Министерствонауки и образования
Кафедра «ИиВТ»
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА
К курсовойработе
По предмету:Высшая математика
На тему: Дифференциальноеисчисление
г.Талдыкорган 2008 год
Введение
1. Предмет математики иосновные периоды ее развития. Математика представляет собой один из самыхважных фундаментальных наук. Слово «математика» произошло отгреческого слова «матема», что означает знания. Возникла математикана первых же этапах человеческого развития в связи с практической деятельностьюлюдей. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались снеобходимостью выделения и образования тех или иных совокупностей объектов,участков земли, жилищных потребностей объектов, жилищных помещений.
Во-первых, во всех этихслучаях нужно было устанавливать количественные оценки рассматриваемыхмножеств, измерять их площади и объемы, сравнивать, вычислять, преобразовывать.По определению, данному Ф.Энгельсом:
МАТЕМАТИКА– это наука изучает количественныеотношения и пространственные формы реального мира.
2. Основные математическиепонятия, такие как число, геометрическая фигура, функция, производная,интеграл, случайное событие и его вероятность и т.д. За свою историюматематика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственнойдеятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройнуюдедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для изучения окружающегонас мира.
Академик А.Н. Калиноввыделил четыре основных развития в истории математики.
Первый – периодзарождения математики, начало которого лежит и теряется в глубинах тысячелетийистории человечества и продолжается до VI – Vвеков до нашей эры. В этом периоде создается арифметика, а также зачаткигеометрии. Математические сведения этого периода состоят в основном из сводаправил решения различных практических задач.
Второй период –элементарной математики, т.е. математики, постоянных величин (VI – V вв. до н.э. – XVIIв. н.э.). Уже в начале этого периода (около 300 лет до н.э.) Евклид создаеттеорию трех книг («Начало Евклида» — первый из дошедших до насбольших теоретических исследований по математике), в которых, в частностиизучается дедуктивным образом на базе система аксиомы вся элементарнаягеометрия. Изданной в IXвеке сочинения ал-Хорезми «Кибат ал-Джарап ал-Мукабана» содержитобщие приемы решения задач, сводящие к управлению первой и второй степени. В XV веке вместо громких выражений сталиупотреблять знаки + и -, знаки степеней, корней, скобки. В XVI веке Ф.Виет применяет буквы дляобозначения данных и не известных величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическаясимволика, и этим были созданы основы формального математического языка.
Третий период – периодсоздания математики переменных величин (XVII век – середина XIX века). Начиная с XVII века, в связи с изучением количественного отношения впроцессе их изменения, на первый план выносили понятия переменной величины ифункции. В этом периоде в работах Р.Декарта на базе мирового исследованияметода системных координат создается аналитическая геометрия. В ра ботахИ.Ньютона и Г.В.Лейбница завершает создание дифференциального интегральногоисчисления.
Четвертый период –современные математики. Его начало следует относить к двадцатым годам XIX века – этот период начинается сработ Э.Гаусса, в которых заложены идеи теории алгебраических структур, В.И.Лобачевского,который открыл первую неевклидовую геометрию – геометрию Лобачевского.
В последствии дальнейшегораспространения получил аксиоматический метод, в новую фазу вступили работы пообоснованию математики, математической логики и математическому моделированию.Создание в середине прошлого века ЭВМ привело не только более к глубокому иширокому применению математики в других областях знания, в технических науках,в вопросах организации и управления производством, но и зарождению развитияновых областей теоретических и прикладных математических функций. Проникновенияметодов современной математики и ЭВМ в другие наук и практику применяет настолько всеобщий и глубокий характер, что одно из способностей нынешнего этапаразвития человеческой культуры считается процесс математизации знаний икомпьютеризации всех сфер трудовой деятельности и жизни людей.
