Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессиональногообразования
Тюменский государственный университет
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информатики и математики
КУРСОВАЯРАБОТА
По дисциплине«Математический анализ»
на тему:
Дифференцирование в линейных нормированных пространствах
Выполнила:студентка 393 гр.
Жукова И.А.
Проверил:доцент кафедры МиИ
СалтановаТ.В.
Тюмень2010
/>Оглавление
Введение
Основные понятия
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Формула конечных приращений
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
Дифференцируемые функционалы
Абстрактные функции
Интеграл
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора
Заключение1
Список литературы:
Введение
Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаютсябесконечномерные пространства и их отображения.
Понятиенормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа.Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-хгодах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся,настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас дажетрудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализеесть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительнойстепени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированныхпространств.
/>Основные понятия
Определение1. Непустое множество /> называется линейным пространством,если оно удовлетворяет следующим условиям:
Й.Для любых двух элементов /> однозначно определен элемент />, называемый ихсуммой, причем
1./>(коммутативность)
2./>(ассоциативность)
В/> существуеттакой элемент 0, что />для всех />
4.Для каждого />существуеттакой элемент />, что />.
II.Для любого числа /> и любого элемента /> определен элемент />, причем
5./>
6./>
III.Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:
7./>
8./>
Определение2. Линейное пространство /> называется нормированным, еслина нем задана неотрицательная функция />, называемая нормой, удовлетворяющаяусловиям:
/>
/>
длялюбого /> и любогочисла />;
/>
длялюбых /> (неравенствотреугольника).
Определение3. Оператором называется отображение
/>,
где/> — это линейныепространства.
Определение4. Оператор />/> называется линейным,если для любых элементов /> и любых чисел />R выполняется равенство:
/>
Определение5. Пусть /> -линейные нормированные пространства,
/>/> – линейный оператор,
/>
Линейныйоператор непрерывен в точке/>, если из того, что
/> следует, что />.
Определение6. Линейный оператор /> непрерывен, если он непрерывен в каждойточке />.
Определение7. Линейный оператор называется ограниченным, если
/> /> />
Утверждение.Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильнаего ограниченности.
Определение8.Наименьшая из констант M таких,что />, называетсянормой оператора А и обозначается />.
Вчастности, выполняется
/>
Справедливоследующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора
/> />/>Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
ПустьX и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Yи определенное на некотором открытом подмножествеО пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке/>, если существуеттакой ограниченный линейный оператор Lx/>ж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при которомиз неравенства ||h||
|| F(x + h)-F(x)-Lxh ||
Тоже самое сокращенно записывают так:
А(ч+ р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)
Из(I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывнов этой точке. Выражение Lxh (представляющеесобой, очевидно, при каждом h/>X элемент пространстваУ) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения Fв точке х. Сам линейный оператор Lxназываетсяпроизводной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символомF'(x).
Еслиотображение F дифференцируемов точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самомделе, равенство
||L1h— L2h|| =o(h) для операторов
Li/>ж (X, У), i = 1,2,
возможно,лишь если L1= L2.
Установимтеперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающиеиз определения производной.
ЕслиF(x) = y0= const,то F'(x) = О (т. е. F'(х)
вэтом случае есть нулевой оператор).
Производнаянепрерывного линейного отображения L естьсамо это отображение:
L '(x)=L(3)
Действительно,по определению имеем
L(x+ h)-L(x) = L(h).
3.(Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точких0/>Х, F — отображение этой окрестности в У, у0= F(x0), V(yo) — окрестность точки у0/>Уи G — отображение этойокрестности в Z. Тогда, если отображениеF дифференцируемов точке хо, a G дифференцируемов точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0)дифференцируемо в точке хо и
H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)
Действительно,в силу сделанных предположений
А(ч0+о) = А(ч0) + Аэ (ч0) о +о1(о ) и
G (уо + з) = G (уо) + G' (уо) з + о2 (з).
НоF'(x) иG'(yo) — ограниченные линейные операторы. Поэтому
H (х0+о) = G (уо + F' (x0) о + о1о )= G (уо)+ G' (у0)(F' (х0) о + +о1 о)) +
+о2(F' (x0) о + о1(о ))= G (у0)+ G' (уо) F' (х0) о + о3 (о).
ЕслиF, G и Н —числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцированиясложной функции.
4.Пусть F и G— два непрерывных отображения, действующихиз X в Y. Если Fи G дифференцируемы в точке х0, то и отображенияF + Gи aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем
(F+ G)'(х0) = F'(х0) + G'(х0) (5)
(aF)'(x0) = aF'(x0).(6)
Действительно,из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем,что
(F+G)(x0+ h) = F(x0+ h) + G(x0+ h) = F(х0) + G(х0) + F' (х0) h +
+G' (х0) h + o1 (h) и
aF (x0 + h) = aF (x0) +aF' (x0) h + o2 (h),
откудаследуют равенства (5) и (6)./> Слабый дифференциал (дифференциалГато)
Пустьснова F естьотображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гатоотображения F в точкех (при приращении h) называется предел
DF(x,h)=/>t=0=/>/>/>,
гдесходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.
Иногда,следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения Fв точке х.
Слабыйдифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейностьимеет место, т. е. если
DF (х, h) = F'c (х) h,
где F'c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называетсяслабой производной (или производной Гато).
Заметим,что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря,неверна./>Формула конечных приращений
ПустьО — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержитсяв О. Пусть, наконец, F естьотображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'c в каждой точке отрезка[х0, x]. Положив Дх = х— хо и взяв произвольный функционал />У*, рассмотрим числовую функцию
f(t) = />(F(x0+t Дх)),
определеннуюпри />.Этафункция дифференцируема по t. Действительно, в выражении
/>
можноперейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала/>. В результате получаем
F'(t) = /> (F'c(x0+tДx) Дx)
Применивк функции f на отрезке[0, 1] формулу конечных приращений, получим
f(l) = f(0) +f'(и), где 0
/>(F(x)-F(x0))= />( F'c(x0+ и Дx) Дx)(7)
Эторавенство имеет место для любого функционала />У* (величина и зависит, разумеется,от/>).Из (7) получаем
|/>(F(x)-F(x0))|/>/>/>|| F'c(x0+ и Дx)|| />|| Дx|| (8)
Выберемтеперь ненулевой функционал /> так,что
/> (F(х) — F (х0)) =||/>|| /> || F(х)- F (хо) ||
(такойфункционал /> существует в силуследствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем
||(F(х) — F (x)||/>/> || F'c(x0+ и Дx)|| /> ||Дx|| (Дx=x-x) (9)
Этонеравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовыхфункций. Применив формулу (9) к отображению
х—Ю А (х)— Аэс (хо) Дч
получимследующее неравенство:
||F(x-F(хо)-F'c(хо)Дx|| /> /> || F'c(xo+иДx) -F'c(x0)||/>|| Дx|| (10)
/> Связь между слабой и сильнойдифференцируемостью
Сильнаяи слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерныхпространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции
f(x) = f(x1,…,xn)
приn/>2 из существованияпроизводной
/>
прилюбом фиксированном h = (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемостьэтой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительноh.
Простейшимпримером здесь может служить функция двух переменных
/>(11)
Этафункция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабыйдифференциал существует и равен 0, поскольку
/>
Вместес тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11)в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то
/>
Однакоесли отображение F имеетсильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производныесовпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем
А(ч+ ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и
/>
Выяснимусловия, при которых из слабой дифференцируемости отображения Fследует его сильная дифференцируемость.
Теорема1. Если слабая производная F'c (х) отображенияF существует в некоторойокрестности U точких0и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х,непрерывную в x0, то в точкеx0сильная производнаяF'(x0) существуети совпадает со слабой.
Доказательство.По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||
||F'c(xo + h)-F'c(xo) || />е
Применивк отображению F формулу(10), получим:
|| F(x0+ h)-F(хо) — F'c(хо)h || />/> ||F'c(xo+иh)- F'c(xo)||
||h||/>е||h||
Темсамым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производнойF'(xо), так и еесовпадение со слабой производной./> Дифференцируемые функционалы
Мыввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X вдругое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображенияпри каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности,если У — числовая прямая, то F — принимающаячисловые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционалаF в точке х0есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространстваX*.
Пример.Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2.Тогда
||x+ h||2-||x||2= 2(x, h) + || h ||2;
величина2(x,h) представляет собойглавную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,
F' (x) = F'c(x) = 2х./> Абстрактные функции
Предположимтеперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числух элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. ПроизводнаяF'(х) абстрактной функции (если она существует) представляетсобой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактнойфункции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемостьсовпадает с сильной./> Интеграл
ПустьF — абстрактная функциядействительного аргумента t со значениямив банаховом пространстве У. Если F заданана отрезке [а, b], то можно определитьинтеграл функции F по отрезку[а,b]. Этот интегралпонимается как предел интегральных сумм
/>,
отвечающихразбиениям
ф= е0Бе1Б ююю Бет = иб ол/>хелбел+1ъб
приусловии, что max(tk+1-tk)/>0. Интеграл (представляющий, собой,очевидно, элемент из Y) обозначается символом
/>
Рассуждения,в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения,показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этомон обладает свойствами обычного риманова интеграла./>
Производные высших порядков
ПустьF — дифференцируемоеотображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом x/>X есть элемент изо (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейныхоператоров о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называетсявторой производной отображения F и обозначаетсясимволом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространствао (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускаютболее удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.
Мыговорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, есликаждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элементу=В(х, х') />У так, что выполнены следующие условия:
1.для любых />изX и любых чисел />имеют место равенства:
В (/>x1 + />х2, />) =/>В (/>,/>)+/>В (х2, />),
В (x1, />/>+/>/>) = />В (/>,/>)+/>В(x1,/>);
2.существует такое положительное число М, что
||В(х,х') || />M||x||/>||x’|| (17)
привсех х, х'/>X.
Первоеиз этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов;нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупностиаргументов.
Наименьшееиз чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображенияВ и обозначается ||В||.
Линейныеоперации над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладаютобычными свойствами.
Такимобразом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейноенормированное пространство, которое мы обозначим В(Х2, У). При полнотеУ полно и В(Х2, У).
Каждомуэлементу А из пространства о(Х, о(Х, У)) можно поставить в соответствие элемент изВ(Х2, У), положив
В(х,х') = (Ах)х'.(18)
Очевидно,что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображаетпространство о(X, о(Х, У)) на все пространствоB(X2,Y). Действительно, еслиу=В(х, х') = (Ах)х', то
||y||/>||Ax||/>||x’||/>||A||/>||x||/>||x’||,
откуда
||B||/>||A||(19)
Сдругой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном x/>Xотображение
х'→(Ах)х' = В(х, х')
естьлинейное отображение пространства X в У.
Такимобразом, каждому x/>X ставится в соответствиеэлемент Ах пространства о(X, У); очевидно, чтоАх линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элементА пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливаетсяпо А при помощи формулы (18) и
||Ах||=/> ||(Ax)x'||=/>||В(х,x') />||B|| />||x||,
Откуда
||A||/>||B||(20)
Сопоставляя(19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X2,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, аследовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) естьвсе В(Х2, У).
Мывыяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствиис только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространстваВ(Х2, Y).
Очевиднымобразом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображенияF, действующего из X в Y, определив п-ю производнуюкак производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производнаяпредставляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяярассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространстваестественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Хп,У) n-линейных отображений X вУ.
Приэтом под n-линейным отображениемпонимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x(n)) между упорядоченнымисистемами (х', х",…., x(n)) элементовиз X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хi при фиксированныхостальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию
||N (x', х", ...,x(n)) ||/>М || х' || • ||х" ||… || x(n) ||.
Такимобразом, п-ю производную отображения F можносчитать, элементом пространства N(Xn,У)./> Дифференциалы высших порядков
Мыопределили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу h/>Х линейного оператора F'(x), т. е.
dF = F'(x)h
Дифференциалвторого порядка определяется как
d2F= F" (х) (h, h),
т.е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению
F''(х)/> В(X2, У)
Аналогичнодифференциалом п-го порядка называется
dnF=F(n)(x)(h, h, h),
т.е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h) />/> переводится отображениемF(n)(x)./>
Формула Тейлора
Сильнаядифференцируемость отображения F означает,что разность
F(x+h)—F(x)
можетбыть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок вышепервого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичнаяформуле Тейлора для числовых функций.
Теорема2. Пусть F — отображение,действующее из X в У, определенное в некоторой области О/>Xи такое, что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывнуюфункцию от х в О. Тогда имеет место равенство
f(x + h)-F(x) = F'(x)h + />F"(x)(h, h)+ ...
…+/>F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)
где
/>
Доказательствобудем вести по индукции. При n = 1 равенство(21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное nи предположим, что равенство, получающеесяиз (21) заменой n на n-1, ужедоказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых nзаменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем
F'(x+ h) = F'(x) + F"(x)h+/>F"'(x)(h,h) + ...
…+ /> F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)
где
||щ1(х, h)|| = o(||h||n-1)
Интегрируяобе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим
/>
/>, (21)
Где
/>.
из(23) получаем
А(ч+р)-А (х)= Аэ(ч)р+ />АЭ(ч)(рбр)+ююю
…+/>F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем
||Rn||/>/>
Темсамым наше утверждение доказано.
Формулу(21) называют формулой Тейлора для отображений.
/> Заключение
Вэтой работе представлены некоторые первоначальные понятия, относящиеся к нелинейномуфункциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые примененияэтих понятий.
Некоторыезадачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер;они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональныйанализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерныхпространствах.
Кнелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая областьматематики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли,Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собойсравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.
/>Список литературы:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций ифункционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.
2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве.Ярославль, 1978. – 118стр.
3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление.М., Наука, 1972. – 424стр.