Гатчинскийсоциально-гуманитарный институт (филиал)
автономногообразовательного учреждения высшего профессиональногообразования
Ленинградскийгосударственный университет им. А. С. Пушкина
Факультет:МФИ
КУРСОВАЯРАБОТА
Дисциплина: Геометрия
Геометрияместа точек на плоскости
Студент: Кузвесов И. Н.
3-го курса
Научный руководитель:
Игнатьева И. В.
Гатчина
2009
План
Введение
1. Определение геометрического местаточек
2. Сущность метода геометрическихмест
3. Основные геометрические местаточек на плоскости
4. Примеры задач на геометрическиеместа точек
Список литературы
Введение
Геометрия – это наука о свойствахгеометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский языкозначает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что вдревнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей наземной поверхности.
Легко представить себеповерхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическаяповерхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление не полно.Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим её в мыльную пену.Если мы осторожно извлечем её из пены, то увидим, что просвет в проволочном«кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлятьсебе поверхность именно как тонкую пленку (но лишенную всякой толщины).
Важнейшая и простейшаяповерхность — плоскость. Прямая m, лежащая в плоскости, разбивает её на двечасти — полуплоскости; точки этой прямой и только они являются общими точкамиобеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, а В — другой, тоотрезок АВ пересекает границу m полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей междуА и В.
Плоскости задаются тремяточками и обозначаются часто так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бываетпроще обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита: a, b, g, d...
Под фигурой обычнопонимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в однойплоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков(иногда и плоскостей).
Под телом понимают обычночасть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус- тело, ограниченное канонической поверхностью с боков и плоским круглымоснованием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курсгеометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметриирассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников,окружностей), лежащих в плоскости. В стереометрии изучаются свойствапространственных фигур и тел.
1. Определениегеометрического места точек
Геометрическое местоточек – этомножество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.
Пример 1. Срединныйперпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множествовсех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:
Тогда, расстояния отлюбой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезкаAB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляраотрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
Пример 2. Окружность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых отеё центра (одна из этих точек – А).
Тогда отрезок,соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом иобозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называетсякругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точкиM и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности- хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметроми обозначается d или D. Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d= 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка Аопределяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежазадан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезкиАХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построениядостаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можнонайти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ — выражаетабсциссу точки А, отрезок АХА' — ее ординату, отрезок АХА" — аппликату. Еслизадается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельнаяплоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость являетсягеометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаютсядве координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатнойоси.
Например, имея заданнымиабсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (это прямая АВ). Онаявляется линией пересечения двух плоскостей _ и _, где _ — геометрическое местоточек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, укоторых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. Если задаютсявсе три координаты, то этим определяется точка. Точка К, полученная в пересечениитрех плоскостей, из которых _ есть геометрическое место точек по заданнойабсциссе, _ — по заданной ординате и _ — по заданной аппликате. Точка можетнаходиться в любом из восьми октантов. Следовательно, нужно знать не толькорасстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление,по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительнымичислами.
2. Сущность методагеометрических мест
Сущность методагеометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем.Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям.Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигураF1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию,есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрическиеместа простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем ихпостроить и найти интересующую нас точку X.
Ломаной А1А2А3…Anназывается фигура, которая состоит из точек А1, А2, …, Anи соединяющих их отрезков А1A2, A2A3,…, An-1, An.ТочкиА1, А2, …, Аn называются вершинамиломаной, а отрезки A1A2, A2A3, …, An-1,An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеетсамопересечений (рис. 1).
/>
Рис. 1
А1A2A3A4– простая ломаная из трёх звеньев.
Ломаная называетсязамкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называетсямногоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершиныломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника.Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называютсядиагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называетсяn-угольником.
Плоским многоугольником имногоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченнаямногоугольником.
Многоугольник называетсявыпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой,содержащей его сторону (рис. 2). Многоугольник называется невыпуклым, если оноказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 3).
/>
Рис. 2
/>
Рис. 3
Выпуклый многоугольникназывают правильным, если у него все стороны равны, и все углы равны.
Многоугольник называетсявписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороныкасаются некоторой окружности.
Геометрия частоприменяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, ихудожнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Планиметрия – это разделгеометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигура – это произвольноемножество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг,квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическимифигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии недаётся определений.
Также не определяютсятакие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходитьчерез…» и так далее.
Остальным геометрическимфигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, вкотором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этомразъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
Существует несколькоподходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом): аксиоматический,аналитический, векторный, групповой.
Аксиоматическая теориястроится следующим образом:
1) даются неопределяемыепонятия (в нашем случае это точка и прямая);
2) вводятся неопределяемыеотношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
3) даётся система аксиом– то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
4) на основе аксиом изаконов математической логики доказываются теоремы.
Аксиом, как правило,немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можноотнести следующие:
1. Какова бы ни былапрямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащиеей.
Через любые две точкиможно провести прямую, и только одну.
2. Из трёх точек наданной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеетопределённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, накоторые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбиваетплоскость на две полуплоскости.
5. Каждый угол имеетопределённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°.Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбиваетсялюбым лучом, проходящим между его сторонами.
6. На любом луче от егоначальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любого луча взаданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей180°, и только один.
8. Каков бы ни былтреугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположенииотносительно данного луча.
9. Через точку, нележащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельнойданной.
3. Основныегеометрические места точек на плоскости
Геометрическим местомточек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла(рис. 4). АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
/>
Рис. 4.
Геометрическим местомточек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная котрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 5). MA =MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
/>
Рис. 5.
Геометрическим местомточек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром вэтой точке (рис. 6). Точка О равноудалена от точек окружности.