3. Понятие оматематическом моделировании. При изучении количественных характеристик сложныхобъектов, процессов явлений, пользуются методом математического моделирования,который состоит в том, что рассматриваемые закономерности формируются наматематическом языке и исследуются при помощи соответствующих математическихсредств. Математический модуль изучаемого объекта записывается при помощиматематических символов и состоит из совокупности уравнений, неравенств,формул, алгоритмов программ (для ЭВМ), в состав которых входят переменные ипостоянные величины, различные операции, функции, быть может, и их производные,и другие математические понятия. Приемами составления простейших математическихмоделей служит хорошо известный, из курса математики средней школы, приемрешения задач при помощи уравнений и систем уравнений – полученное уравнениеили система уравнений является математической моделью данной задачи. Это былипримеры задач с единственным решением – детерминированных задач. Однако частовстречаются задачи, имеющие много решений. В таких случаях на практикевозникает вопрос о нахождении такого решения, которое является наиболееподходящим для той или иной точки зрения. Такие решения называются оптимальнымирешениями.
Оптимальное решениеопределяется как решение, для которого некоторая функция называется целевойфункцией, принимает при заданных ограничениях наибольшее и наименьшее значения.Целевую функцию составляют из условия задачи, и она выражает величину, которуюнужно оптимизировать (т.е. максимизировать или минимизировать), — например,получаемую прибыль, расходы, ресурсы и т.п.
Оказывается, что широкийкласс, в частности задачи управления, составляют задачи в математическихмоделях которых условия на переменных создают неравенство или равенство. Теорияи методы решения таких задач составляет раздел математики, известный подназванием «Математическое программирование».
Если ограничения ицелевая функция является многочисленным первой степени (линейны), то такиезадачи составляют раздел математического программирования.
Математические моделибольших производных систем, как правило, имеют сложную структуру. В частности,в них количество переменных и неравенств или уравнений могут насчитыватьнесколько десятков и даже сотен степеней имеют довольно сложный вид. Такиезадачи решаются в вычислительных центрах с использованием большихвычислительных машин.
Следуя А.Н.Тихонову, впроцессе решения реальных задач методом математического моделирования вычисляемследующие пять этапов:
1. Построениекачественной модели, т.е. рассматривание явлений, выделение основных факторов иустановление закономерностей, которые имеют место в следующем явлении.
2. Построениематематической модели, т.е. перевод на язык математических состояний,установленных качественных закономерностей явлений. На этом же этапе состоянияцелевая функция, т.е. такая числовая характеристика переменных, наибольшему илинаименьшему значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зренияпредыдущего решения.
3. Решениеполучаемой задачи. В связи с тем, что часто математические модели являютсядовольно громадными, вычисления проводятся с помощью ЭВМ в вычислительныхцентрах.
4. Сопоставлениерезультатов вычислений являются неудовлетворительными, то переходят ко второмуциклу процесса моделирования, т.е. повторяют этапы 1, 2, 3 с должнымиуточнениями информации пока не будет достигнуто удовлетворительное соглашение симеющимися данными о модулируемом объекте.
Математические методынеобходимо применять при решении крупных задач, таких как: финансовыеотношения, планирование народного хозяйства, использование атомной энергией вшироких целях, создание больших воздушных и космических кораблей разногоназначения, обеспечение длительной работы научных экспедиций в космосе и т.д.
Однако было бы ошибочнодумать, что математические методы нужны только для решения крупных задач. Приизучении наук в средней школе мы встречаемся с применениями математическихметодов и вычислений в решении конкретных различных задач. Подобные задачивстречаются в ежедневной работе технических специалистов, экономистов,технологов. Поэтому работникам народного хозяйства, в какой бы области они нетрудились, необходимо владеть основными методами исследования и приемамивычисления, устным, письменным, и машинным счетам. Специалисты должны иметьполное представление о возможностях современной ЭВМ.
В средней школе мыознакомились с основными теориями уравнений, их систем, векторов,дифференциального и интегрального исчислениями и их применениями в решениипрактических задач.
Цель изучения математикив средних специальных заведениях состоит в том, чтобы углубить знания поизученным разделам и ознакомиться с некоторыми новыми разделами математики(аналитической геометрией, теорией вероятности и др.), которые обогащают общуюкультуру, развивает логическое мышление, широко используется в математическоммоделировании задач, с которыми встречается современный специалист в своейповседневной деятельности.
