> (17´)
/> (18´)
/> (19),
т.е. по сравнению спредыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, апотому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае11.
Действительно, из(16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность /> другимспособом:
/>/> /> =>/>.
Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
*******
Случай 13
/> (16)
/> (17)
/> (18´)
/> (19´)
Из (16) и (17) имеем:
/>/>
Учитывая (14) и(19´), можно получить разность /> другимспособом:
/>/> - /> =>/>.
Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
********
Случай 14
/> (16´)
/> (17´)
/> (18)
/> (19),
т.е. по сравнению спредыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, апотому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае13.
Действительно, из(16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность /> другимспособом:
/>/> /> =>/>.
Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
***********
Вывод.
1. Таким образом,случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение)нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2(продолжение).
Ранее мы отмечали, чтоуравнение (15) симметрично для с и b, поэтомуси bмогут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство нами былоназвано «новым свойством />».
В 1-й части Утверждения 1мы рассмотрелидва«Новых» случая «+» и «-».
Осталось исследовать еще14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В,N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 1:с= С, b= -В, n= N, />K)
с= — В (16-B),
b= С (17+C),
n= N(18),
/>K(19) — это общие решения уравнения (15), окончательнымвидом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решенияуравнения (15) в случае 8, т.е.
/> (40´),/> (38´´),
/> />,/> (33),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Доказательство
Сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19),можно получить разность />:
/>/>/> => />.
Выразим из (25) и (26) />:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />,а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19) с учетом (29) выразим/>:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>, выражения которых, с учетом (33), полностьюсовпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с/>:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующихдействиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),получим значение для с:
/>,
т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (34), получим /> => />.
Теперь, с учетом (38´´),можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (15), решениямикоторого являются (16-B),(17+C), (18) и (19), в конечном счетеимеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
/> />
/> />,где /> — взаимно простые нечетные целыечисла, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решенияв случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующегосоображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с= — В (16-B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19).
У этих случаев одинаковыезнаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В),в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаяхрешения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общимсвойством для них являются произведение и разность с иb.
«Общие свойства длясиb»:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К/>
Воспользуемся свойствамикорней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратноеуравнение
/>— 2К/>+ С В =0 =>X1,2 = К/>/>,
где, например, Х1= -b, а Х2= с, то есть
Х1 = -b= К +/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В => b= В,
где на основании /> /> и Х1 =- b= -/>
Х2= с= К-/>= />-/>= />-/>= /> — />= -С => с= — С,
где на основании (40´)/>и Х2 =/> Такимобразом, мы получили случай 8:
Случай 8
с= — С (16´),
b= В (17),
n= N(18),
/>K(19),
где
/> />
/> />,а /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
Теперь обозначим Х1=с, а Х2 = -b. Тогда получим:
Х1 =с=К+/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В => с = -В,
где на основании (40´)/>и Х1 = с= -1.
Х2 = -b= К-/>= />-/>= />-/>= /> — />= -С => — b= -С => b= С,
где на основании /> /> и Х2= -/>
Таким образом, мыполучили случай 15:
Случай 15
с= -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N(18),
/>K(19),
где
/> />
/> />,а /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
Таким образом, одно и тоже квадратное уравнение /> — 2К/>+ С В =0, дает одинаковые решения X1,2 = К/>/> (X1(2) =-/> Х2(1)= -1)идля Случая 8 идля Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
/> />
/> />,а /> — взаимно простые нечетные целыечисла.
В этом мы непосредственнои убедились.
Следовательно, «Общиесвойства для с иb» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с иb и отличающиеся друг от друга унихвыражениями (С и В), а, значит, и одинаковый видих окончательных решений. Этой похожестью с иb, их отличием друг от друга ивышерассмотренными «Общими свойствами для с иb» мы воспользуемся при рассмотрениипоследующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковостиокончательных решений).
Если в каких-либо двухслучаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с иb» (сb= const´/>, с – b= const´´, с – b= const´´´ ), то в этих случаях окончательныерешения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 2:с= — С, b= В, n= -N, />-K)
Случай 16. Случай 7.
