Министерствообразования Республики БеларусьГомельскийГосударственный университет имени Франциска СкориныКурсоваяработа«Дифференциальныесистемы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»Гомель 2006
Реферат
Курсоваяработа состоит из 19 страниц, 3-х источников.
Ключевыеслова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы,отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающихфункций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётнаяфункция.
Цельюкурсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы иэквивалентными системами.
Содержание
Введение
Отражающая функция
Первый интегралдифференциальной системы и условия его существования
Возмущениядифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий
Общее решение
Заключение
Список использованныхисточников
Введение
В курсовойработе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.
В результатеприходим к теореме, которая звучит так:
Пусть /> первый интеграл системы />, /> (1). Если />, удовлетворяет уравнению />, то указанная системаэквивалентна системе />, />, /> (2). И если, кроме того />, где /> — некоторая функция (/>-может равняться const), тогда первый интегралсистемы (2) выражается следующей формулой />,где /> и />.
Отражающаяфункция
Определение. Рассмотримсистему
/> (1)
cчитая, что правая частькоторой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение в формеКоши обозначено через />). Через />обозначим интервалсуществования решения />.
Пусть
/>
Отражающейфункциейсистемы (1) назовём дифференцируемую функцию />,определяемую формулой
/>
Дляотражающей функции справедливы свойства:
1.) длялюбого решения />системы (1) вернотождество
/>
2.) дляотражающей функции F любой системы выполнены тождества
/>
3) дифференцируемаяфункция /> будет отражающей функциейсистемы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений вчастных производных
/>
и начальномуусловию
/>
Рассмотримсистему /> (1*) считая, что её праваячасть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида(1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция /> со свойствами: 1) отражающаяфункция /> любой системы израссматриваемого множества совпадает в области определения /> с функцией />; 2) Любая система вида(1*), отражающая функция /> котораясовпадает в области /> с функцией />, содержится врассматриваемом множестве.
Две системывида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными.Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют однуи ту же отражающую функцию. Функцию /> приэтом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующимотражающей функции />.
Первыйинтеграл дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотримсистему />= /> /> />(1) с непрерывной вобласти Dфункцией f.Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первыминтегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t/>, системы (1), графиккоторого расположен в G функция U (t, x(t)),t/>, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только отвыбора решения x(t)и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:G/>R, есть некоторая функция.Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V/> V/>R, определяемую равенством
/>.
Обозначим V/> (t, x(t))/>t/>.
Лемма
Дифференцируемаяфункция U(t, x), U:G/>R, представляет собой первыйинтеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U/> в силу системы (1)тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость.Пусть U(t, x) есть первый интегралсистемы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметьтождества
U/>/>/>
Откуда при t=t/> получим равенство U/>(t/> справедливое при всехзначениях t/> и x(t/>). Необходимостьдоказана.
Достаточность.Пусть теперь U/> при всех (t, x)/> Тогда для любого решения x(t) системы (1) изопределения будем иметь тождества
/>
а с ним идостаточность.
Изопределения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также являетсяпервым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию />, для которой выполняется неравенство
/> и />
Функцию U(x) будем называть стационарнымпервым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первыминтегралом системы (1).
Возмущениядифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий
Наряду сисходной дифференциальной системой
/> /> /> />
будемрассматривать множество возмущённых систем
/> /> /> />
где />непрерывная скалярнаянечётная функция, а />произвольнаянепрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности всмысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). Присовпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига насимметричном промежутке вида /> и,значит, для периодических систем совпадают их отображения за период />.
Как известно,отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению
/> />
Если />/>вектор-функция,а />
вектор-столбец,то полагаем
/> />, />
Лемма 1.
Для любыхтрёх вектор-функций /> /> /> из которых функция /> дважды непрерывнодифференцируема, а функции /> и /> дифференцируемы, имеетместо тождество
/> />
Лемма 2.
Пусть />отражающая функция системы /> с непрерывнодифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемойвектор функции /> функция
/> />
удовлетворяеттождеству
/>
/> />
Доказательство.Учитывая соотношение />, простымивыкладками установим тождества
/>
К первым двумслагаемым последней части этого тождества применим тождество />. Тогда после несложныхформальных преобразований придём к соотношению
/>
/>
Прибавим клевой и правой частям этого соотношения выражение /> придёмк нужному нам тождеству />
Леммадоказана.
Теорема 1
Пустьвектор-функция /> являетсярешением дифференциального уравнения в частных производных
/> />
Тогдавозмущённая дифференциальная система
/> /> /> />,
где /> — произвольная непрерывнаяскалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе />.
Доказательство. Пусть />отражающая функция системы />. Следовательно, этафункция удовлетворяет дифференциальному уравнению />.Покажем, что она удовлетворяет и тождеству
/> />
Для этоговведём функцию /> по формуле />. Согласно лемме 2, этафункция удовлетворяет тождеству />. Приусловиях доказываемой теоремы с учётом соотношения /> этотождество переписывается в виде
/>/>
Кроме того,поскольку для всякой отражающей функции /> вернотождество />, имеет место соотношения
/>.
Такимобразом, функция /> являетсярешением задачи Коши
/> />
Решение этойзадачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество /> влекущее за собойтождество />.
Теперьпокажем, что отражающая функция /> системы/> является также иотражающей функцией системы />. Дляэтого нужно проверить выполнение основного соотношения />, которое в данном случаедолжно быть переписано в виде
/> />
Действительно,последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитываянечётность функции /> приходим кследующей цепочке тождеств:
/>
Обаслагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – всилу того, что для отражающей функции системы /> вернотождество />, второе – потому, что приусловиях теоремы верно тождество />.Следовательно, тождество /> выполняетсяи функция /> является отражающейфункцией системы />. Теоремадоказана.
