Содержание
Иррациональныеуравнения
Числоваяфункция. Способы задания функции
Основныесвойства функции
Графикифункций. Простейшие преобразования графиков функцией
Обратнаяфункция
Степеннаяфункции, её свойства и графики
Показательнаяфункция, её свойства и графики
Показательныенеравенства
Логарифмыи их свойства
Логарифмическиеуравнения
Тригонометрическиефункции числового аргумента
Функцияy sinx ее свойства и график
Обратныетригонометрические функции, их свойства и графики
Частныеслучаи тригонометрических уравнений
Тригонометрическиеуравнения
Аксиомыстереометрии и следствия из них
Взаимноерасположение двух прямых в пространстве
Скрещивающиесяпрямые. Признак скрещивающихся прямых
Теоремао трех перпендикулярах
Алгебра
Действительные числа. Приближениедействительных чисел конечными десятичными дробями.
Веще́ственное, илидействи́тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, атакже проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2].Если натуральные числа возникли в процессесчета, рациональные — из потребности оперироватьчастями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывныхвеличин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело кмножеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает такжедругие элементы, называемые иррациональными числами.
Абсолютная погрешность и еёграница.
Пусть имеется некоторая числоваявеличина, и числовое значение, которое ей присвоено />,считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовойвеличины (ошибкой) />понимают разностьмежду точным и приближенным значением числовой величины: />. Погрешность может принимать какположительное так и отрицательное значение. Величина />называетсяизвестным приближением к точному значению числовой величины — любоечисло, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественноймерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностьюприближенного значения />называют величину />, про которую известно, что: /> Относительнаяпогрешность и её граница.
Качество приближениясущественным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин,поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чеговводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностьюприближенного значения называют величину />, прокоторую известно, что: />.Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использованиеотносительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят отмасштабов величин и единиц измерения.Иррациональные уравнения
Уравнение, в которых под знакомкорня содержится переменная, называют иррациональными. При решениииррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например,что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. Всамом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12=(-1) 2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения,используя равносильные переходы.
Возведём обе части этогоуравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; иподставим.
Комплексные числа. Действия надкомплексными числами.
Ко́мпле́ксныечи́сла- расширение множества вещественных чисел,обычно обозначается />. Любое комплексное число можетбыть представлено как формальная сумма x + iy,где x и y — вещественныечисла, i — мнимая единица Комплексные числа образуюталгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеетровно nкомплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна изосновных причин широкого применения комплексных чисел в математическихисследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно икомпактно сформулировать многие математические модели, применяемые вматематической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Сравнение a + bi =c + di означает, что a = c и b = d (двакомплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны ихдействительные и мнимые части).
Сложение (a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание (a+ bi) − (c + di) = (a − c) + (b− d) i.
Умножение
/>
Деление />Числовая функция. Способы задания функции
В математике числовая функция — это функция, области определения и значенийкоторой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества действительных чисел /> илимножества комплексных чисел/>.
Словесный: С помощьюестественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощьюаналитической формулы f (x) = x!
Графический С помощью графика /> Фрагментграфика функции />.
Табличный: С помощью таблицызначений x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Основные свойства функции
1) Область определенияфункции и область значений функции. Область определения функции — этомножество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменнойx), при которых функция y = f (x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимаетфункция. В элементарной математикеизучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции — такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежуткизнакопостоянства функции — такие множества значений аргумента, на которыхзначения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонностьфункции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, укоторой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большеезначение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция,у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшеезначение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно началакоординат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетнаяфункция — функция, у которой область определения симметрична относительноначала координат и для любого х из области определения справедливоравенство f (-x) = — f (x). График нечетной функции симметриченотносительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функцияназывается ограниченной, если существует такое положительное число M,что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, тофункция — неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x)- периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что длялюбого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такоенаименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрическиефункции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).Графики функций. Простейшие преобразования графиковфункцией
График функции — множествоточек, у которых абcциссы являются допустимыми значениямиаргумента x,а ординаты — соответствующими значениями функции y.
/>Прямая линия — график линейнойфункции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 иубывает при a
/>Парабола — график функцииквадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальнуюось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а ax2 + bx +с =0
/>Гипербола — график функции />. При а > О расположена в I и IIIчетвертях, при а 0) или у — х (а
/>Логарифмическая функция y = logax(a > 0)
Тригонометрические функции. Припостроении тригонометрических функций мы используем радианную меруизмерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком(рис. 19). Эта кривая называется синусоидой.
/>График функции y= cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная врезультате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влевона />/2.
/>/>
Основные свойства функций. Монотонность,четность, нечетность, периодичность функций.
Область определения функции иобласть значений функции. Область определения функции — этомножество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменнойx), при которых функция y = f (x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимаетфункция.
В элементарной математике изучаются функциитолько на множестве действительных чисел.2) Нуль функции — такоезначение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежуткизнакопостоянства функции — такие множества значений аргумента, на которыхзначения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонностьфункции.
Возрастающая функция (внекотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этогопромежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (внекотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этогопромежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции.Четная функция — функция, у которой область определения симметричнаотносительно начала координат и для любого х из области определениявыполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметриченотносительно оси ординат. Нечетная функция — функция, у которой областьопределения симметрична относительно начала координат и для любого х изобласти определения справедливо равенство f (-x) = — f (x). Графикнечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная инеограниченная функции. Функция называется ограниченной, еслисуществует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всехзначений x. Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.7)Периодическость функции. Функция f (x) — периодическая, еслисуществует такое отличное от нуля число T, что для любого x из областиопределения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее числоназывается периодом функции. Все тригонометрические функции являютсяпериодическими. (Тригонометрические формулы).
Периодические функции. Правиланахождения основного периода функции.
Периоди́ческаяфу́нкция ― функция, повторяющая свои значения черезкакой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении каргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрическиефункции являются периодическими. Являются неверными утвержденияотносительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (дажеосновными) периодами T1 и T2 являетсяфункция с периодом НОК (T1,T2).Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодамиявляется непериодической функцией. Не существует периодических функций, неравных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.
Построение графиков степенныхфункций.
Степенная функция. Этофункция: y = axn, где a, n — постоянные. При n= 1 получаем прямую пропорциональность: y =ax; при n= 2 — квадратную параболу; при n = 1 — обратнуюпропорциональность илигиперболу. Таким образом, эти функции — частныеслучаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличногоот нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращаетсяв постоянную величину: y =a, т. e. её график — прямая линия,параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста,почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n />0) и рис.14 (n x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:
/>/>.Обратная функция
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость,выражаемую данной функцией. Функция />является обратной к функции />, есливыполнены следующие тождества: />для всех /> />для всех />
Предел функции в точке. Основныесвойства предела.
Корень n-ой степени и егосвойства.
Корнем n-ой степени из числа aназывается такое число, n-ая степень которого равна a.
Определение: Арифметическимкорнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степенькоторого равна a.
Основные свойства корней:
/>
Степень с произвольнымдействительным показателем и его свойства.
Пусть дано положительное число />и произвольноедействительное число />. Число />называется степенью, число /> - основанием степени, число /> - показателемстепени.
По определению полагают:
/>.
/>.
/>, />.
Если />и /> - положительныечисла, />и /> - любые действительные числа,то справедливы следующие свойства:
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
/> .
/>