с= В с= С
b= -Сb= -В
n= -Nn= -N
/>-K/>-K
Окончательные решения в случае7:
/> (40),/> (38´´´),
/> (41´), /> (33´),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/> (40),/> (38´´´),
/> (41´), /> (33´),
где /> — взаимно простые нечетные целыечисла, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством />» от случая 3:с= С, b= -В, n= N, />-K)
Случай 17. Случай 6.
с= — В (16-B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае6:
/> (40´),/> (38),
/> (41´), /> (33´),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/> (40´),/> (38),
/> (41´), /> (33´),
где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 4:с= — С, b= В, n=- N, />K)
Случай 18. Случай 5.
с= В (16+B),с= С (16),
b=- С (17-C),b= -В (17´),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>K(19), />K(19).
Окончательные решения в случае5:
/> (40),/> (38´),
/> (41), />,
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/> (41), />,
где /> — взаимно простыенечетные целые /> (40),/> (38´), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 5:с= С, b=- В, n=- N, />K)
Случай 19. Случай 4.
с= — В (16-B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= В (17),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>K(19), />K(19)
Окончательные решения в случае4:
/> (39´´´),/> (38´´´),
/> (37´), /> (33),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/> (39´´´),/> (38´´´),
/> (37´), /> (33),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 6:с= — С, b= В, n= N, />-K)
Случай 20. Случай 3.
с= В (16+B),с= С (16),
b= -С (17-C),b= -В (17´),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае3:
/> (39´´),/> (38´´),
/>, /> (33´),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/> (39´´),/> (38´´),где /> — взаимно простые нечетные
/>, /> (33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 7:с= С, b= -В, n= -N, />-K)
Случай 21. Случай 2.
с= -В (16-B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= В (17),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае2:
/>, />
/>, />
где /> — взаимно простыенечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным«Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= — С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
*********
«Новый» случай 22
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 8:с= -С, b= В, n= N, />K)
Случай 22. Случай 1.
с= В (16+B),с= С (16),
b= -С (17-C),b=- В (17´),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19)
Окончательные решения в случае1:
/>, />,
/>, />
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
**********
Вывод
Таким образом, в«Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 9:с= С, b= В, n= -N, />K)
Случай 23. Случай 12.
с= В (16+B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= — В (17´),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>K(19), />K(19)
Окончательный вывод в случае12: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным«Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 10:с= -С, b= -В, n= N, />-K)
Случай 24. Случай 11.
с= -В (16-B),с= С (16),
b=-С (17-C),b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае11: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством />» от случая 11:с= С, b= В, n= N, />-K)
Случай 25. Случай 10.
с= В (16+B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= — В (17´),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае10: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 12:с= — С, b=- В, n= -N,/>K)
Случай 26. Случай 9.
с= — В (16-B),с= С (16),
b= — С (17-C),b= В (17),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>K(19), />K(19).
Окончательный вывод в случае9:cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 13:с= С, b= В, n= -N,/>-K)
Случай 27. Случай «-».
с= В (16+B),с= — С (16´),
b= С (17+C),b= — В (17´),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае«-»: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемсявышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb» ( сb= СВ = const´, с – b= — С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 14:с= -С, b= -В, n= N,/>K)
Случай 28. Случай «+».
с= — В (16-B),с= С (16),
b= — С (17-C),b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19).
Окончательный вывод в случае«+»: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным«Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общиесвойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковыйвид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарновзаимно простых целых /> решений.
********
Вывод
1. Таким образом, «Новые»случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условия 1 и 2( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.
*********
Итак, уравнение (15) />, если cи b– взаимно простые целые нечетные числа,имеет решение (после анализа всех полученных решений)только в следующих целых числах:
а) />; />; />; />;
б) />; />; />; />.
А это в свою очередьозначает, что и рассматриваемоеуравнение /> (/>,/> - натуральные числа, где /> при /> - натуральном) может иметьцелые решения либо при />, либо при />.
************
Вывод:2-я часть «Утверждения 1» доказана.
В результате исследованияуравнения (1) мы имеем:
Вывод1. Уравнение (1) /> (/>,/> - натуральные числа, /> при /> - натуральном) не имеетрешений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Возможны случаи: либо />, либо />.
*******
В качестве подтвержденияможно рассмотреть такой пример.
