Идеяпредлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремыФерма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двухсумм U' и U'' и умножения равенства a^n+ b^n– c^n= 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n+ b^n– c^n (где k – число нулей на конце числа a+ b– c) не равна (числаU' и U'' умножаютсяпо-разному!). Дляпостижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшуюформулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа,сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот,пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр,обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография врусском тексте опущены.
Доказательствоприводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовскомсайте).
В.С.Элементарное доказательство Великойтеоремы Ферма
ВИКТОРСОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратныхскобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемыеобозначения:
Все числазаписаны в системе счисления с простымоснованием n> 10.
[Все случаи ссоставным n, кроме n= 2k (которыйсводится к случаю n= 4), сводятся к случаю
простогоn с помощьюпростой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
ak– k-я цифра отконца в числе a (a1 – последняяцифра).
[Примердляa =1043: 1043= 1x53 + x52 + 4x51 + 3x50;a1 = 3, a2 = 4, a3 =, a4= 1.]
a(k) – окончание(число) из k цифр числа a (a(1)= a1; 1043(3)= 043).Вездев тексте a1№.
[Если все три числа a, b и c оканчиваются наноль, следует разделить равенство 1° на nn.]
(ain)1= ai и (ain — 1)1= 1 (см. Малую теоремуФерма для ai№). (0.1°)
(n+ 1)n= (10 + 1)n= 11n= …101 (см. БиномНьютона для простого n).
Простое следствие из бинома Ньютона ималой теоремы Ферма для s№1 [a1 №]:
еслицифра asувеличивается/уменьшается на 0 dn,
тоцифра ans+1увеличивается/уменьшается на d (или d+ n, или d– n). (0.2°)
[В отрицательныхчислах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°) Допустим,что an+ bn– cn= 0 .
Случай 1: (bc)1?0.
(2°) Пусть u= a+ b– c, где u(k)= 0, uk+1 ?,k> 0 [известно, что в1° u> 0 иk> 0].
(3°) Умножим равенство 1° начисло d1n (см. §§2 и 2a в Приложении) сцелью превратить
цифру uk+1 в 5.После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжаетидти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новомравенстве (1°) u= a+ b– c, u(k)= 0,uk+1= 5.
(1*°) Ипусть a*n+ b*n– c*n= 0, где знаком“*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) послеумножения равенства (1°) на11n .
(4°) Введем в указанной здесьочередности следующие числа: u,u' = a(k)+ b(k)– c(k),
u'' = u– u' = (a – a(k)) + (b – b(k)) – (c – c(k)), v = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1,u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k),
u*'' = u* – u*'= (a* – a*(k)) + (b* – b*(k)) – (c* – c*(k)), 11u',11u'', v* = (a*k+2 + b*k+2– c*k+2)1,
и вычислим две последние значащиецифры в этих числах:
(3a°) uk+1 = (u'k+1 + u''k+1)1= 5;
(5°) u'k+1 = (–1,0 или1) – так как – nk a'(k) , – nk b'(k) , – nk c'(k)
и числа a, b, c имеют различныезнаки;
(6°) u''k+1= (4,5 или6) (см. 3a° и 5°) [важно:1 u''k+1 n– 1];
(7°) u'k+2= 0 [всегда!] – так как \u'\ nk;
(8°) u''k+2= uk+2 [всегда!];
(9°) u''k+2= [v+ (ak+1+ bk+1– ck+1)2]1, где (ak+1+ bk+1– ck+1)2 = (–1,0 или1);
(10°) v= [uk+2– (a(k+1)+ b(k+1)– c(k+1))k+2]1 [где (a(k+1)+ b(k+1)– c(k+1))k+2 = (–1,0 или1)] =
= [uk+2– (–1,0 или1)]1;
(11°)u*k+1= uk+1= 5 – т.к. u*k+1иuk+1– последниезначащие цифры в числах u* и u;
(12°)u*'k+1= u'k+1 – т.к. u*'k+1иu'k+1– последниезначащие цифры в числах u*' и u';
(13°) u*''k+1= (u*k+1 – u*'k+1)1 = (3 – u*'k+1)1= (4,5или6)[важно:1 ];
(14°)(11u')k+2= (u'k+2 + u'k+1)1(затем – врезультате приведения чисел к каноническому виду –
величинаu'k+1 «уходит» в u*''k+2, поскольку u*'k+2 = );
(14a°) важно: числа (11u')(k+2)и u*'(k+2)отличаютсятолько k+2-ми цифрами, аименно:
u*'k+2 =, но (11u')k+2№0 в общем случае;
(15°)(11u'')k+2= (u''k+2 + u''k+1)1;
(16°)u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 = (u''k+2+ uk+1)1 = (u''k+2 + 5)1;
(16а°) ксведению: u*'k+2= 0 (см. 7°);
(17°)u*''k+2 = (u*k+2 +1,u*k+2или u*k+2 – 1)1= (см. 9°) =(u''k+2 + 4,u''k+2 + 5 илиu''k+2+ 6)1;
(18°) v* =[u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2]1
[где u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 (см. 16°), а (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2 = (–1,0 или1) –см. 10°] =
= [(uk+2+ uk+1)1 – (–1,0 или1)]1.
(19°)Введем числа U' = (ak+1)n + (bk+1)n – (ck+1)n, U'' = (an + bn – cn) – U', U= U' + U'',
U*'= (a*k+1)n + (b*k+1)n – (c*k+1)n,U*'' = (a*n + b*n – c*n) – U*', U* =U*' + U*'';
(19а°) ксведению: U'(k+1)= U*'(k+1)= 0.
(20°)Лемма: U(k+2)= U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2)= U*''(k+2) = 0 [всегда!].Действительно, из 1° мы имеем:
U = an+ bn – cn =
=(a(k+1) +nk+1ak+2 + nk+2Pa)n + (b(k+1) + nk+1bk+2+ nk+2Pb)n –(c(k+1) + nk+1ck+2+ nk+2Pc)n =
=(a(k+1)n + b(k+1)n– c(k+1)n) + nk+2(ak+2a(k+1)n- 1 + bk+2b(k+1)n — 1 – ck+2c(k+1)n- 1) + nk+3P =
= U' + U'' = 0, где
U' = a(k+1)n+ b(k+1)n – c(k+1)n,
(20a°) U'' = nk+2(ak+2a(k+1)n-1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n-1) + nk+3P,
где (ak+2a(k+1)n-1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n-1)1 = (см.0.1°)=
(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1 = U''k+3=v (см.4°).
(21°)Следствие: (U'k+3+ U''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3)1= 0.
(22°)Вычислим цифру (11nU')k+3:
[так как числа (11u')(k+2)и u*'(k+2)отличаютсятолько k+2-ми цифрами навеличину
(11u')k+2), то на этувеличину будут отличаться и цифры (11nU')k+3и U*'k+3, это означает,
чтоцифра (11nU')k+3будет на (11u')k+2 превышать цифруU*'k+3 (см. 0.2°)]
(11nU')k+3= U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2)1 =(U*'k+3 + u'k+1)1.
(23°) Откуда U*'k+3 = U'k+3 – u'k+1.
(24°)Вычислим цифру U*''k+3 :
U*''k+3 = v* = (uk+2 + uk+1)1– (–1,0 или1) – см. (18°);
(25°)Наконец, вычислим цифру (U*'k+3+ U*''k+3)1:
(U*'k+3+ U*''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3 –U'k+3 – U''k+3)1 = (U*'k+3 – U'k+3+ U*''k+3 – U''k+3)1 =
(см. 23° и 24°)= (– u'k+1 + v* – v) = (см. 18° и 10°)=
= (–u'k+1 +[uk+2 + uk+1 – (–1,0 или1)] – [uk+2 –(–1,или1)])1 =
= (– u'k+1 +uk+1 + (–2, –1,, 1, или2))1 = (см. 3a°) =
(u''k+1 + (–2, –1,, 1, или2))1 = (см. 6°) = (2, 3,4, 5,6, 7или 8) №,
чтопротиворечит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство.
Случай 2 [доказываетсяаналогично, но намного проще]: b(или c) = ntb', где b1= 0 и bt+1= b'1№.
(26°) Введем число u= c– a> 0, где u(nt– 1)= 0, а unt?0 (см. §1 вПриложении).
(27°) После умножения равенства1° на число d1n (с цельюпревратить цифру unt в 5)
(см. §§2 и 2a в Приложении)обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u' = a(nt– 1)– c(nt– 1), u'' = (a– a(nt– 1)) – (c– c(nt– 1)) (где, очевидно,u''nt= (ant– cnt)1);
U' = a(nt)n+ bn– c(nt)n (гдеU'(nt+ 1)= 0 – см. 1°и 26°),U'' = (an– a(nt)n) – (cn– c(nt)n),
U*' = a*(nt)n+ b*n– c*(nt)n (гдеU*'(nt+ 1)= 0),U*'' = (a*n– a*(nt)n) – (c*n– c*(nt)n),
v = ant+1– cnt+1.
Вычисления,полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра вравенстве Ферма не равна нулю. Число b во всехрасчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать,т.к. цифры bnnt+1и bnnt+2при умноженииравенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n(3) = 101).
Такимобразом, для простых n > 7 теорема доказана.
==================ПРИЛОЖЕНИЕ
§1. Если числа a, b, c не имеют общихсомножителей и b1= (c– a)1 =0,
тогда из числа R= (cn– an)/(c– a) =
= cn–1 + cn –2a + cn –3a2 + … c2an- 3 + can — 2 + an — 1 =
=(cn –1 + an –1) + ca(cn –3 + an –3)+ … + c(n –1)/2a(n –1)/2 =
=(cn –1 – 2c(n –1)/2a(n –1)/2 + an –1+ 2c(n –1)/2a(n –1)/2) + ca(cn –3 – 2c(n–3)/2a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2a(n–3)/2) +
+ … + c(n–1)/2a(n–1)/2= (c– a)2P+ nc(n–1)/2a(n–1)/2 следует, что:
c– a делится на n2, следовательно R делится на n и не делится наn2;
так как R> n, то число R имеет простойсомножитель r не равный n;
c– a не делится на r;
если b= ntb', где b'1№, то число c – a делится на ntn– 1 и не делится ntn.
§2.Лемма. Все n цифр (a1di)1, где di= 0, 1, … n– 1, различны.
Действительно,допустив, что (a1d1*)1 =(a1d1**)1, мы находим: ((d1* – d1**)a1)1 =0.
Откудаd1* = d1**. Следовательно,множества цифр a1 (здесь вместе сa1= 0) и d1 совпадают.
[Пример для a1= 2: 0: 2x0 =;1: 2x3 = 11;2: 2x1 = 2;3: 2x4 = 13;4: 2x2 = 4.
Присоставном n Лемма несправедлива:в базе 10 и (2х2)1 = 4, и (2х7)1= 4.]
§2a. Следствие.Для любой цифры a1№0 cуществует такаяцифра di, что (a1di)1 =1.
[Пример для a1= 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1; 2x3 = 11; 3x2 = 11; 4x4 = 31.]
ВИКТОР СОРОКИН
e-mail: victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n= 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk+1 превращается не в 5, а в 1,и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11n, а на некоторое hn, где h – некоторое однозначное число.