Типовой учебный план
Типовой учебный план – это документ, предназначенный дляреализации государственных требований к минимуму содержания и уровня подготовкивыпускных учебных заведений средне специального образования. Он определяетобщий перечень дисциплин, и обязательные объемы времени для их реализации, видыи минимальную продолжительность произведенной практики, примерный переченьучебных кабинетов, лабораторий и мастерских. В учебном плане также предусматриваетсякурсовое проектирование не более чем по трем дисциплинам во весь периодобучения. Виды производственной практики и их продолжительность определяется всоответствии с типовой учебной практики по заданной специальности. Графикучебного процесса носит рекомендательный характер и может быть откорректированучебным заведением при обязательном соблюдении продолжительности теоретическогообучения, экзаменационных сессий, а также сроков проведения зимних изавершающих учебный год летних каникул (см. таблицу 1).
ТАБЛИЦА 1№ п/п Наиме-нование уч. Дисцип-лины Распределение по семестрам Мин. кол-во конт. работ Количество часов 2к 4к Экзамен Зачет Курсовая Всего Теоретические занятия Практические и семинарские занятия Лабораторные занятия Курсовой проект 18нд 12нд 13нд 13нд 1. Цикл общеобразовательных 1 Высшая математика 7 /> 7 1 91 35 13 13 30 91 />
Из учебного плана видно,что на предмет «Высшая математика» всего отводится 91 час. Из них 35– теоретических, 13 – практических, 13 часов отводится на лабораторные занятияи 30 часов отведено на курсовой проект. Минимальное количество контрольныхработ составляет 1 работа. Зачета нет. Курсовой проект сдается в 7 семестре.Экзамен проводится в 7 семестре. Предмет «Высшая математика»изучается на 3 курсе. В 7 семестре обучения 13 недель, в неделю по 7 часов:13*7=91 час. Предмет полностью изучается на 3 курсе в 7 семестре.
Тематический план
Тематический план – является частью учебной программы.Учебная программа — это документ, в котором дается характеристикасодержания изучаемого материала по годам обучения и разделам (темам).Тематический план состоит из разделов, в которые входят темы. Тематический планраспределяет часы по разделам из общего количества часов. В тематическом планепо предмету «Высшая математика» в разделе «Дифференциальноеисчисление» отводится 36 часов.
ТАБЛИЦА 2№ п/п Наименование темы Количество часов Всего Теоретические занятия ЛПЗ /> Раздел 1. Дифференциальное исчисление 36 22 14 1 Производная 2 2 2 Производная суммы, разности, произведения и частного функции 2 2 3 Контрольная работа 2 2 4 Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций 2 2 5 Производные некоторых элементарных функций 2 2 6 Производные высших порядков 4 2 2 7 Правило Лопиталя 2 2 8 Приложения производной к исследованию функций 4 2 2 9 Построение графиков функций 2 2 10 Решение задач на наибольшее и наименьшее значение функций 2 2 11 Контрольная работа 2 2 12 Дифференциал функции 2 2 13 Формула Тейлора 4 2 2 14 Приближенное вычисление корней уравнений 2 2 15 Контрольная работа 2 2
На изучение раздела «Дифференциальноеисчисление» в предмете «Высшая математика», дается 36 часов. Изних: 22 часа теоретических занятий и 14 часов посвящены практическому изучению.
Календарно-тематическийплан
Календарно-тематическийплан – планирующееучетный документ, его целями является определение тематики, тип метода иоснащение уроков по выбранному предмету. Составление календарно-тематическогоплана является первым шагом создания поурочной систематизации. Исходнымдокументом здесь является учебная программа. Календарно тематический планпредусматривает межпредметные связи. При соответствии календарно-тематическогоплана учебной программе ориентируются на тематический план при составлениипоурочного плана. Календарно-тематический план (см. таблицу 3).
/>
/>
Разработка урока
Изучая учебную программу,преподаватель внимательно анализирует каждую тему, что дает возможность четкоопределить содержание обучения, установить межпредметные связи. На основеучебной программы составляется календарно-тематический план и уже на основекалендарно-тематического плана составляется поурочный план. При определениицели и содержания урока, вытекающей из учебной программы, определяетсясодержание записи, умений и навыков, которые учащиеся должны усвоить на данномуроке. Анализируя предыдущие уроки, и устанавливая в какой мере решены ихзадачи, выясняют причину недочетов, и на основе этого определяют какие изменениянеобходимо внести в проведения данного урока. Намечают структуру урока и времяна каждую ее часть, формируют содержание и характер воспитательной работы вовремя урока.