Пример
Нетрудно доказать вышерассмотреннымметодом, что уравнение /> (42),где /> — натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличныхот нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c.(Хотя ход доказательства несколькоотличается, т.к. />=/>= с + b— число четное при q= 2 и bи cнечетных целых числах).
При /> «Исключением»являются />, или />.
(При /> «Исключением»являются, например, /> или />, при которых а =2 ивыполняется тождество/>(этотслучай рассматривать не будем).
Действительно, решениямиуравнения, например, a3 = c2 — b2 (43)являются(это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:
a = α2 – δ2 — четноечисло при α и δ – нечетных или четных.
c = α3 + 3αδ2 — четное число при αи δ – нечетных или четных.
b = 3α2δ + δ3 — четноечисло при α и δ – нечетных или четных.
(Такой же результат получается(a,c, b – четные числа) для любого уравнения
/> (42), где/> -натуральное.)
Однако вернемся куравнению (43) a3 = c2 — b2.
«Исключением» являются следующие его решения:
1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (приr = 1 и />=±3);
2. b = />3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и />=/>3),
при которых получаемсоответственно тождества:
1. 23 ≡(±3)2 – (±1)2
2. (-2)3 ≡(±1)2 – (±3)2
**********
Примечание.
1. Великаятеорема Ферма для /> доказывается аналогичнымспособом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результатечего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мыпокажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».
2. Для степени p = 2 в уравнении /> такого «противоречия»при оценке четности чисел a, b, c не возникает.
3. Данное «Утверждение1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма дляпоказателя/> простом, т.к. она являетсячастным случаем этого «Утверждения 1» при /> простом. Имея делос уравнением (44) />, где/> простое, a, b, c — целыеотличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечногоспуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.
«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теориичисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющиесоотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам |a | > p, | b | > p, | c| > p (Постников М.М. Введение в теориюалгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. — С. 13).
Вывод: Великая теорема Ферма длястепени/> простом доказана.
********
Утверждение 2,
частным случаемкоторого является Великая теорема Ферма, для показателя q= 4
Часть 1
Уравнение /> (/> - четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуляпопарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Часть 2
Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая(Утверждения 2)
Уравнение /> (/> - четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2)не имеет решений в отличных отнуля попарно взаимно простых целых числах />,/> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Доказательство
Итак, имеем уравнение /> (1), где /> — четное, числаa,b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимнопростые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), средикоторых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:/> => /> (2).
Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные отнуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β–нечетное число при cи b— нечетных.
*********
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число,хорошоизвестный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетныечисла b иc в виде:
b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1,
где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда
b2+ c2 = (2n1+ 1)2 + (2n2+ 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратныхскобках нечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2)следует (с учетом (3) и (4):
/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.
/> (5),
где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа (при />– целое числоk— четное число, т.к. /> пропорционально4 (явно) при b и с –нечетных числа => 2l-2k– четное число при/>).
Из соотношений (4) и (5)определяем b2 и c2:
/> => /> => />
Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из(4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном.
*********
Вывод:
1. Из соотношения (4)имеем:
(9) />-нечетное число.
2. Из соотношения (5)имеем:
(10) />пропорционально 2 (явно),т.е. /> — четное число.
Этодополнительнаяинформация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах />,которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразитьсумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6)и (7), получим:
/>,
/>/>т.е. /> (11),
где /> - целые числа,которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства«Утверждения 1» (для />), могут бытьвыражены через другие целые числа /> следующимобразом:
(12) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(13) /> -нечетное число при /> - нечетном;
(14) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(15) /> — четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях(Случаях) нас не будут интересовать t=0 иr=0 (при t=0 /> и />-четные из (12) и (13), при r=0 />= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), чтопротиворечит нашему допущению). .
*******
Для простоты опять обозначимправые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К,
и рассмотрим случай,когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.
********
Условие1 (начало)
с2 = С
b2 = B
/> = N
/>
Случай «+».
(12+) /> - нечетное числопри /> — нечетном;
(13+) /> - нечетное числопри /> - нечетном;
(14+) /> - нечетное числопри /> — нечетном;
(15+) /> — четное число.
Казалось бы, всенормально: четность чисел /> в(12+),…, (15+) совпадают при /> — нечетномс нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все такпросто.
Помимо всего прочего, унас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности,заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения отом, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим,существуют попарно взаимно простые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись ихвыражениями (12+) и (13+):
/>,
т.е. /> => (/>) пропорционально 4,откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
/>!
Т.е., вопреки«Выводу», /> является ненечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при /> — четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в (12+) и (13+)) являютсячетными, т.е. в уравнениях (2) /> и(1) /> числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) /> в данном Условии 1 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличныхот нуля числах, где /> — четноенатуральное число.
********
Мы рассмотрели случай,когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда передтеми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения2.
********
Т.к. уравнение (11) симметричнодля с2 и b2, (дляуравнения (11) они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новымсвойством />». Поэтому аналогичнывышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опятьперед теми же В, С, N и К стоятодинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В
b2 = С
/> = N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2 />=±В
(13´±) b2/>=±С
(14±) />=±N
(15±) />=±К.
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откудаследует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», ив этих«Новых» случаях «+» и «-» /> являетсяне нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в ((12´±)и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях(2) и (1) числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существованииу уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимнопростых /> отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В,N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
Но об этом — во 2-ойчасти данного Утверждения 2.
********
Уравнение (11/>) симметрично и для /> и для /> (для уравнения (11) ониравнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожимсвойством /> и />». А это означает, чтонам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 ислучаи «+» и «-», в которых /> и /> меняютсясвоимивыражениями (NиК)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
/> = К
/>
« Похожие» случаи «+»и «-».
(12±) c2 = ± (/>) = ± С
(13±) b2 = ± (/>)= ± В
(14´±) />= /> = ±К
(15´±) /> />= ±N
Согласно одному из Выводов(формула (10) />пропорционально2 (явно), при />. Но этовозможно, глядя на четное (15´±) /> =±N= ±(/>) только при t- четном, при которых в (12±) и (13±)cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением осуществовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14«похожих» случаях, гдеопять же /> =± N= ±( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (ипри этом не затрагивая «новые свойства />»(пояснение (стр.10), подобное для />при доказательствеУтверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придемк противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, ввышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) /> (1), где /> — четное натуральноечисло, не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения 2»(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения 2)
Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должнырассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12),…, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» вчасти 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет кизвестным значениям bи c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c— четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения1»).
Для подтверждениясказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
/> (12)
/> (13′)
/> (14)
/> (15) ,
которые также являютсярешениями уравнения (11)
/>.
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15),можно получить разность />:
/>/>/> => />.
Выразим из (17) и (16) />:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />,а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> =>/>.
Из (15) с учетом (20)выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадаютс (6) и (7), т.е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′)и (14), найдем сумму />:
/> т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующихдействиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23),получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>(20′).
Итак, /> (28), что дляцелых чисел неприемлемо.
Этот случай нас неинтересует.
********
Тем не менеепродолжим, т.к. результат,который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
/> => />.
Теперь, с учетом (29),можно получить окончательное выражение для с 2 (из(25)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (11), решениями которогоявляются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующиерешения:
/>, />,
/> (28), />,
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку срешениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге,решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
/>(30´), => c=/> (30´),/> (29´)
/> (28´), => b= />1(28´), /> (24´), где
/> — взаимно простые нечетные целыечисла.
Случай 3
/> (12)
/> (13′)
/> (14)
/> (15′) ,
которые также являютсярешениями уравнения
/> (11).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15),можно получить разность />:
/>/>-/> =>/>.
Выразим из (31) и (16) />:
/> => /> (32)
/> => />(33).
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/> (34), />(35),а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и/>.
Из (15´) с учетом(20) выразим />:
/>, т.е. /> (24´).
Т.о., />, />,
где/>, т.е.
/>,
/>,
выражения которых, с учетом (24´),полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′)и (14), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). Впоследующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>.
Итак, /> (28), что дляцелых чисел неприемлемо.
Этот случай нас неинтересует.
*******
Тем не менеепродолжим, т.к. результат,который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´),получим /> => />(29´´).
Теперь, с учетом (29´´),можно получить окончательное выражение для с 2 (из(25´)):
/>, т.е. /> (30´´).