А теперьрассмотрим пример.
Пример
Рассмотримсистему
/>
в которойнепрерывные и />периодическиефункции />, /> таковы, что /> и /> – нечётные функции.
Эта системаэквивалентна стационарной системе
/>
Здесь /> и />, />,
/>.
Так какстационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл />, которому соответствуют />периодические решения, тоиз сказанного следует, что все решения />,/> рассматриваемой системы,начинающиеся при /> на окружности />, являются />периодическими, а каждое изостальных решений, кроме нулевого, при /> стремитсяк одному из указанных периодических.
Общеерешение системы
Рассмотримдве дифференциальные системы
/>, /> (1)
/>, />, />, (2)
где /> — непрерывная скалярнаянечётная функция, />-произвольнаянепрерывно дифференцируемая функция.
Лемма 1
Для любой нечётнойфункции />, определённой вокрестности />, справедливо />.
Доказательство.
Так как /> — непрерывная нечётная функция,то /> и
/> при />
Лемма 2
Пусть /> есть первый интегралсистемы />. Тогда /> есть первый интегралсистемы />.
Доказательство.Т.к. /> есть первый интегралсистемы />, то его производная в силусистемы равна />, т.е. />.
Полагая здесь/>, получаем/> />, что и означает что /> первый интеграл системы />
/>.
Теорема 1.
Пусть /> – отражающая функциясистемы /> и />удовлетворяет следующемусоотношению /> (3)
Тогда система/> эквивалентна системе /> в смысле совпаденияотражающих функций.
Доказательство.Поскольку /> отражающая функция системы/>, то /> />(4). Рассмотрим выражение />
/>(равно /> т.к./> отражающая функция системы/>)+/>(равно /> по />)/> (4)
/>означает, что />отражающая функция системы />. Поскольку у систем /> и />отражающие функциисовпадают, то системы /> и />эквивалентны в смысле совпаденияотражающих функций.
Введём такиеобозначения/>
/> и /> — семейства функций,являющиеся решениями систем /> и />, соответственно /> и /> — решение систем /> и /> соответственно.
Лемма 4
Пусть /> первый интеграл системы />. Если выполненосоотношение /> (5), где />некоторая функция, то /> есть первый интегралсистемы />, где />.
Доказательство.Так как />, то /> удовлетворяет уравнению />, так как />, то />. Умножим обе части справана />, получим />. Перенесём всё в левуючасть и к левой части прибавим выражение />. Так как /> — первый интеграл, получим />. Т.е. производная функции /> в силу системы /> равна />, а это означает, что /> есть первый интегралсистемы />. Ч.т.д.
Лемма 5. Если /> удовлетворяет следующемууравнению в частных производных:
/> (6), где />-правая часть системы (1), />первыйинтеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой /> в смысле совпаденияотражающей функции.
Доказательство.Умножим (6) на скалярную функцию />,получим:/>
/> (7)
Так как /> — первый интеграл системы(1), то
/> (8)
Прибавим (7)к (8) и преобразуем, получим: />. Такимобразом, /> удовлетворяет теореме 1(если /> удовлетворяет />, то (1) эквивалентно (2) изначит, если />, то система (2)эквивалентна системе (1).
Теорема 2
Пусть /> первый интеграл системы(1). Если />, удовлетворяет уравнению (6),то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того /> (9), где /> — некоторая функция (/>-может равняться const), тогда первый интегралсистемы (2) выражается следующей формулой />,где /> и />.
Доказательство.
Доказательство1-й части теоремы прямо /> из леммы3.
Требуетсядоказать вторую часть теоремы. Найдём производную /> всилу системы (2)
/> и
обозначим её(*).
Выражение в […]=0,так как />-первый интеграл системы(1), /> (*) преобразуется вследующее выражение />
[так как />]=/> (**)
Так как /> удовлетворяет уравнению />, то таким образом (**)=0,что и означает, что />первый интегралсистемы (2). Требование /> вытекаетиз леммы 2.
Лемма
Пусть системы/> и /> эквивалентны в смыслесовпадения отражающих функций. Пусть /> ихотражающая функция и пусть /> естьпервый интеграл системы />, тогда U/>, />, />/> и/>.
Доказательство.Возьмём произвольное решение /> системы/>. Покажем, что на нём Uобращается в постоянную.
Действительно,т. к. /> отражающая функция, то />. По определению функции /> /> и т. к. />первый интеграл системы />, то U/>.
То, что U/> очевидно. Действительно,возьмём любую функцию />. Обозначим /> по свойству отражающейфункции />.
Обозначим />, так как /> только функциям из /> сопоставляет функции из />, то /> и по определению первогоинтеграла /> U отлична от /> и обращается в /> только вдоль решенийсистемы />. А это и означает, что U – первый интегралсистемы />.
(Uудовлетворяет лемме 2).
Лемма даётпонимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и невозмущённой систем.
Заключение
В даннойработе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, котораяговорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которыеприменяются для доказательства теоремы.
Сформулированыопределения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпаденияотражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общиесвойства отражающей функции.
Списокиспользованных источников
1. Мироненко В.И. Линейнаязависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУим. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
2. Мироненко В.И. Отражающаяфункция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское»,1986, 11,17 – 19 с.
3. Мироненко В.В. Возмущениядифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.