М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Полнаяэнергия заряженной системы определяется как
/> (24)
Онасостоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействиякаждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можноразбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Длявычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается толькоим создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all — напротив, потенциалвсех тел, кроме i-го: W =
/> (25) =
/>
Приналичии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞.Собственные энергии таких объектов и полная энергия — формально — равны ∞,так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.
Вслучае двух тел энергия их взаимодействия — это энергия взаимодействия первоготела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела спервым Wint, 2, 1:
/> (26)
Силавзаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороныпервого тела на второе или (что — с точностью до знака — то же самое) как сила,с которой второе тело действует на первое:
/> (27)
Здесь/> — поле, создаваемое одним первым, а /> — одним вторымтелом.
Задача.Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергиюзаряженного шара.
Решение:Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гауссаполе:
/> =
/> =
/>
Этополе мы интегрируем, получая φ(r) для rφ(r) =
/>
/>
Имеяпотенциал и записав dq как dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ
можнонайти энергию шара непосредственным интегрированием: Wown =
/>
/>
/>
Этаэнергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одноготела.
Задача.Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найтиэнергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.
Ответ:/>, />, />плоскости.
/>
/>
Задача.Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, икольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.
Решение:Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряданити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити:
/>
Мыосуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольцатак, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить — вдоль оси z, занимаяобласть координат z>0. Тогда dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ
Полекольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона(Раздел 1), которое в итоге даёт:
/>
Поле,создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно:
/>
Послеэтого проводим интегрирование с целью нахождения силы:
/> =
/>
/> =
/>
Каки должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить />, с точностью до знака равна силе, действующей состороны нити на кольцо /> — всоответствии с третим законом Ньютона.
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661 с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe.ru/r