Таким образом, уравнение /> (11), решениямикоторого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеетследующие решения:
/>(30´´),/>,
/> (28), /> (24´),
где /> - взаимно простые нечетныецелые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям(30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
/> (30´´´), =>/> (30´´´),/> (29´´´),/> (28´), =>b= /> (28´), /> (24),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
*******
Подведем некоторыйитог. Нами рассмотрено4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующиевыражения буквами С, В, N, К:
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К.
Тогда эти первые 4случая следующие:
1. (12) /> 2.(12´) /> (30´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14) /> (29) (14´) /> (29´)
(15)/> (24) (15´)/> (24´)
3. (12) /> (30´´)4. (12´) /> (30´´´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14)/> (29´´) (14´)/> (29´´´)
(15´)/> (24´) (15) /> (24).
Рассмотрим еще 4случая.
5. с2 = С 6. с2 =- С 7. c2 = C 8. c2= -C
b2 = — B b2= B b2 = — B b2 = B
/> = — N /> = N /> = — N /> = N
/> /> /> />
*******
Итак, рассмотрим случай5.
Случай 5.
/> (12),
/> (13´),
/> (14´),
/> (15), которые также являютсярешениями уравнения
/> (11)
Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/> (41), />,где /> — взаимно простыенечетные целые /> (40),/> (38´), числа.
Следовательно, в данномрассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
/> (32) => b/> (32), />(24)
/> (31) => с = /> (31),/> (29´),
где /> взаимно простые целыенечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31),(29´) и (24), т.е.
/> (31´),/> (29),
/> (32´), /> (24´), где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
Но этот случай насне интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
/> (12),
/> (13´),
/> (14´),
/> (15´), которые также являютсярешениями уравнения
/> (11).
Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/> (40),/> (38´´´),
/> (41´´), /> (33´),
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
Следовательно, в данномрассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
/> (31) => с = /> (31),/> (29´´´),
/> (32´) => b/> (32´´), /> (24´),
где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы быполучили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´),(31), (29´´´) и (24´), т.е.
/> (31´),/> (29´´),
/> />,/> (24), где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
Но этот случай насне интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализаполученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетныечисла, имеет решения в следующих целых числах:
а) />; b/>; />;/>;
б) />; />; />; />.
********
Таким образом, само исследованиерешений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения2 и его результат, полностью совпадают с исследованиемрешений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательствеУтверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот,например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия1(Утверждение 1, Часть 2):
1. (16) /> 2.(16´) /> (39´)
(17´) /> (37) (17) /> (37´)
(18) /> (18´)/> (38´)
(19)/> (33)(19´) /> (33´)
3. (16) /> (39´´)4. (16´) /> (39´´´)
(17´) /> (37) (17) /> (37´)
(18) /> (38´´)(18´) /> (38´´´)
(19´) /> (33´) (19)/> (33).
А вот результатыисследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть2):
1. (12) /> 2.(12´) /> (30´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14) /> (29)(14´) /> (29´)
(15)/> (24)(15´)/> (24´)
3. (12) /> (30´´)4. (12´) /> (30´´´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14)/> (29´´) (14´)/> (29´´´)
(15´)/> (24´) (15) /> (24).
Наблюдается полноесовпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) cи bв верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения(11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самоесовпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять,что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данномдоказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 придоказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам недадут, кроме как:
либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решенийуравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могутявляться решениями уравнения (1) /> (1),где /> — четное натуральноечисло, т.е. либо />, либо />.
*******
Но в теории чисел хорошоизвестно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .-Наука. – 1982. — С. 13), что для четных степеней уравнения /> (где/>, q=2 q/>) — показатели четныепри /> ≠ 0 и q/> ≠ 0 — натуральных,в уравнении/> целочисленныеего решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
|/>| > 2, | />| > 2, | c/>| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4b/> и c/> => в уравнении />(1) при/> - четном числе b/> и c/>,
т.е. случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1)ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод:2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследованияуравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) />, где />≥2 — четноенеимеет решений в попарно простых целых числах a, b, иcтаких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.
*******
Примечание
1. Понятно, что приведенноедоказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, гдеm= 2, распространяется и на показательстепени q=2mприm>2 – натуральном.