План урока
Предмет: Высшая математика Группа 636
Тема: Производная
Цели:
а) обучающая: Познакомитьучащихся с понятием производная, рассказать о ее свойства и методы нахождения
б) развивающая: Развитьинтерес к решению задач по данной теме
в) воспитательная: Выработатьпотребность в самообразовании
Тип урока: целевой
Метод изложения: словесный
Наглядные пособия: плакат
Время: 90 мин.
Ход урока
I. Вводная часть:
1. Организационныймомент: проверка по рапортичке время 2 мин.
2. Проверка домашнегозадания: время 15 мин.
Тест (приложение 1)
II. Основная часть:
1. Сообщение цели новойтемы
2. Изложение новогоматериала время 40 мин.
а) Задачи, приводящие кпонятию производной
б) Производная функции
в) Физический игеометрический смысл производной
г) Вычисление производнойна основе ее определения
д) Дифференцируемостьнепрерывной функции
3. Ответы на вопросыучащихся время 10 мин.
4. Закрепление новогоматериала время 20 мин.
Самостоятельная работа по4 вариантам (приложение 2)
III. Заключительная часть: время 3 мин.
1. Подведение итогов
2. Задание на дом:повторение темы, № 229, 235, 238
3. Заключительное словопреподавателя
Преподаватель:___________________________
Список литературы
1. Г.Л. Луканкин, Н.Н. Мартынов «Высшая математика», Москва «Просвещение»1988 год
2. Ю.К. Бабанский «Высшая математика», Москва «Просвещение»1988 год
3. Ю.К. Бабанский «Высшая математика», Москва «Просвещение»1983 год
4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев «Справочник поматематике», Москва «Просвещение» 1990 год
Приложение 1
ТЕСТ
1. Найдите предел />
а) 9
б) />
в) -9
г) -8
2. Вычислите предел />
а) 5
б) -1
в) -5
г) -/>
3. Вычислите предел />
а) cos />
б) />
в) />
г) />
4. Вычислите предел />
а) -2
б) />
в) />
г) 2
5. Вычислите предел />
а) -1
б) 2
в) -5
г) 1
Правильный ответ г)
Приложение 2
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
1. Найти мгновеннуюскорость в момент времени t0свободного падения тела в полетяжести Земли (I, II, III, IV).
2. Точка движетсяпрямолинейно по закону x(t) = V0t + />. Найдите мгновенную скорость этойточки:
I в.: при t = 0
II в.: в момент t0
III в.: при t = 7
IVв.: в момент времени t = 7c
3. Найдите производнуюфункции:
I в.: f(x) = x2
II в.: f(x) = 2x3 + 4x + 4
III в.: f(x) = />
IVв.: f(x) = 3x2 + 4
4. Найдите производнуюфункций в точках x = 1, x = 3.
I в.: f(x) = />
II в.: f(x) = (x + 5)2
III в.: f(x) = 4 – x3
IVв.: f(x) = 5x4 + 2x3– 3x + 6
5. Найдите производнуюфункций в данных точках.
I в.: f(x) = cos x, при х = />
II в.: f(x) = tg x, при х = />
III в.: f(x) =cos 2x, при х = />
IVв.: f(x) = x2 + 4x + 72, при х = -5
Приложение 3
Конспект урока на тему«Производная»
1. Задачи, приводящиек понятию производной.
Рассмотрим движениематериальной точки М вдоль оси Ох (рис.1). За начало отсчета (точка О) примемположение материальной точки в момент времени t = 0. Пусть в момент времени t координата движущейся точки х равна f(t), т.е. координатах материальной точки есть функция времени:
Х = f(t), t Є[0; T]
О М х
Эта функция называетсязаконом движения, задается формулой:
X = Vt
На практике поезда,автомобили движутся равномерно и прямолинейно лишь на некоторых участках, а вобщем случае их движение неравномерное. При неравномерном прямолинейномдвижении материальная точка за разные, но равные по длительности промежуткивремени может совершать разные как по времени, так и по направлениюперемещения. Для неравномерного движения вводится понятие средней скорости Vср, которая зависит от выбора моментоввремени t0и t1:
Vср (t1, t0) = />
Проиллюстрируем сказанноепримером. Из курса физики известно, что свободное падение тел в поле тяжести Землиявляется неравномерным движением и совершается по закону х = />, где g – ускорение свободного падения. Его средняя скорость запервую секунду движения, т.е. за промежуток времени от момента t0= 0 до момента времени t1 = 1, равна:
Vср(1, 0) = />,
в то время как для второйсекунды движения (t1 = 2, t0= 1) она уже равна в три раза большему значению:
Vср(2, 1) = /> = />
Средняя скорость не можетполностью характеризовать неравномерное движение. Для полной характеристикивводят так называемую мгновенную скорость. Очевидно, что средняя скорость Vср (t1, t0) тем полнее характеризует движениеза промежуток времени от t0до t1, чем меньше длительность этого промежутка. Предел среднейскорости за промежуток времени от t0 до t1 при t1, стремящимся к t0, называется мгновенной скоростью V(t0) в момент времени t0, т.е.:
/>
/>
ЛИСТ
3
КР – КФЗ – 0313092-624-02 />
ЛИСТ
4
КР – КФЗ – 0313092-624-02 />
ЛИСТ
5
КР – КФЗ – 0313092-624-02 />
ЛИСТ
6
КР – КФЗ – 0313092-624-02 />
ЛИСТ
7
КР – КФЗ – 0313092-624-02 />
2. Производная функции
В рассмотренных вышезадачах различные физические величины вводились с помощью некоторого пределаодного и того же вида. Поэтому имеет смысл рассмотреть предел для функции вобщем случае.
Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0– некоторая точка интервала (a; b). Предел /> называется производнойфункции f(x) в точке x0и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:
f ′ (x0) = />
Функция, имеющаяпроизводную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале.Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием иобозначается с помощью штриха.
Если ввести приращениеаргумента />х = х – х0и приращение функции />f = f(x) – f(x0) = f(x0+ />x) – f(x0), то производная функции f(x) в точке x0запишется в виде:
f ′ (x0) = />
Часто для обозначенияпроизводной вместо штриха используется символ />.
Так как х0–произвольное значение аргумента, то будем обозначать его просто Х. Тогда:
f ′ (x) = />
Возвращаясь крассмотренным выше задачам, можем теперь сказать, что искомые величинамгновенной скорости движения V(t) является производной от соответствующейфункции:
V(t) = x ′ (t)
3. Физический и геометрический смысл производной.
Дадим геометрическоеистолкование производной. Пусть кривая К является графиком непрерывной функцииу = f(x), x Є [a; b] (рис. 2). На кривой К рассмотрим точки М0(х0;у0) и М1(х1; у1) и проведем секущуюМ0М1. Ее угловой коэффициент k = tg/> равен:
/>
Пусть теперь />, т.е. абсцисса точки М1стремиться к абсциссе точки М0, оставаясь на кривой К. При этомсекущая М0М1, вообще говоря, меняет свое положение,вращаясь вокруг точки М0, т.е. изменяет угол />.
) Если функция f(x) дифференцируема в точке х0,то существует предел:
/> =/>
/>
и следовательно,существует прямая М0Т, являющаяся предельным положением секущей приприближении точки М1 по кривой к М0. Эта прямаяназывается касательной к кривой К в точке М0.
Таким образом, еслифункция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то ее график имееткасательную в точке М0(х0; f(x0)), угловой коэффициент которой равен/>. Сказанное позволяет дать следующеегеометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x0равна угловому коэффициентукасательной к графику функции в точке М0(х0; f(x0)).
4. Вычислениепроизводной на основе ее определения.
Исходя из определенияпроизводной сформулируем следующее правило нахождения производной функции вточке:
Чтобы вычислитьпроизводную функции f(x) в точке x0нужно:
1) Найти f(x) — f(x0);
2) составить разностноеотношение />;
3) вычислить пределразностного отношения при />:
/>.
5. Непрерывностьдифференцируемой функции.
Сформулируем и докажемнеобходимое условие существования производной.
