Содержание
1)Поверхностныйинтеграл второго рода
2)Вычисление интегралапо поверхности
3)ТеоремаОстроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интегралтеорема доказательство
Интеграл по поверхности
Поверхность будемрассматривать/>
1. какобраз замкнутой области /> при непрерывном отображении />
2. Отображениеможно задать в векторном виде /> в каждой точке гладкойповерхности />
3. Для/> существуетнормаль /> ,перпендикулярный к касательным /> кривым /> в точке />. Следовательно /> равен векторномупроизведению касательных к /> векторов:
/>
/> , />
/>
поверхность />
/> —
направление касательныхпрямых к /> и/> в т./>к поверхности />
/>
/>
/>.
Направляющие косинусынормали /> кповерхности />
/>
Задание векторного поляхарактеризует задание вектор функции:
/>
Примеры векторныхполей:
/> — поле скоростей текущейжидкости или газа.
- гравитационное поле
-электростатистическое поле.
Если в какой то области/>, заполненной жидкостью (илигазом), текущей с некоторой скоростью />, к каждой точке /> можно поставить всоответствие векторное поле />, то получим векторное полескоростей текущей жидкости.
Поверхностный интегралвторого рода.
Определение интеграла поповерхности.
Вычисление.
Дано: /> -область ограниченная поверхностью />
/>
Дано: /> — поверхность/>
/>
-векторное полескоростей текущей жидкости или газа через поверхность /> в направлении нормали />.
Функции /> — непрерывны в области /> сграницей />.
Т/н: поток жидкости (или газа) через поверхность /> в направлении />.
Решение.
1. Поверхность/>разобьем на /> произвольных частей.
/>
2. Выберемпо точке />
/>
3. Вычислим/>скоростьтечения жидкости в точке />
4. Определим/>, где />-скалярноепроизведение
/> -единичная нормаль кповерхности /> в точке />
/> — вектор в точке />.
5. Составим/>
6. Найдем/>
Механический смыслинтеграла по поверхности
/>
/>
/>
/> —
объем цилиндра соснованием /> ивысотой />.
Если />-скоростьтечения жидкости, то /> равно количеству жидкости илигаза протекающий через поверхность /> за единицу времени в направлениинормали />.
/> — общее количествожидкости или газа протекающей через поверхность /> в положительном направлениинормали /> равен потоку векторного поля /> черезповерхность /> внаправлении нормали />.
Вычисление интеграла поповерхности
Пусть нормаль />:
/>
/>
/>
Заметим, что
/>
/>
Действительно, /> как углы совзаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно />, />-угол между касательной плоскостьюк /> и егопроекцией на плоскость />
Следовательно />
/>
Вычисление интеграла поповерхности.
1. />
/>
/>
Аналогично
/>
/>
Пример 1.
Найти поток вектора /> через частьповерхности параболоида
/> в направлениивнутренней нормали.
/>
/>
/>-проектируется на /> с двух сторон и/> образуетс осью Ох углы /> (острый и тупой ) />
/>
Аналогично
/>
/>
Пример 2. Вычислить />, где />-сфера />, нормаль />внешняя.
/>
Пример 3. Найти потоквектора /> черезчасть сферы /> в направлении внешней нормали
/>
/>
Пример 4. /> />
/> />
Пример 5. />
/>
/>
ТеоремаОстроградского-Гаусса.
Дивергенция.
/>
/>-поток вектора черезповерхность /> внаправлении /> заединицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области /> и количествомжидкости втекающей в область />.
1. />. Следовательно изобласти /> жидкостивытекает столько же сколько втекает.
2. />жидкости или газа вытекаетбольше, внутри /> существует источник.
3. /> жидкости или газавтекает больше чем вытекает, внутри /> существует сток.
Чтобы оценить мощностьисточников и стоков внутри /> нам необходима теоремаОстроградского-Гаусса.
/>
Если />-непрерывна вместе счастными производными в области /> то:
/>
Поток изнутри /> равенсуммарной мощности источников и стоков в области />
за единицу времени.
Величина потокавектора через замкнутую поверхность />:
/> является глобальнойхарактеристикой векторного поля в области /> и очень приблизительно позволяетсудить о наличии источников и стоков в области />.
· Потокпредставляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали/>, а неабсолютное количество жидкости прошедшей через /> независимо от направлениятечения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределениястоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотностьпотока в точке):
Дивергенция:
Определение:/>/> — /> стягивается в точку.
Определение:Дивергенцией векторного поля /> в точке /> называется предел отношенияпотока векторного поля через поверхность /> к объему />, ограниченному этой поверхностью,при условии что поверхность /> стягивается в точке />.
Дивергенцияхарактеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля /> исходящего източки />,т.е. мощность источника и стока /> находящегося в точке />.
/>— средняя объемнаямощность потока />.
/>-существует источник вточке />.
/> — существует сток вточке />
Теорема 2. />
Доказательство: />
/>
/> ч.т.д.
Пример 1. />. Найти потоквектора /> черезвсю поверхность тела />, /> в направлении внешней нормали.
Решение:
1./>
2. />
Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ(специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., СендовБ.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализфункции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике длявтузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.