2. Если уравнение al+ b4 = c4, где/>≥2- четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, иc, тои уравнениеa4+ b4 = c4не только неразрешимо в этих жечислах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (неявляющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
Вывод :Великая теорема Ферма дляпоказателя l= q= 4доказана.
3. Результатдоказательства, а именно четность чисел a, b, cв уравнении al+ b4 = c4(/>≥2 — четное), а, следовательно, в уравненииa4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравненииприменить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не толькоупоминалось самим Ферма, но и им использовалось.
На основанииВыводово Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»:Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение /> (/> ≥ 3 – нечетноенатуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуляпопарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b= ± 1, либо c= ± 1.
*********
Часть первая(Утверждения 3)
Уравнение /> (/> ≥ 3 – нечетноенатуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуляпопарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Доказательство
Первая частьдоказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой»доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение /> (1), где /> ≥ 3–нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение –вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
/> => /> (2).
Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные отнуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β–нечетное число при си b– нечетных.
******
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число,хорошоизвестный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание»,стр. 35).
Представим нечетныечисла b иc в виде:
b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1, где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда
b2+ c2 = (2n1+ 1)2 + (2n2+ 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратныхскобках нечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2)следует (с учетом (3) и (4)):
/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.
/> (5),
где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5)определяем b2 и c2:
/> => /> => />
Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из(4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном, т.к./> ≥3 – нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) />-нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) />пропорционально 2 (явно),т.е. /> — четное число.
Этодополнительнаяинформация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах />,которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразитьсумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6)и (7), получим:
/>/> />,
т.е. /> (11),
где /> - целые числа,которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства«Утверждения 1» (для />), могут бытьвыражены через другие целые числа /> следующимобразом:
(12) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(13) /> -нечетное число при /> - нечетном;
(14) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(15) /> — четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях(Случаях) нас не будут интересовать t=0 иr=0 (при t=0 /> и />-четные из (12) и (13), при r=0 />= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), чтопротиворечит нашему допущению).
Для простоты опять (какв утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15)буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К ,
и рассмотрим случай,когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
/> = N
/>
Случай «+».
(12+) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(13+) /> -нечетное число при /> - нечетном;
(14+) /> -нечетное число при /> — нечетном;
(15+) /> — четное число.
Казалось бы, всенормально: четность чисел /> в(12+), …, (15+) совпадают при />-нечетномс нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, унас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключеннойв «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопрекиусловию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимнопростые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись ихвыражениями (12+) и (13+):
/>,
т.е. /> => (/>) пропорционально 4,откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
/>!
Т.е., вопреки«Выводу», /> является ненечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в (12+) и (13+)) являютсячетными, т.е. в уравнениях (2) /> и(1) /> числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) /> в данном Условии 1(начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличныхот нуля числах, где /> — нечетноенатуральное число.
********
Мы рассмотрели случай,когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда передтеми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же.(Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметричнодля с2 и b2, (дляуравнения 11 они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новымсвойством />». Поэтому аналогичнывышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять жеперед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало).
с2 = В
b2 = С
/> = N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2 />=±В
(13´±) b2/>=±С
(14±) />=±N
(15±) />=±К.
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откудаследует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», ив этих«Новых» случаях «+» и«-» /> является не нечетным,а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.
Однако, если /> - четное, то /> (в ((12´±)и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях(2) и (1) числа /> - четные,а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существованииу уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимнопростых /> отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В,N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой частиданного Утверждения 3.
********
Уравнение (11) симметрично и для /> и для /> (для уравнения (11) ониравнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожимсвойством /> и />». А это означает, чтонам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 ислучаи «+» и «-», в которых /> и /> меняютсясвоимивыражениями (NиК)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
/> = К
/>
«Похожие» случаи «+» и«-».
(12±) c2 = ± (/>) = ± С
(13±) b2 = ± (/>)= ± В
(14´±) />= /> = ±К
(15´±) /> />= ±N.
Согласно одному из Выводов(формула (10) />пропорционально2 (явно), при />. Но этовозможно, глядя на четное (15´±) /> =±N= ±(/>) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и «-») с нашим предположением осуществовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14«похожих» случаях, гдеопять же /> =± N= ±( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (ипри этом не затрагивая «новые свойства />»(пояснение (стр.10), подобное для /> проведено придоказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придемк противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) вданном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, ввышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3уравнение (1) /> (1), где /> ≥ 3– нечетноенатуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых /> отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения3»(для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения3)
Возможны случаи: либо />, либо />.
(Об «Исключении» изобщего правила)
Доказательство
Казалось бы, мы должнырассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12),…, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» вчасти 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет кизвестным значениям bи c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c– четные, чего не должно быть, либоb и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2«Утверждения 2»).
Для подтверждениясказанного рассмотрим подробно толькочасть Условия 1.
Итак, осталосьрассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.
Случай 1.
/> (12)
/> (13′)
/> (14)
/> (15), которые также являютсярешениями уравнения
(11) />.
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15),можно получить разность />:
/>/>/> => />.
Выразим из (17) и (16) />:
/> => />
/> => />.
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />,а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> =>/>.
Из (15) с учетом (20)выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадаютс (6) и (7), т.е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′)и (14), найдем сумму />:
/> т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующихдействиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>(20′).
Итак, /> (28), что дляцелых чисел неприемлемо.
Этот случай нас неинтересует.
********
Тем не менеепродолжим, т.к. результат,который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим /> => />.
Теперь, с учетом (29),можно получить окончательное выражение для с 2 (из(25)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (11), решениями которогоявляются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующиерешения:
/>, />,
/> (28), />,
где /> — взаимно простые нечетныецелые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку срешениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге,решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
/>(30´), => c=/> (30´),/> (29´)
/> (28´), => b= />1(28´), /> (24´), где
/> — взаимно простые нечетные целыечисла.
**********
Случай 3.
/> (12)
/> (13′)
/> (14)
/> (15′), которые также являютсярешениями уравнения
/> (11).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15), можнополучить разность />:
/>/>-/> =>/>.
Выразим из (31) и (16) /> :
/> => /> (32)
/> => />(33)
По условию /> должны быть взаимнопростыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/> (34), />(35),а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и/>.
Из (15´) с учетом(20) выразим />:
/>, т.е. /> (24´).
Т.о. />, />, где/>, т.е.
/>,
/>,
выражения которых, с учетом (24´),полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′)и (14), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). Впоследующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>.
Итак, /> (28), что дляцелых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менеепродолжим, т.к. результат,который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´),получим /> => />(29´´).
Теперь, с учетом (29´´),можно получить окончательное выражение для с 2 (из(25´)):
/>, т.е. /> (30´´).
Таким образом, уравнение /> (11), решениямикоторого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеетследующие решения:
/>(30´´),/>,
/> (28), /> (24´),
где /> - взаимно простые нечетныецелые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям(30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
/> (30´´´), =>/> (30´´´),/> (29´´´),/> (28´), =>b= /> (28´), /> (24),где
/> — взаимно простые нечетные целыечисла.
*******
Подведем некоторыйитог. Нами рассмотрено4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующиевыражения буквами С, В, N, К:
/>= С
/>= В
/> = N
/> = К
Тогда эти первые 4случая следующие:
1. (12) /> 2.(12´) /> (30´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14) /> (29) (14´) /> (29´)
(15)/> (24)(15´)/> (24´)
3. (12) /> (30´´)4. (12´) /> (30´´´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14)/> (29´´) (14´)/> (29´´´)
(15´)/> (24´) (15) /> (24).
Рассмотрим еще 4случая.
5. с2 = С 6. с2 =- С 7. c2 = C 8. c2= -C
b2 = — B b2= B b2 = — B b2 = B
/> = — N /> = N /> = — N /> = N
/> /> /> />
*******
Итак, рассмотрим случай5.
Случай 5.
/> (12),
/> (13´),
/> (14´),
/> (15), которые также являютсярешениями уравнения
/> (11).
Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/> (41), />,где /> — взаимно простыенечетные целые /> (40),/> (38´), числа.
Следовательно, в данномрассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
/> (32) => b/> (32), />(24)
/> (31) => с = /> (31),/> (29´),
где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, вконечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31),(29´) и (24), т.е.
/> (31´),/> (29),
/> (32´), /> (24´),
где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
Но этот случай насне интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
/> (12),
/> (13´),
/> (14´),
/> (15´), которые также являютсярешениями уравнения
/> (11).
Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/> (40),/> (38´´´),
/> (41´´), /> (33´),
где /> — взаимно простыенечетные целые числа.
Следовательно, в данномрассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
/> (31) => с = /> (31),/> (29´´´),
/> (32´´) => b/> (32´´), /> (24´), где />-
взаимно простые целыенечетные числа.
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, чтоесли бы у уравнения (11) были решения, противоположные познаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы быполучили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´),(31), (29´´´) и (24´), т.е.
/> (31´),/> (29´´),
/> />,/> (24),
где /> — взаимно простые целыенечетные числа.
Но этот случай насне интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом,уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетныечисла, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующихцелых числах:
а) />; b/>; />;/>;
б) />; />; />; />.
**********
Вывод
Итак, после анализаполученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетныечисла, имеет решения в следующих целых числах:
а) />; b/>; />;/>;
б) />; />; />; />.
********
Таким образом, само исследованиерешений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения3 и его результат полностью совпадают с исследованиемрешений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательствеУтверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот,например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) /> 2.(12´) /> (30´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14) /> (29)(14´) /> (29´)
(15)/> (24)(15´)/> (24´)
3. (12) /> (30´´)4. (12´) /> (30´´´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14)/> (29´´) (14´)/> (29´´´)
(15´)/> (24´) (15) /> (24).
А вот результаты исследованийуравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):
1. (12) /> 2.(12´) /> (30´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14) /> (29)(14´) /> (29´)
(15)/> (24)(15´)/> (24´)
3. (12) /> (30´´)4. (12´) /> (30´´´)
(13´) /> (28) (13) /> (28´)
(14)/> (29´´) (14´)/> (29´´´)
(15´)/> (24´) (15) /> (24).
Наблюдается полноесовпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и вследующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальныеслучаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3(подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решенийуравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могутявляться решениями уравнения (1) /> (1),где /> — нечетное натуральноечисло, т.е. либо />, либо />, которыетаковыми и являются.
*******
Вывод:2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследованияуравнения (1), мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) /> (/> ≥ 3 – нечетноенатуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуляпопарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
Возможны случаи: либо />,либо />.
2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенноесокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущеедоказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4при />≥3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m= 2, распространяется и на показательстепени q = 2 m,где m> 2 – натуральном.
**********
На основании доказательствасправедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3»вытекает и справедливость «Общего утверждения».
ОБЩИЙ ВЫВОД
1. Уравнение /> (/>,/> - натуральные числа) неимеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> - было четным, /> и /> - нечетными целымичислами.
2. Но есть и«исключение» из данного утверждения: среди этих чисел />, /> и />может быть либо />, либо />.
Таким образом, «Общееутверждение»доказано.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классическихформул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23.
2.Постников М.М. Введение в теориюалгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 — С. 13.
Май 2009 г., Скворцов А.П.
Уважаемые любителиматематики и специалисты!
Если не трудно,попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.
Если в ней есть что-тостоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.
Я убежден, чтопримененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторыхдругих уравнений на их разрешимость в целых числах.
Предлагаю вашему вниманиюперечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомленыспециалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г.Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) осуществовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация ивремя») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса»№4-2004 г.
Работы по математике:
1. Построение спомощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух другихотрезков.
2. Построение спомощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух другихотрезков.
3. Нахождениедействительных корней приведенного квадратного уравнения с помощьюциркуля и линейки.
4. Решениеуравнения /> в целых числах при /> — натуральном.
5. Доказательство неразрешимостив рациональных ненулевых числах уравнения р1+ р2= р3, где произведение р1 р2 р3= R3,R – рациональное число (или рациональная функция),р1, р2 и р3могут быть нетолько рациональными числами, но и рациональными функциями.
6. Доказательство неразрешимостив рациональных ненулевых числах системы
/>р1+р2+р3=р4
р1 р2р3 р4 = /> ,
где k может принимать значения k= 1; 2; 3; 4, и р1, р2, р3и р4могут быть не только рациональными числами, но и рациональнымифункциями.
Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru
Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,
м/р-н Геолог, д.18,кв.11
тел.: 8 (38 254) 579 59.
С уважением, А.П.Скворцов.