Теорема: Если функция f(x) имеет производнуюв точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Согласно условию теоремыфункция f(x) в точке x0дифференцируема, т.е. существуетпредел:
/>/>
Используя свойствопредела, запишем это равенство в следующем виде:
/>,
где />. Домножим равенство на (х – х0),находим, что дифференцируемая в точке x0функцияпредставима в окрестности этой точки в виде:
/>,
где />. Переходя к пределу при /> в равенстве получаем:
/>.
Последнее означаетнепрерывность функции f(x) в точке x0.
Замечание. Из доказанной теоремы легкоусмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она вэтой точке не имеет производной.
Таким образомнепрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далеезаметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условиемсуществования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. изнепрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
Методика проведенияурока.
Захожу в кабинет,здороваюсь с учащимися.
Начинается вводная частьурока.
I. Вводная часть:
1. Организационныймомент: проверка по рапортичке время 2 мин.
Проверяю наличие учащихсяпо рапортичке. На проверку наличия учащихся на уроке отвожу 2 минуты. Затемделаю опрос домашнего задания.
2. Проверка домашнегозадания: время 15 мин.
Тест
Опрос провожу в видетеста из 5 вопросов. В тест включаю вопросы по пройденной теме. На тест отвожу15 минут.
ТЕСТ
1. Найдите предел />
а) 9
б) />
в) -9
г) -8
2. Вычислите предел />
а) 5
б) -1
в) -5
г) -/>
3. Вычислите предел />
а) cos />
б) />
в) />
г) />
4. Вычислите предел />
а) -2
б) />
в) />
г) 2
Правильный ответ г)
5. Вычислите предел />
а) -1
б) 2
в) -5
г) 1
Правильный ответ Г.
В результате теста, ясмогу определить, как был усвоен материал, данный на предыдущем уроке. Сделаювыводы:
а) правильно ли былподобран тип урока и метод изложения нового материала;
б) правильно ли былпреподнесен материал;
в) выявлю пробелы взнаниях по пройденной теме;
г) выявлю учеников,которым был не доступен материал и позанимаюсь с ним на дополнительном уроке;
д) выявлю учеников,которым можно давать опережающие задания для их самообразования;
е) исправлю ошибки впроведении урока, выясненные при тестировании класса.
Перехожу к основной частиурока.Где сообщаю цели новой темы. Излагаю новый материал. Отвечаю на вопросыучащихся. Закрепляем пройденный материал самостоятельной работой по 4вариантам. На основную часть отделяю 70 минут.
II. Основная часть:
1. Сообщение цели новойтемы
2. Изложение новогоматериала время 40 мин.
а) Задачи, приводящиек понятию производной
Из курса физики известно,что свободное падение тел в поле тяжести Земли является неравномерным движениеми совершается по закону х = />, где g – ускорение свободного падения. Егосредняя скорость за первую секунду движения, т.е. за промежуток времени отмомента t0= 0 до момента времени t1 = 1, равна:
Vср(1, 0) = />,
в то время как для второйсекунды движения (t1 = 2, t0= 1) она уже равна в три раза большему значению:
Vср(2, 1) = /> = />
Средняя скорость не можетполностью характеризовать неравномерное движение. Для полной характеристикивводят так называемую мгновенную скорость. Очевидно, что средняя скорость Vср (t1, t0) тем полнее характеризует движениеза промежуток времени от t0до t1, чем меньше длительность этого промежутка. Предел среднейскорости за промежуток времени от t0 до t1 при t1, стремящимся к t0, называется мгновенной скоростью V(t0) в момент времени t0, т.е.:
/>
б) Производная функции
Определение.
Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0– некоторая точка интервала (a; b).
Предел /> называется производной функции f(x) в точке x0и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:
f ′ (x0) = />
Функция, имеющаяпроизводную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале.
Операция нахожденияпроизводной данной функции называется дифференцированием и обозначается спомощью штриха.
в) Физический игеометрический смысл производной
Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то ее график имееткасательную в точке М0(х0; f(x0)), угловой коэффициент которой равен/>. Сказанное позволяет дать следующеегеометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x0равна угловому коэффициентукасательной к графику функции в точке М0(х0; f(x0)).
г) Вычислениепроизводной на основе ее определения.
Исходя из определенияпроизводной, сформулируем следующее правило нахождения производной функции вточке:
Чтобы вычислитьпроизводную функции f(x) в точке x0нужно:
1) Найти f(x) — f(x0);
2) составить разностноеотношение />;
3) вычислить пределразностного отношения при />:
/>.
д) Непрерывностьдифференцируемой функции.
Сформулируем и докажемнеобходимое условие существования производной.
Теорема: Если функция f(x) имеет производнуюв точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Согласно условию теоремыфункция f(x) в точке x0дифференцируема, т.е. существуетпредел:
/>/>
Используя свойствопредела, запишем это равенство в следующем виде:
/>,
где />. Домножим равенство на (х – х0),находим, что дифференцируемая в точке x0функцияпредставима в окрестности этой точки в виде:
/>,
где />. Переходя к пределу при /> в равенстве получаем:
/>.
Последнее означаетнепрерывность функции f(x) в точке x0.
Замечание. Из доказанной теоремы легкоусмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она вэтой точке не имеет производной.
Таким образом,непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далеезаметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условиемсуществования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. изнепрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
3. Ответы на вопросыучащихся время 10 мин.
4. Закрепление новогоматериала время 20 мин.
Самостоятельная работа по4 вариантам
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО4 ВАРИАНТАМ
1. Найти мгновеннуюскорость в момент времени t0свободного падения тела в полетяжести Земли (I, II, III, IV).
2. Точка движетсяпрямолинейно по закону x(t) = V0t + />. Найдите мгновенную скорость этойточки:
I в.: при t = 0
II в.: в момент t0
III в.: при t = 7
IVв.: в момент времени t = 7c
3. Найдите производнуюфункции:
I в.: f(x) = x2
II в.: f(x) = 2x3 + 4x + 4
III в.: f(x) = />
IVв.: f(x) = 3x2 + 4
4. Найдите производнуюфункций в точках x = 1, x = 3.
I в.: f(x) = />
II в.: f(x) = (x + 5)2
III в.: f(x) = 4 – x3
IVв.: f(x) = 5x4 + 2x3– 3x + 6
5. Найдите производнуюфункций в данных точках.
I в.: f(x) = cos x, при х= />
II в.: f(x) = tg x, при х = />
III в.: f(x) =cos 2x, при х = />
IVв.: f(x) = x2 + 4x + 72, при х = -5
Подхожу к заключительнойчасти урока, в которой подвожу итоги урока. Выделяю основные моменты темы,подчеркиваю необходимость изучения данной темы.
Выдаю домашнее задание.
Подвожу итоги урока.
Выставляю оценки активнымучащимся, для поощрения их потребности самообразования.
III. Заключительная часть: время 3 мин.
1. Подведение итогов
Еще раз выделяю наиболееважную информацию по производной.
Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0– некоторая точка интервала (a; b).
Предел /> называется производной функции f(x) в точке x0и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:
f ′ (x0) = />
Функция, имеющаяпроизводную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале.Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием иобозначается с помощью штриха.
Чтобы вычислитьпроизводную функции f(x) в точке x0нужно:
1) Найти f(x) — f(x0);
2) составить разностноеотношение />;
3) вычислить пределразностного отношения при />:
/>.
Теорема: Если функция f(x) имеетпроизводную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Согласно условию теоремыфункция f(x) в точке x0дифференцируема, т.е. существуетпредел:
/>/>
Используя свойствопредела, запишем это равенство в следующем виде:
/>,
где />. Домножим равенство на (х – х0),находим, что дифференцируемая в точке x0функцияпредставима в окрестности этой точки в виде:
/>,
где />. Переходя к пределу при /> в равенстве получаем:
/>.
Последнее формулаозначает непрерывность функции f(x) в точке x0.
Замечание. Из доказанной теоремы легкоусмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она вэтой точке не имеет производной.
Таким образом,непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далеезаметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условиемсуществования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. изнепрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
2. Задание на дом:повторение темы, № 229, 235, 238
3. Заключительное словопреподавателя: Прощаюсь с учениками./> /> /> /> /> /> />