/>
Рис. 6.
Местоположение центраокружности, описанной около треугольника.
Центр окружности,описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров ксторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 7). А, В, С– вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.
Точки М и К – основанияперпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.
/>
Рис. 7.
Местоположение центраокружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности,вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 8). В⊿ABC отрезки AT и СК являютсябиссектрисами.
/>
Рис. 8.
4. Примеры задач нагеометрические места точек
1. Два колеса радиусов r1 и r2катаются по прямой l. Найдитемножество точек пересечения M их общих внутренних касательных.
Решение : Пусть O1 и O2— центры колес радиусов r1 и r2 соответственно. Если M — точка пересечения внутреннихкасательных, то O1M: O2M = r1:r2. Из этого условия легко получить,что расстояние от точки M до прямой l равно 2r1r2/(r1 + r2).Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой,параллельной прямой l и отстоящей от нее на расстояние 2r1r2/(r1 + r2).
2. Найдите геометрическоеместо центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Решение: Пусть окружность с центром Oпроходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности),точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точкаO, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B.Значит, точка O — центр окружности, проходящей через точки A и B.
3. Стороны AB и CDчетырехугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутричетырехугольника, для которых SABX + SCDX = S/2.
Решение: Пусть O — точка пересечения прямых ABи CD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OK и OL, равные AB и CD соответственно.Тогда SABX + SCDX = SKOX + SLOX±SKXL. Следовательно, площадь треугольника KXL постоянна, т. е.точка X лежит на прямой, параллельной KL.
4. На плоскости даныточки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM иBM постоянна.
Решение: Введем систему координат, выбравточку A в качестве начала координат и направив ось Ox по лучу AB. Пусть точка Mимеет координаты (x, y). Тогда AM2= x2 + y2 и BM2= (x — a)2 + y2, где a = AB. Поэтому AM2 — BM2= 2ax — a2. Эта величина равна k для точек M скоординатами ((a2 + k)/2a, y); все такие точки лежатна прямой, перпендикулярной AB.
5. Дан прямоугольникABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX + BX = CX + DX.
Решение: Пусть l — прямая, проходящая черезсередины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l,например что точки A и X лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX
6. Даны две прямые,пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезковOX на эти прямые постоянна.
Решение: Пусть a и b — единичные векторы,параллельные данным прямым; x равен вектору ох. Сумма длин проекций вектора xна данные прямые равна |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, причем смена знакапроисходит на перпендикулярах, восставленных из точки O к данным прямым.Поэтому искомое ГМТ — прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисамуглов между данными прямыми, а вершины лежат на указанных перпендикулярах.
7. Даны окружность S иточка M вне ее. Через точку M проводятся всевозможные окружности S1, пересекающие окружность S; X — точка пересечениякасательной в точке M к окружности S1с продолжением общей хорды окружностей S и S1. Найдите ГМТ X.
Решение: Пусть A и B — точки пересеченияокружностей S и S1. Тогда XM2 = XA. XB = XO2 — R2, где O и R— центр и радиус окружности S. Поэтому XO2 — XM2 = R2, а значит, точки X лежат на перпендикуляре к прямойOM.
8. Даны двенепересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центровокружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их вдиаметрально противоположных точках).
Решение: Пусть O1 и O2— центры данных окружностей, R1и R2 — их радиусы. Окружность радиуса r сцентром X пересекает первую окружность в диаметрально противоположных точкахтогда и только тогда, когда r2= XO12 + R12, поэтомуискомое ГМТ состоит из таких точек X, что XO12+ R12 = XO22 + R22, все такие точки X лежат на прямой, перпендикулярнойO1O2.
9. Внутри окружностивзята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных кокружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.
Решение:Пусть O — центр окружности, R — еерадиус, M — точка пересечения касательных, проведенных через концы хорды,содержащей точку A, P — середина этой хорды. Тогда OP * OM = R2 и OP = OA cos f, гдеf = AOP. Поэтому AM2 = OM2+ OA2 — 2OM * OA cos f = OM2 + OA2 — 2R2, а значит, величина OM2 — AM2= 2R2 — OA2 постоянна. Следовательно, все точки M лежат напрямой, перпендикулярной OA.
10. Найдитегеометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих темсвойством, что AMD + BMC = 180o.
Решение: Пусть N — такая точка, что вектора MN = DA. Тогда NAM =DMA и NBM = BMC, поэтому четырехугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанногочетырехугольника AMBN равны, поэтому AM| BN или BM| AN. В первом случае AMD =MAN = AMB, а во втором случае BMC = MBN = BMA. Если AMB = AMD, то AMB + BMC =180o и точка M лежит на диагонали AC, аесли BMA = BMC, то точка M лежит на диагонали BD. Ясно также, что если точка Mлежит на одной из диагоналей, то AMD + BMC = 180o.
11. а) Дан параллелограммABCD. Докажите, что величина AX2+ CX2 — BX2 — DX2не зависит от выбора точки X.
б) Четырехугольник ABCDне является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющиесоотношению AX2 + CX2 = BX2+ DX2, лежат на одной прямой, перпендикулярнойотрезку, соединяющему середины диагоналей.
Решение: Пусть P и Q — середины диагоналей ACи BD. Тогда AX2 + CX2 = 2PX2+ AC2/2 и BX2 + DX2= 2QX2 + BD2/2, поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точекX, что PX2 — QX2 = (BD2 — AC2)/4, а в задаче a) P = Q, поэтомурассматриваемая величина равна (BD2 — AC2)/2.
Литература
1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебникдля 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.
2. Савин А.П. Метод геометрическихмест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классовсредней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А.Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.:Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997,с. 76.
5. Интернет ресурс:matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm